cour-bure, des valeurs non uniformes sur les sections. La figure 1.4 présente la distribu-tion de la densité de courant source pour le coude supérieur d’une développante obtenue par résolution électrocinétique. La répartition du courant n’étant pas uni-forme par section, elle ne représente pas correctement l’inducteur homogénéisé.
Figure 1.4 – Exemple de densité de courant source calculée par la
mé-thode électrocinétique.
1.3 Méthode des isopotentielles
1.3.1 Description de la méthode
Pour pallier au problème de non uniformité de la densité de courant, une étape de correction est nécessaire. Chang (2002) présente une méthode permettant, à partir de la résolution électrocinétique précédente, de corriger la norme de la densité source tout en préservant sa direction.
Des sections sont déterminées à partir des isopotentielles de φ, le calcul de leur surface permettant de déterminer les valeurs locales de la norme de la densité. En pratique une intégrale numérique à un nombre réduit de points de Gauss est suffisante, une isopotentielle devant être calculée pour chaque point. Pour des in-ducteurs correctement maillés, une intégrale à 1 ou 3 points de Gauss donne des résultats satisfaisants. La divergence de la solution obtenue par cette méthode n’est pas nulle, il n’est donc pas nécessaire de calculer de manière précise le flux de fa-cette, celui-ci sera par la suite corrigé pour obtenir une divergence nulle. Pour des
80 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION DE LA DENSITÉ SOURCE maillages de grandes tailles, une double boucle sur les éléments peut rapidement devenir coûteuse. Nous avons utilisé une méthode par avance frontale2, permettant de ne tester que les éléments appartenant effectivement à la surface isopotentielle. Le détail de l’algorithme global de correction des normes est donné (dans le cas des tétraèdres) dans l’algorithme 1.1.
Le gradient de φ étant constant par élément, il est arbitrairement choisi de dé-finir la direction de la densité comme la moyenne des directions unitaires données par le gradient des deux éléments séparant une face. Les sections avec un élément sont des triangles ou des quadrilatères (voir la figure 1.5), il subsiste des cas parti-culiers pour lesquels la surface isopotentielle passe par un ou plusieurs sommets de tétraèdre. Le traitement de ces différents cas dégénérés est donné dans l’algorithme 1.2.
x y z
Figure 1.5 – Cas possibles d’isopotentielle locale à un élément.
1.3. MÉTHODE DES ISOPOTENTIELLES 81
Algorithme 1.1 – Algorithme de correction des normes, exemple pour
des tétraèdres.
Données : Le maillage et la solution du problème d’électrocinétique {φi} Résultat : Valeurs des DdL pour chaque face {Ni} de la fonction N
1 pour chaque face Fi, séparant les éléments K1 et K2 faire
2 Initialisation de la direction de la densité par d :
dK1 = grad φ|K1 kgrad φ|K1kL2 , dK2 = grad φ|K2 kgrad φ|K2kL2 , d = dK1 + dK2 kdK1 + dK2kL2 ; (1.12) pour chaque point de Gauss P faire
3 Initialisation de la liste des éléments à tester L avec les deux éléments K1
et K2 séparés par la face Fi ;
4 Initialisation de la surface S à 0 ;
5 Décoloration de tous les éléments ;
6 Calcul du potentiel φ(P ) du point P ;
7 tant que L est non vide faire
8 Retirer et colorer le premier élément Ki de la liste L ;
9 Soient les potentiels locaux à l’élément {φloc} ;
10 si {φloc} ≥ φ(P ) ou {φloc} ≤ φ(P ) alors
11 si {φloc} = φ(P ) alors
12 Cas non conforme, arrêt ;
13 sinon
14 Pas de surface équipotentielle, retour en 7 ;
15 fin
16 sinon si un seul élement φ′
loc t.q. φ′
loc< φ(P ) ou φ′loc> φ(P ) alors
17 si φ′
loc∈ {φloc} alors
18 Traitement d’un cas dégénéré et retour en 7 ;
19 fin
20 La surface équipotentielle est formée d’un triangle T ;
21 S = S +|T | ;
22 Ajout à L des voisins de Ki, non colorés, partageant une face coupée par l’isopotentielle ;
23 Retour en 7 ;
24 sinon si deux élements (φ′
loc, φ′′loc) t.q. (φ′loc, φ′′loc) > φ(P ) ou (φ′loc, φ′′loc) < φ(P ) alors
25 si φ(P ) ∈ {φloc} alors
26 Traitement d’un cas dégénéré et retour en 7 ;
27 fin
28 La surface équipotentielle est formée d’un quadrangle Q ;
29 S = S +|Q| ;
30 Ajout à L de tous les voisins non colorés de Ki ;
31 Retour en 7 ;
32 fin
33 fin
34 fin
82 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION DE LA DENSITÉ SOURCE
Algorithme 1.2 – Traitement des cas dégénérés pour l’algorithme de
correction des normes.
Données : φ(P ), Ki, ensemble des valeurs nodales locales à l’élément {φloc} Résultat : Nouvelle valeur de S et mise à jour de la liste L
1 Coloration de Ki ;
2 si une seule occurence de φ(P ) dans {φloc} alors
3 La surface équipotentielle est formée d’un triangle T pouvant être dégénéré à un sommet ;
4 Ajout à L des éléments non colorés de la boule du sommet S pour lequel φ(S) = φ(P ) ;
5 Si nécessaire, ajout à L du voisin opposé à S si la surface équipotentielle intersecte la surface de séparation ;
6 sinon si deux occurences de φ(P ) dans {φloc} alors
7 La surface équipotentielle est formée d’un triangle T pouvant être dégénéré à une arête ;
8 Ajout à L de tous les voisins non colorés de Ki ;
9 sinon si trois occurences de φ(P ) dans {φloc} alors
10 La surface équipotentielle est formée de la face T formée par les trois sommets de l’élément pour lesquels les DdL sont égaux à φ(P ) ;
11 Ajout à L des voisins non colorés de Ki, hormis celui partageant la face T ;
12 fin
13 Si nécessaire, S = S + |T | ;
1.3.2 Application numérique
L’inducteur choisi pour l’application numérique est présenté sur la figure 1.6 avec ajout des isopotentielles de φ. La structure est constituée d’une face de forme quelconque extrudée dans une des directions de l’espace. Le maillage est consti-tué de 460 000 tétraèdres. Le courant est présenté sur la figure 1.7, pour plus de visibilité les flèches sont tracées en échelle logarithmique, la couleur dépendant proportionnellement de la norme de la densité de courant. On constate que la ré-partition de la norme suit le profil des isopotentielles. De part la déformation des surfaces, cette répartition peut ne pas rendre compte correctement d’un inducteur bobiné homogénéisé.
1.3. MÉTHODE DES ISOPOTENTIELLES 83
Figure 1.6 – Inducteur de géométrie quelconque avec le tracé des isopo-tentielles, mettant en évidence la déformation des surfaces.
Figure 1.7 – Coupe de la densité de courant dans l’inducteur après cor-rection de la norme par la méthode des isopotentielles.
84 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION DE LA DENSITÉ SOURCE
1.3.3 Conclusions
La méthode des isopotentielles a l’avantage d’être robuste (non soumise à des conditions sur la géométrie). L’utilisation des algorithmes décrits permet de grande-ment réduire le coût de calcul ce qui permet l’application de la méthode à de grands problèmes (par exemple les têtes de bobines pouvant représenter plusieurs millions d’éléments). Cependant lorsque la section de l’inducteur est très changeante, plus particulièrement pour de grands angles d’ouverture (voir la figure 1.6), les isopo-tentielles peuvent être déformées entraînant une surestimation de la section réelle. La méthode de calcul explicite des sections a été élaborée pour tenter de répondre à ce problème.