1.3 FORCA-G principe de mesure
1.3.4 Couplages entre les puits
Dans l’exp´erience FORCA-G, contrairement `a l’exp´erience du LENS, l’atome utilis´e est le 87Rb et les transitions des atomes de puits en puits ne sont pas induites par une modulation du potentiel de pi´egeage, mais par des impulsions Raman. En effet, le but final de l’exp´erience est de mesurer la diff´erence de potentiel existant entre diff´erents puits du r´eseau, et l’exp´erience du LENS observe un ´elargissement du nuage d’atomes qui s’´etale sur de nombreux puits du r´eseau, tous s´epar´es en ´energie de h×νB. Cette m´ethode ne peut pas s’appliquer directement lorsque les atomes seront pr`es d’une surface car la valeur de
la fr´equence de Bloch va d´ependre du puits consid´er´e, et il y aura donc une inhomog´en´eit´e selon la taille du nuage.
Pour r´ealiser le couplage intra-bande de Bloch des atomes (les atomes sont tous pi´eg´es dans la bande de Bloch fondamentale), nous allons utiliser des faisceaux Raman, comme d´ecrit dans la partie 1.2.3. Ces faisceaux sont align´es avec le r´eseau optique : les deux vecteurs d’onde k1 et k2 sont align´es avec la verticale. La condition de r´esonance donn´ee par 1.2.2 se traduit ici par :
ωRam= ω1 − ω2 = ωHF S+ ∆m × 2πνB (1.3.19)
o`u on appelle ωRam le d´esaccord Raman ωHF S = 2π × νHF S et νHF S = 6, 834GHz est la fr´equence de transition hyperfine des atomes de87Rb et ∆m correspond au nombre de puits dont on veut d´eplacer les atomes.
Cependant, les atomes ne sont pas en chute libre, mais pi´eg´es dans un r´eseau. Le transfert d’impulsion Raman ne s’effectue pas de la mˆeme mani`ere que pour les gravim`etres `a atomes en chute libre. Les atomes restant pi´eg´es, la transition Raman change leur ´etat externe sans changer leur ´etat d’impulsion. Pour retrouver la conservation de l’impulsion, il ne faut plus consid´erer uniquement les atomes, mais l’ensemble {atomes + r´eseau}. L’hamiltonien du syst`eme est donc modifi´e par rapport `a celui des atomes en chute libre. L’´equation de Schr¨odinger d´ependante du temps est diff´erente (il faut rajouter l’hamiltonien 1.3.13). Ces calculs ont ´et´e d´ecrits dans les th`eses de S. P´elisson [P´elisson, 2012] B. Pelle [Pelle, 2013] ainsi que dans l’article [P´elisson et al. , 2012]. Il en r´esulte que la fr´equence de Rabi qui d´efinit la force du couplage, donn´ee dans le cas d’atomes en chute libre par l’´equation 1.2.6 est modifi´ee : Ω∆m = Ωeg D W Sb,m|e−ikef fz |W Sb,m+∆m E (1.3.20) o`u Ωegcorrespond `a Ωef f de l’´equation 1.2.6, c’est-`a-dire `a la fr´equence de Rabi des atomes en chute libre. On voit apparaˆıtre dans Ω∆mun ´el´ement de matrice, correspondant au cou-plage des atomes dans un puits m vers le puits m + ∆m. Le coucou-plage fait intervenir la phase spatiale du champ laser Raman, et donc kef f le vecteur d’onde effectif des Raman. Si les faisceaux Raman sont dans une configuration copropageante, alors kef f = kmw ∼ 0. Dans ce cas, l’exponentielle dans l’´el´ement de matrice correspond `a la matrice identit´e, et on se retrouve avec le produit scalaire de deux ´etats de Wannier-Stark de deux puits diff´erents. Or ces ´etats sont orthogonaux, et, si ∆m 6= 0, le couplage est nul.
Si les faisceaux Raman sont dans une configuration contrapropageante, alors le vecteur d’onde effectif kef f est non nul, l’´el´ement de matrice est en g´en´eral non nul, et le couplage existe. L’amplitude de cet ´el´ement de matrice est li´e au recouvrement spatial des fonctions d’onde dans un puits m et situ´e dans un puits m + ∆m. L’impulsion des lasers Raman va permettre d’induire une transition des atomes par effet tunnel, mais sans transf´erer di-rectement l’impulsion aux atomes. Le vecteur d’onde effectif kef f est absorb´e par le r´eseau.
Le couplage va donc d´ependre de la longueur d’onde λV erdi du laser cr´eant le r´eseau et de la profondeur du r´eseau qui d´efinit l’´etalement des fonctions d’onde. Dans notre cas, la profondeur du r´eseau est basse, la profondeur maximale que nous pouvons atteindre est 6 ER o`u ER = ~kV erdi2 /(2mRb) est l’´energie de recul. Ces points ont d´ej`a ´et´e trait´es dans la th`ese de B. Pelle [Pelle, 2013]. On trouve que le couplage, notamment vers des puits lointains, est meilleur si kef f est proche de kV erdi. C’est-`a-dire λV erdi ∼ λRaman/2. C’est pour cela que, pour des faisceaux Raman longueur d’onde λRaman ≃ 780 nm, nous avons choisi un r´eseau cr´e´e par un laser `a 532 nm. Dans cette configuration, le calcul du couplage d’un puits vers les diff´erents puits voisins a ´et´e effectu´e par l’´equipe th´eorique de FORCA-G [P´elisson et al. , 2012]. L’´evolution des diff´erents couplages inter-puits en fonction de la profondeur du r´eseau est repr´esent´e sur la Figure 1.10.
Figure 1.10 :Calcul des couplages dans la bande de Bloch fondamentale pour λRaman= 780 nm
et λV erdi = 532 nm en fonction de la profondeur du r´eseau Ureseauet de diff´erentes s´eparations inter-puits ∆m
Les couplages vers les puits + et - ∆m sont identiques, il est donc aussi facile de coupler les puits en montant qu’en descendant. On pourrait aussi penser qu’il est plus « facile » de d´eplacer les atomes d’un seul puits que de deux ou plus, et donc que Ω∆m=±1> Ω∆m=±2. Or on remarque sur la Figure 1.10 que, d´ependant de la profondeur, ce n’est pas forc´ement le cas : les couplages n’´evoluent pas de fa¸con monotone avec la profondeur du r´eseau, mais qu’il y a des « rebonds ». Il existe en particulier des maxima locaux de couplage. Pour
certaines profondeurs, l’amplitude d’un couplage pour un ∆m donn´e d´ependra moins de la profondeur, ce qui s’av´erera tr`es important pour la suite. On remarque enfin, que si on veut un couplage avec un ∆m ´elev´e efficace, alors il faut diminuer la profondeur du r´eseau. Au contraire, si on veut coupler deux puits proches ∆m = ±1 ou ±2, il faut se placer `a plus grande profondeur. Ceci est dˆu au fait que la localisation des fonctions d’onde d´epend de la profondeur (et donc l’int´egrale de recouvrement) comme on le voit sur la Figure 1.9. Bien sur, un couplage ne sera efficace, que si la diff´erence de fr´equence des faisceaux Raman correspond `a la diff´erence d’´energie entre les ´etats coupl´es 2π × νRam = ωRam = ωHF S+ ∆m × νB. Il faut donc pour chaque transition fixer le d´esaccord ωRamet la profon-deur du r´eseau Ureseau et choisir la dur´ee et la puissance de l’impulsion Raman de fa¸con `
a r´ealiser une impulsion π ou π2.
Nous avons maintenant tous les outils th´eoriques n´ecessaires `a la compr´ehension de notre exp´erience. Des premiers r´esultats ont d´ej`a ´et´e obtenus, je vais les rappeler dans la section suivante.