Potentiel d’un dopant ionis´e

Pour calculer le potentiel ´electrostatique d’un atome de phosphore ionis´e dans un nanofil de silicium, on r´esout l’´equation de Poisson en utilisant un d´eveloppement en s´eries de Fourier-Bessel6. On cherche `a calculer le potentiel (V (r)) g´en´er´e par une charge ponctuelle (plac´ee en r0) dans un cylindre de silicium de rayon R, entour´e d’un oxyde de

HfO2 et d’une grille m´etallique de rayon Rg dont le potentiel est fix´e `a Vg = 0V.

On a donc `a r´esoudre

∇2V (r) = −4πδ(|r − r0|) (4.1)

On cherche une solution de la forme : (|r| < R < Rg) V (r) = 1 εin|r − r0| + Vin(r) (4.2) (R < |r| < Rg) V (r) = Vout(r) (4.3) (R < |r| = Rg) V (r) = Vg = 0 (4.4)

avec Vin(r) et Vout(r) qui s’´ecrivent

Vin/out(r) = 2 εin X n≥0 Z _dk 2π(2 − δn,0) G in/out nk cos(nθ)eikz (4.5) o`u Gin

nk et Goutnk s’´ecrivent `a l’aide des s´eries de Fourier-Bessel [10].

Gin_nk = n εout εinKn(|k|R)A 1 nk − Kn′(|k|R)A2nk o In(|k|r)In(|k|r0) −εout εinIn(|k|R)A 1 nk + In′(|k|R)A2nk (4.6) Gout_nk = A 3 nkA4nkIn(|k|r0) −εout εinIn(|k|R)A 1 nk + In′(|k|R)A2nk (4.7) avec A1_nk = I_n′_(|k|R)Kn(|k|Rg) − Kn′(|k|R)In(|k|Rg) (4.8) A2_nk = In(|k|R)Kn(|k|Rg) − Kn(|k|R)In(|k|Rg) (4.9) A3_nk = I_n′_(|k|R)Kn(|k|R) − Kn′(|k|R)In(|k|R) (4.10) A4_nk = In(|k|r)Kn(|k|Rg) − Kn(|k|r)In(|k|Rg) (4.11)

5<sub>Nous avons utilis´e un mod`ele sp</sub>3<sub>, 3</sub>`eme _{voisins, 3 centres, othogonal pour le calcul du transport.} 6_{les s´eries de Fourier-Bessel apparaissent naturellement dans la r´esolution de l’´equation de Poisson `a} cause de la forme cylindrique du nanofil.

4.2. Calcul du potentiel ´electrostatique d’un dopant o`u In et Knsont les fonctions de Bessel modifi´ees de premi`ere et seconde esp`ece, et o`u

I′

n et Kn′ sont leurs d´eriv´ees premi`eres.

En r = r0, on a une divergence du potentiel (Eq. 4.2). La valeur du potentiel sur

le dopant lui mˆeme ne peut ˆetre d´etermin´ee exactement avec l’´equation de Poisson. En fait, le calcul de la valeur du potentiel sur le dopant fait intervenir d’autres contributions d’origine ´electronique7 que nous ne pouvons calculer avec cette approche. Toutefois, il est possible d’ajuster la valeur du potentiel sur le dopant (V (r0)) afin de reproduire l’´energie

d’ionisation de ce dopant dans le mat´eriau massif (´energie connue exp´erimentalement, par exemple E_iPhosphore _{∼ 45meV ) [11]. Apr`es ajustement on trouve V (r}0)|silicium massif =

UPhosphore = −4.115eV.

Le calcul du potentiel en s´erie de Fourier-Bessel est donc bas´e sur une r´esolution semi- analytique et num´erique. Il est ´egalement possible de calculer le potentiel ´electrostatique avec un solveur de Poisson 3D en diff´erences finies. Nous avons d’ailleurs compar´e les deux r´esultats et ainsi valid´e l’utilisation des s´eries de Fourier-Bessel pour le calcul du potentiel. Le temps de calcul du potentiel peut ˆetre plus court dans le cas du solveur de Poisson 3D que dans le cas du calcul semi-analytique, toutefois il est pr´ef´erable d’utiliser les s´eries de Fourier-Bessel pour d´ecrire correctement le potentiel au voisinage du dopant. En pratique on calcul V (r) uniquement pour |r| < R (Eq. 4.2), car c’est cette partie du potentiel que l’on va inclure dans le Hamiltonien. En effet, nous n’avons pas de description atomique ni pour l’oxyde, ni pour la grille. Le Hamiltonien liaisons-fortes ne d´ecrit que les atomes du nanofil et n’inclut la pr´esence de l’oxyde et de la grille qu’au travers du potentiel V (r). Dans nos simulations du transport nous regarderons l’effet d’une certaine concentration de dopants (Cd) dans les nanofils, ce qui signifie qu’il faudra inclure plusieurs

dopants. Chaque atome de phosphore que nous injecterons prendra une position al´eatoire dans le nanofil et produira par cons´equent un potentiel diff´erent. En effet, le potentiel cr´e´e par un dopant au centre du nanofil ou proche de la surface n’est pas le mˆeme. Nous avons donc construit une biblioth`eque de potentiels pour chaque position de dopant (r0)

possible dans la cellule unit´e du nanofil. Grace `a cette biblioth`eque nous pouvons g´en´erer n’importe quel potentiel total pour tout type de concentration en superposant plusieurs potentiels individuels8 _.

On observe sur la figure (Fig. 4.4) le profil de potentiel cr´e´e par quatre dopants P (Nd = 4)

inject´es dans un nanofil de silicium de longueur L = 500nm et de rayon R = 1nm (avec une grille m´etallique enrobante et une ´epaisseur d’oxyde de HfO2 de 2nm). La concentration9

est donc de Cd ≃ 2.5 1018cm−3. On note que le potentiel sur le dopant ´etant de V (r0) ≃

−4eV, cela forme un puits de potentiel assez profond mais qui remonte rapidement quand on s’´ecarte du dopant (insert Fig. 4.4). Le puits est donc tr`es ´etroit car il est en partie ´ecrant´e par la grille m´etallique relativement proche du dopant et par l’oxyde HfO2. De

plus on remarque que la profondeur, et plus g´en´eralement la forme exacte, du puits de potentiel d´epend de la position radiale dans le nanofil.

7_{terme d’esp`ece chimique}

8_{La superposition de potentiels individuels est en premi`ere approximation une bonne solution pour le} potentiel total tant que les dopants ne sont pas trop proches et que le recouvrement n’est pas trop grand.

9_{Pour le cas d’un nanofil, il est ´egalement pratique de donner la concentration lin´eique C}lin d = 0.8 105_cm−1

Fig. _{4.4: Profil du potentiel ´electronique}

g´en´er´e par 4 phosphore dans un nanofil de silicium de 500nm de long, de rayon R = 1nm, entour´e par une grille de rayon Rg = 3nm et entre lesquels est plac´e l’oxyde

HfO2. Un agrandissement local du potentiel

g´en´er´e par le dopant au centre du nanofil est pr´esent´e en insert ainsi qu’une vue re- pr´esentative de la partie du nanofil o`u se trouve le dopant. Chaque point sur le gra- phique correspond au potentiel sur chaque atome du nanofil.

Le potentiel total (V (r)) est appliqu´e directement sur les ´energies de site de chaque orbitales (ϕI) comme un simple d´ecalage d’´energie (HII = Es,px,py,pz+ V (r = rI)) [15,16].

Ensuite, on calcul les propri´et´es de transport en utilisant ce Hamiltonien perturb´e. Nous voulons ´etudier les propri´et´es de transport de nanofils dop´es pour diff´erentes densit´es de porteurs (n) comme nous l’avons fait dans l’´etude pr´ec´edente concernant la rugosit´e. Toutefois dans cette ´etude, nous irons plus loin dans la description du d´esordre en ajoutant l’effet d’´ecrantage du potentiel des dopants au fur et `a mesure que la densit´e de porteurs augmente. En effet, en pr´esence d’un potentiel de d´esordre, la densit´e ´electronique se r´earrange de fa¸con `a minimiser l’´energie. Cette r´eorganisation des charges `a l’int´erieur du nanofil conduit `a un nouveau potentiel de dopant qui est dit ´ecrant´e puisqu’en g´en´eral ce dernier est de plus faible amplitude que le potentiel non-´ecrant´e.