Interf´erom`etres ` a impulsions Raman

Les exp´eriences d’interf´erom´etrie atomique visant `a mesurer des forces, telles que la gravit´e [Merlet et al. , 2010] ou l’effet Sagnac [Gauguet et al. , 2009] ont besoin de com-muniquer une grande impulsion aux atomes, afin d’avoir une « aire » d’interf´erom`etre la plus grande possible. Or les atomes utilis´es dans ce genre d’exp´erience sont souvent le Rb et le Cs, et les niveaux d’´energie utilis´es sont deux niveaux de la structure hyperfine de ces atomes. Il est en effet assez simple d’obtenir en une seconde un nuage contenant 10⁸ atomes `a quelques µK `a l’aide des m´ethodes de refroidissement standard (expliqu´ees dans la partie 1.4.1.1). Or, ces niveaux hyperfins sont s´epar´es de quelques GHz (6,834 GHz pour le⁸⁷Rb), ce qui conduit `a un transfert de vitesse tr`es faible (10⁻⁷ m/s pour le Rb). Il est possible de communiquer une vitesse bien plus grande en utilisant des transitions optiques plutˆot que micro-onde. Pour ce faire, on va consid´erer un atome `a trois niveaux, comme illustr´e sur la Figure 1.6.

Figure 1.6 :Sch´ema de principe d’une transition Raman entre les niveaux Ee etEg r´ealis´ee `a

partir de deux photons de pulsations ω1 et ω2, d´esaccord´es du troisi`eme niveau Ec de ∆. tir´e

de [P´elisson, 2012].

transition des deux niveaux inf´erieurs |gi et |ei :

ω₁− ω2 = ω_e− ωg (1.2.2)

Les pulsations de chacun des deux lasers, ω₁ et ω₂, sont en outre proches de celle d’une transition optique vers un niveau |ci. L’´ecart entre la pulsation de transition atomique et la pulsation des lasers est appel´e le d´esaccord Raman et peut s’´ecrire

∆ = ωc− ωg− ω1. (1.2.3)

Si l’atome est initialement dans l’´etat |gi avec une quantit´e de mouvement p, il absorbe alors un photon du champ classique E1(r, t) ∝ ei(ω1t−k₁r+ϕ1) qui lui conf`ere l’impulsion de ce photon ~k1. Le photon est ensuite diffus´e par ´emission stimul´ee dans le mode du deuxi`eme laser dont le champ classique est donn´e par E2(r, t) ∝ ei(ω2t−k2r+ϕ2) et l’atome acquiert donc l’impulsion −~k2 par conservation de la quantit´e de mouvement. `A la fin de la transition, l’atome a donc une quantit´e de mouvement totale valant p′ = p + ~kef f

avec k_{ef f} = k1− k2. De plus, lorsque le d´esaccord Raman ∆ est grand devant la largeur naturelle Γ de l’´etat sup´erieur, alors l’´etat |ci est tr`es peu peupl´e et on peut n´egliger l’´emission spontan´ee. La coh´erence de la superposition des ´etats |gi et |ei n’est alors plus limit´ee par la largeur naturelle Γ de l’´etat excit´e, et on peut donc traiter l’atome comme un atome `a deux niveaux. Selon l’orientation des faisceaux Raman 1 et 2, on obtient une impulsion effective donn´ee `a l’atome non pi´eg´e :

— ~k_{ef f} = ~k₂− ~k1 en configuration copropageante. — ~k_{ef f} = ~k2+ ~k1 en configuration contrapropageante.

Pour des impulsions Raman contrapropageantes, dans le cas d’atomes de ⁸⁷Rb, que nous utilisons, |gi = |5s², S_1/2, F = 1i,|ei = |5s², S_1/2, F = 2i et |ci = |5s²P_3/2i, les lasers Raman sont donc `a une longueur d’onde λ_Ram≈ 780 nm et la vitesse de recul transmise aux atomes v_{rec Ram} vaut :

soit un gain de 5 ordres de grandeur par rapport `a l’impulsion du photon micro-onde. L’interaction entre un champ ´electromagn´etique et un atome `a deux niveaux est un pro-bl`eme tr`es classique en m´ecanique quantique Tannoudji et al. , 1973a], [Cohen-Tannoudji et al. , 1973b]. Si on ´ecrit la fonction d’onde atomique comme |ψ(t)i = ag(t)e^−iωgt|gi + a_e(t)e−iωet|ei o`u ag(t)e−iωgtet a<sub>e</sub>(t)e−iωet sont respectivement les amplitudes des ´etats propres |gi et |ei, alors l’´equation de Schr¨odinger d´ependante du temps m`ene, si on suppose que les lasers sont `a r´esonance parfaite, au syst`eme d’´equations coupl´ees :

(

i ˙ag(t) = Ω_{ef f}e^iϕae(t)

i ˙a_e(t) = Ω_{ef f}e^−iϕa_g(t) ^(1.2.5)

o`u Ω<sub>ef f</sub> repr´esente la pulsation de Rabi de la transition `a deux photons. Ω_{ef f} = ^Ω1Ω2

2∆ ^(1.2.6)

et ϕ repr´esente la phase effective des deux lasers. Le calcul de cette pulsation est explicit´ee dans la partie C.2 de l’annexe C.

La r´esolution du syst`eme (1.2.5) conduit `a    a_g(t) = ^hcos^Ωef ft 2  a_g(0) − ieiϕsin^Ωef ft 2  a_e(0)ⁱ ae(t) = ^h− ie^−iϕsin^Ωef ft 2  ag(0) + cos^Ωef ft 2  ae(0)^{i (1.2.7)} Si on s’int´eresse maintenant `a la probabilit´e de pr´esence dans chaque ´etat hyperfin, on obtient les oscillations de Rabi bien connues entre les deux ´etats de la superposition

   Pg(t) = 1 − sin^2Ωef ft 2  Pe(t) = sin^2Ωef ft 2  (1.2.8)

en supposant que les conditions initiales sont telles que a_g(0) = 1 et a_e(0) = 0. Deux cas particuliers vont nous int´eresser pour l’interf´erom`etre. Le premier cas se pr´esente lorsque l’on choisit t tel que Ω_{ef f}× t = ^π₂. L’atome est alors dans une superposition coh´erente des deux ´etats, on peut ´ecrire, en choisissant ϕ = 0 :

|ψi = √¹

2(|g, pi + |e, p + ~kef fi) (1.2.9)

o`u on voit que les deux paquets d’ondes vont s’´eloigner l’un de l’autre apr`es l’impulsion Raman du fait de leur diff´erence de quantit´e de mouvement ~kef f. Le deuxi`eme cas d’in-t´erˆet pour l’exp´erience est le cas o`u Ω_{ef f}t = π. On a transfert total de l’´etat |g, pi vers |e, p + ~kef fi.

On peut utiliser des s´equences de ces impulsions π/2 ou π s´epar´ees par des temps T dits temps d’´evolution libre. La probabilit´e de transition finale peut ˆetre calcul´ee `a l’aide d’un formalisme matriciel, d´ej`a expliqu´e dans les th`eses de S.P´elisson [P´elisson, 2012] et de B. Pelle [Pelle, 2013], qui ont tout deux travaill´e sur le projet FORCA-G.

Pour des atomes en d´ebut d’interf´erom`etre dans l’´etat |gi, il en r´esulte la probabilit´e de transition finale Pe des atomes dans l’´etat |ei apr`es un temps total d’interf´erom`etre

T_interf

P = ^{|ae(Tinterf)|}

2

|ag(T_interf)|2+ |ae(T_interf)|2 = ¹

2(1 − C cos ∆φ). (1.2.10) o`u C est le contraste de l’interf´erom`etre. Le d´ephasage ∆φ d´epend du type d’interf´erom`etre r´ealis´e, et la mesure de ce d´ephasage permet dans diff´erents cas de remonter `a une mesure de force ressentie par les atomes.