Potentiel gaussien

P^e

Différence de fréquence entre les Raman, ν_R1-ν_R2-ν_HFS (Hz) Raman désalignés Raman alignés

Figure 4.14 : Probabilit´e de transition Pe lors d’une transition Raman en fonction de la

fr´e-quence Raman νRam, centr´ee sur νHF S+ 3νB, en fonction de l’alignement des faisceaux Raman.

Lorsque ceux si sont d´esalign´es, on observe une diminution de la probabilit´e de transition, et

l’apparition de deux pics d´ecal´es de νtransTir´e de [Pelle, 2013].

suit l’´equation 4.3.9 est un peu abusif, car en fin de m´elasse, les atomes ont une temp´e-rature de 2 µK, et le pi`ege infrarouge n’ayant une profondeur que de 1,5 µK, nous avons consid´er´e une distribution de Bolzmann avec une temp´erature de 2 µK tronqu´ee `a 1,5 µK : nous n´egligeons l’´energie potentielle apport´ee par la pi`ege. Nous ne connaissons pas r´eelle-ment la distribution des atomes dans ces niveaux. Toutefois, cette distribution thermique permet de donner un ordre de grandeur de ∆ν_{t moy}(z, ∆m).

4.3.2.2 Potentiel gaussien

Le calcul consid´erant un potentiel transverse harmonique montre que les atomes, lors des interf´erom`etres voient une diff´erence de fr´equence transverse moyenne de 225 mHz pour une s´eparation de 3 puits, ce qui repr´esente la meilleure piste pour comprendre nos inhomog´en´eit´es de contraste. Il nous faudrait donc pouvoir calculer les niveaux d’´energie transverses dans le cas o`u nous consid´erons un potentiel gaussien. Cela signifie qu’il faut r´esoudre l’´equation de Schr¨odinger suivante :

−~² 2m

∂²Ψ

∂r2 + U_tot(r, z)Ψ = EΨ (4.3.14)

Une possibilit´e pour calculer les ´energies et les vecteurs propres est de discr´etiser l’´equa-tion de Schr¨odinger dans le domaine temporel [Nandi, 2010]. Cette m´ethode utilise une discr´etisation des fonctions d’ondes selon r en N segments. Les fonctions d’ondes de niveau

d’´energie E_kont k z´eros. Pour pouvoir bien discr´etiser les fonctions propres, il faut choisir N beaucoup plus grand que le nombre de niveaux d’´energie existants. Si on consid`ere que le nombre de niveaux est le mˆeme que pour le cas harmonique (1960), on doit choisir N > 10000, ce qui m`ene `a des calculs tr`es lourds.

Une autre approche consiste `a utiliser une approche semi-classique. Plutˆot que de cal-culer tous les niveaux d’´energie, on calcule une densit´e d’´etats. On peut aussi exprimer le nombre d’´etats pi´eg´es en fonction de l’´energie.

Pour calculer la densit´e d’´etat, je me suis r´ef´er´ee `a la formule fournie dans [Berry & Mount, 1972] et [Cvitanovi´c et al. , 2012], donnant la densit´e d’´etat g(E) en fonction de la dimension n d’int´egration : g(E) =^{ mRb} 2π ~2 n/2Z Utot(r)<E (E − Utot(r))^n/2−1 Γ(n/2) ^dr n (4.3.15)

o`u Γ(x) est la fonction Gamma de Riemann. On peut en d´eduire le nombre maximal d’´etats d’´energie inf´erieure `a E en fonction de la profondeur N (E) :

N (E) = ¹ hn πn/2 Γ(1 + n/2) Z Utot(r)<E (2m_Rb(E − Utot(r)))^n/2drⁿ (4.3.16) g(E) et N (E) sont reli´es par la relation :

N (E) = Z E

−U0(z)

g(ǫ)dǫ (4.3.17)

Dans notre cas, n = 2, Γ(1) = 1,Γ(2) = 1 et on peut exprimer la densit´e d’´etats g(E) : g(E) = ^mRb 2π~2 Z Z Utot(r)<E dr² = ^mRb ~2 Z Utot(r)<E rdr (4.3.18)

La condition U_tot(r) < E s’´ecrit :

r < s −wIR(z)2 2 ^ln  −E U0(z)  (4.3.19) o`u U₀(z) = −Utotal(0, z, P_IR, P_{V erdi}) et E varie entre −U0(z) et 0.

g(E, z) = −wIR(z)2 4 m_Rb ~² ln  −E U₀(z)  (4.3.20) La densit´e d’´etat en fonction de l’´energie g(E) est repr´esent´ee sur la Figure 4.15 gauche. De mˆeme, on calcule le nombre d’´etat d’´energies possibles en fonction de l’´energie. Ce n’est plus une variable discr`ete, mais continue, N (E) est repr´esent´e sur la Figure 4.15 droite.

-25 000 -20 000 -15 000 -10 000 -5000 ^{Energie•h HHzL} 1 ´ 10³⁵ 2 ´ 10³⁵ 3 ´ 10³⁵ 4 ´ 10³⁵ 5 ´ 10³⁵ 6 ´ 10³⁵ 7 ´ 1035

densité d'état par energie

-25 000 -20 000 -15 000 -10 000 -5000 ^{Energie•h HHzL} 500 000

1.0 ´ 10⁶ 1.5 ´ 10⁶ Nombre d'états propres

Figure 4.15 : A gauche, densit´e d’´etat calcul´ee en deux dimensions en fonction de l’´energie

exprim´ee en Hz. A droite, nombre d’´etats d’´energie inf´erieure `a E en fonction de l’´energie exprim´ee

en Hz. Calcul r´ealis´e pour PIR= 0,5 W et wIR= 175 µm et les atomes `a z = 1,9 cm du col du

laser infrarouge.

On remarque que le nombre d’´etats possibles est beaucoup plus grand que dans le cas de l’approximation harmonique, car N (0) ∼ 2.106 pour P_IR = 0,5 W.

N (E, z) = ^mRbw 2 IR(z) 4~2  E + U0− E ln  −E U₀(z)  (4.3.21)

Ce qui va nous int´eresser est de calculer l’´energie moyenne de ces ´etats transverses, la diff´erence moyenne d’´energie transverse pour deux positions z diff´erentes, ainsi que la dis-persion de cette diff´erence d’´energie. Nous avons besoin de calculer la fonction de partition, qui est le produit de la densit´e d’´etat g(E) par la probabilit´e d’occupation de ces ´etats, donn´ee par une distribution de Bolzmann tronqu´ee d_therm′(E, z) :

d_therm′(E, z) = e

−E−U0(z)

kBTat ^{pour −U0(z) < E < 0}(4.3.22) On d´efinit la fonction de partition f (E, z) comme :

f (E, z) = g(E, z)d_therm′(E, z) (4.3.23)

L’´energie moyenne des atomes dans les niveaux transverses du laser infrarouge s’´ecrit : ¯ E(z) = Z 0 −U0(z) Ef (E, z)dE/ Z 0 −U0(z) f (E)dE (4.3.24)

Nous allons transformer les int´egrales sur E en int´egrales sur les diff´erents niveaux d’´energie N . En effet, afin de pouvoir quantifier la r´epartition d’´energie dans les diff´erents niveaux transverses, il nous faut connaˆıtre la diff´erence d’´energie pour des atomes dans un mˆeme niveau transverse. Cela revient `a inverser la fonction N (E, z) donn´ee ´equation 4.3.21. J’ai invers´e cette fonction `a l’aide de Mathematica, et obtenu la fonction E(N, z), trac´e Figure

500 000 1.0 ´ 10⁶ 1.5 ´ 10⁶ 2.0 ´ 10^{6 Etats propres : N} -30 000 -25 000 -20 000 -15 000 -10 000 -5000 E•h HHzL 500 000 1.0 ´ 10⁶ 1.5 ´ 10⁶ 2.0 ´ 10^{6 Etats propres : N} 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 DE •h HHzL

Figure 4.16 : A gauche, ´energie transverse E(N, z) exprim´ee en Hz en fonction du nombre

d’´etats N d’´energie inf´erieure `a E . A droite, diff´erence d’´energie transverse E(N, z) − E(N, z +

∆mλV erdi/2) exprim´ee en Hz en fonction du nombre d’´etats transverses existants N. Calcul

r´ealis´e pour PIR= 0,5 W et wIR= 175 µm et les atomes `a z = 1,9 cm du col du laser infrarouge

et ∆m = 3.

4.16 gauche.

En utilisant le fait que g(E) = ^dN_dE, l’´equation 4.3.24 se transforme en : ¯

E(z) =

Z Nmax

0

E(N, z)d_therm′(E(N, z))dN/norm (4.3.25) o`u norm =RNmax

0 d_therm′(E(N, z))dN .

Pour une puissance du laser infrarouge de 0,5 W, et un rayon `a 1/e2 de 175 µm, `a 1,9 cm du col du faisceau, ¯E ∼ h× -9,2 kHz (compar´e `a une profondeur totale de -31,4 kHz). On peut de mˆeme calculer l’´ecart type de la r´epartition en ´energie σE :

σ²E =

Z Nmax

0 (E(N, z) − ¯E)²d_therm′(E(N, z))dN/norm (4.3.26) Dans les mˆemes conditions que pr´ec´edemment, on trouve σE ∼ h× 11,7 kHz. Comme attendu, la dispersion de la r´epartition en ´energie est grande (σE ∼ U0/3).

Ce qui nous int´eresse ici, plus que la r´epartition des ´energies dans les puits, est la variation de cette r´epartition lorsque les atomes sont d´eplac´es de puits en puits. On peut calculer la diff´erence d’´energie moyenne ∆E(z, ∆m) entre deux puits espac´es de ∆m × λV erdi/2 :

∆E(z, ∆m) =

Z Nmax

0

∆E(N, z, ∆m)d_therm′(E(N, z))dN/norm (4.3.27) o`u on a pos´e :

∆E(N, z, ∆m) = E(N, z) − E(N, z + ∆mλV erdi/2) (4.3.28) Dans les mˆemes conditions que pr´ec´edemment, et pour ∆m = 3, on trouve ∆E ∼ h× 32,6 mHz.

On peut calculer la dispersion de cette diff´erence de fr´equence σ_∆E. σ²_∆E(z, ∆m) =

Z Nmax

pour ∆m = 3, on trouve σ∆E ∼ h× 26,7 mHz.

On s’int´eresse `a ∆E(N, z, ∆m), qui est trac´ee Figure 4.16 droite. La diff´erence d’´energie maximale est atteinte pour les atomes au fond du puits, et vaut 112 mHz pour z = 1,9 cm, ∆m = 3 et w_IR= 175µm. ∆E et σ_∆E sont plus faibles que ceux calcul´es dans le cas d’un potentiel harmonique. Cela qui se comprend car la diff´erence d’´energie entre deux niveaux cons´ecutifs n’est plus constante, mais d´ecroissante en fonction de N .

Nous avons observ´e exp´erimentalement une perte de contraste ´evoluant en exponentielle d´ecroissante en fonction du temps. Il est int´eressant d’´etudier l’impact des inhomog´en´eit´es de diff´erence d’´energies transverses sur le contraste de nos interf´erom`etres.

Nous allons n´egliger la perte de couplage due au fait que les transitions Raman ne peuvent pas ˆetre `a r´esonance avec les atomes se situant dans tous les niveaux transverses, et juste consid´erer une dispersion des d´ephasages pendant le temps d’´evolution libre. Cette approxi-mation est justifi´ee par le fait que nous utilisons lors de nos interf´erom`etres des impulsions Raman courtes (10 ms pour une impulsion π/2), et donc larges dans le domaine fr´equen-tiel.

Dans le cas id´eal, pour une diff´erence d’´energie ∆ǫ, l’´evolution de la probabilit´e de tran-sition en fonction du temps d’´evolution libre TRamsey s’´ecrit :

P (∆ǫ, T_Ramsey) = ¹ 2  1 + cos ∆ǫ × TRamsey ~  (4.3.30) Dans le cas de nos interf´erom`etres, on balaye ∆ǫ autour de la valeur ∆ǫ₀ = h(ν_{HF S} + ∆m × νB).

Dans notre cas nous avons une dispersion d’´energie autour de ∆ǫ0 en fonction du niveau transverse N o`u se trouvent les atomes : ∆E(N, z, ∆m). La probabilit´e de transition de l’interf´erom`etre se calcule en moyennant sur la distribution de d´ephasages :

P (∆ǫ, T_Ramsey) = RNmax

0 ¹2



1 + cos^{(∆ǫ−∆E(N,z,∆m))T}Ramsey

~



d_therm′(E(N, z), z)dN

norm

(4.3.31) Balayer ∆ǫ autour de ∆ǫ₀ permet d’observer les franges de l’interf´erom`etre pour un temps d’´evolution libre fix´e T_Ramsey et d’en mesurer le contraste. On peut ensuite tracer l’´evo-lution de ce contraste calcul´e en fonction de T_Ramsey, ce qu’on observe Figure 4.17. Nous ajustons au contraste calcul´e une courbe en exponentielle d´ecroissante C(T_Ramsey) = C₀e^−γTRamsey+ C_∞avec un taux de d´ecroissance γ = 0,158 s⁻¹, C₀= 100 % et C_∞= 13%, ce qui est coh´erent avec la diff´erence d’´energie maximale calcul´ee, mais ce n’est toujours pas assez pour expliquer la perte de contraste r´eelle.

Remarque : La d´ecroissance n’est pas tr`es exponentielle, car un contraste `a l’infini non nul ne correspond pas au calcul, comme nous le verrons dans le paragraphe suivant.

Figure 4.17 :Calcul du contraste de l’interf´erom`etre en fonction du temps de pr´ecession libre TRamsey et courbe d’ajustement en exponentielle d´ecroissante. Calcul r´ealis´e pour PIR= 0,5 W

et wIR= 175 µm, les atomes `a z = 1,9 cm du col du laser infrarouge et ∆m = 3.