2.3
Les r´egimes de transport
Il existe trois diff´erents r´egimes de transport. Nous allons pour chacun d’entre eux pr´esenter le comportement temporel de l’´etalement quadratique moyen (∆X2(t)) ainsi
que celui du coefficient de diffusion Dx(t) que nous d´efinissons12 par
Dx(t) =
∆X2(t)
t (2.53)
2.3.1
Le r´egime balistique
Le r´egime (quasi)balistique correspond au r´egime de transport durant lequel les ´elec- trons ne subissent (quasiment) pas de collisions. Le comportement de ∆X2(t) est dans ce cas quadratique
∆X2(t) = v2x(0)t2 (2.54) o`u vx(0) est la vitesse `a l’instant t = 0. Le coefficient de diffusion est quant `a lui
lin´eaire en temps (Dx(t) = vx2(0)t). Des ´equations (2.52) et (2.54) on peut essayer d’en
d´eduire la conductivit´e de Kubo en r´egime balistique σ0DC˚K(E)bal =
e2
2ρ(E) limt7→∞
∂ ∂t∆X
2(E, t) = e2ρ(E) lim t7→∞v
2
x(0, E)t (2.55)
σ0DC˚K(E)bal 7−→ ∞ (2.56)
On obtient une conductivit´e infinie, ce qui semble logique puisqu’il n’y a aucun obstacle au transport de charge. Dans ce r´egime, aucune observables du transport n’a r´eellement de sens physique hormis la vitesse des porteurs de charge, et la conductance pour le cas 1D. En effet, les quantit´es telles que l, τ, µ, ou encore σ sont d´efinies par le rythme des collisions qui sont absentes ici.
La conductance s’exprime en g´en´eral `a l’aide de la loi d’Ohm
G = σLd−2 (2.57) o`u d est la dimension. Pour les syt`emes 1D la conductance est donc donn´ee par G = σ
L.
La quantification de la conductance pour les syst`eme 1D en r´egime balistique est un r´esultat bien connu. En effet, la conductance id´eale (balistique) poss`ede dans ce cas une valeur finie et ind´ependante de la taille du syst`eme mais proportionnelle au nombre de canaux de conduction “ouvert” ou de fa¸con ´equivalente, proportionnelle au nombre de niveaux ´electroniques disponibles `a une ´energie E donn´ee. En divisant la conductivit´e (Eq. 2.55) par une longueur L judicieusement choisie nous allons voir qu’on peut compenser la limite infinie de σ et ainsi trouver une valeur finie et ind´ependante du temps pour G, et qui est conforme `a la quantification attendue.
12Cette d´efinition n’est, en g´en´eral, pas celle qu’on trouve dans la litt´erature mais les quantit´es qui en d´ecoule, comme le libre parcours moyen par exemple, sont d´efinies de mani`ere coh´erente avec cette d´efinition
Fig. 2.1: Sch´ema de propagation balis-
tique d’un paquet d’ondes dans une nano- structure 1D. Avec la m´ethode de Kubo- Greenwood la nanostructure est virtuelle- ment infinie et il n’y a donc pas de contacts imposant une longueur au syst`eme. Toute- fois la longueur caract´eristique L qui semble la plus naturelle est celle d´efinie par L = 2p∆X2(t) = 2v
xt comme indiqu´e sur le
sch´ema.
Pour cela, on remplace la longueur L par 2vxt. En principe la longueur L est celle du
dispositif de taille finie qui est contact´e entre deux ´electrodes. Ici comme il n’y a pas de contacts `a proprement parler on ne peut fixer la longueur. Toutefois il paraˆıt satisfaisant d’utiliser L = 2vxt puisque cela correspond `a la longueur imaginaire qu’aurait le dispositif
dans le sens o`u la distance couverte par les ´electrons dans un laps de temps t est ´egale `a 2p∆X2(t) = 2v
xt (Fig. 2.1). On a alors pour la conductance :
G(E) = e2ρ1D(E) lim t→∞ v2 x(E)t L = e 2ρ 1D(E) lim t→∞ v2 x(E)t 2vx(E)t (2.58) G(E) = e 2 2ρ1D(E)vx(E) (2.59) avec ρ1D(E) = 2 π~vx(E) , (2.60) ce qui donne G = 2e 2 h = G0 (2.61) On retrouve bien G = G0 (Eq. 2.61), G0 ´etant le quantum de conductance, dans le cas
1D et pour une bande ´electronique13. Toutefois dans la loi d’Ohm, L est une constante
ind´ependante du temps et de l’´energie. De plus il n’y a aucune justification math´ematique pour la d´efinition de L que nous avons prise ; et quand on g´en´eralise cet exemple au cas multi-canaux (ou multi-bandes), on rencontre des probl`emes li´es `a la composition des vitesses14. Le mod`ele de Kubo-Greenwood n’est en r´ealit´e pas adapt´e pour d´ecrire la
conductance en r´egime balistique ; et donc `a part la mesure de la vitesse des ´electrons, le mod`ele de Kubo-Greenwood n’apporte pas ici d’autres informations pertinentes. La m´ethode de Landauer, qui de part son formalisme int`egre explicitement les contacts, est plus ad´equate dans ce r´egime de transport.
Toutefois, la nature est souvent d´esordonn´ee et si le syst`eme est assez grand on observe presque toujours un r´egime de transport qui n’est plus balistique mais diffusif.
13d´eg´en´erescence de spin inclue
14La g´en´eralisation `a plusieurs bande ´electronique souffre en effet d’un probl`eme de composition des vitesses.
2.3. Les r´egimes de transport
2.3.2
Le r´egime diffusif
Le r´egime diffusif est un r´egime stationnaire atteint apr`es un certain laps de temps et o`u les ´electrons subissent des collisions. Le r´egime diffusif est pr´ec´ed´e du r´egime quasi- balistique o`u les ´electrons n’ont subi qu’encore peu de collisions. Lorsque le r´egime station- naire est atteint on peut alors d´efinir toutes les observables semi-classiques du transport. Ici le comportement de ∆X2(t) tend vers un comportement lin´eaire. On peut montrer
en utilisant la fonction d’autocorr´elation des vitesses d´efinie par l’ETB dans le cadre de l’approximation du temps de relaxation15 que
lim t7→∞∆X 2(t) = lim t7→∞2τ v 2 x(0) [t − τ] 7−→ 2τv2x(0)t (2.62)
De la mˆeme mani`ere (avec Eq.2.53) on ´ecrit16
lim
t7→∞Dx(t) 7−→ 2τv 2
x(0) (2.63)
On peut maintenant ´ecrire la conductivit´e de Kubo-Greenwood dans le cas du r´egime diffusif, que nous appellerons la conductivit´e semi-classique (σsc)
σsc(E) = σDC0˚K(E)dif f =
e2
2ρ(E) limt7→∞
∂ ∂t∆X
2(E, t) (2.64)
σsc(E) = e2ρ(E)τ (E)vx2(0, E) (2.65)
σsc(E) = e2ρ(E)vx(0, E)l(E) (2.66)
On obtient cette fois, apr`es avoir pris la limite thermodynamique, une valeur finie pour la conductivit´e o`u l’on a fait apparaˆıtre le libre parcours moyen l(E). On remarque aussi que pour ce r´egime diffusif, limt7→∞ ∂t∂∆X2(E, t) s’identifie `a lim
t7→∞Dx(t) et on peut donc
de fa¸con ´equivalente ´ecrire σsc(E) =
e2
2ρ(E) limt7→∞Dx(E, t) =
e2
2ρ(E)D
max
x (E) (2.67)
o`u Dmax
x correspond `a la valeur maximale atteinte par la diffusivit´e (Dmaxx = 2τ vx2(0)).
Il nous reste, pour ce r´egime, `a d´efinir la mobilit´e (µ) µ(E) = σsc(E)
n(E)e (2.68) o`u n(E) =
Z
dEρ(E) (2.69) Il est instructif de montrer que pour un mod`ele simple d’´electrons libres, on retrouve la formule de la mobilit´e de Drude µ = eτm avec m la masse des particules. Pour ce faire on ´ecrit la relation de dispersion d’´electrons homog`enes E(k) = (~k)2m2 ainsi que la vitesse
15On peut montrer que hvx(0)vx(t)i = v2 x(0)e
−t/τ. Voir annexe (C)
correspondante v(k) = 1~ ∂E(k)
∂k =
~k
m. Nous prenons l’exemple de syst`emes 1D, mais cette
d´erivation est valable quelque soit la dimension. On utilise donc la densit´e d’´etats ρ1D(E)
ainsi que la densit´e de porteurs n1D(E)
ρ1D(E) = 2 π~ m 2E 1/2 (2.70) n1D(E) = 2 π~(2mE) 1/2 (2.71) ρ1D(E) n1D(E) = 1 2E (2.72)
Pour finir on utilise les ´equations (2.68) et(2.65) pour ´ecrire la mobilit´e d’un gaz d’´electrons homog`enes
µ(E) = e
2ρ
1D(E)τ (E)v2(E)
n1D(E)e
= eτ (E)v
2(E)
2E (2.73) µ(E) = eτ (E)~
2k2 2 ~2k2 2m m2 = eτ (E) m (2.74)
2.3.3
Le r´egime de localisation
Le r´egime de localisation est un r´egime de transport purement quantique et ne peut donc s’obtenir qu’avec des mod`eles prenant explicitement en compte la nature ondulatoire des ´electrons. Ce sont les interf´erences quantiques entre les diff´erents chemins de diffusion de l’´electron qui sont `a l’origine des effets de localisation. Ces interf´erences peuvent ˆetre constructives ou destructives donnant lieu `a des corrections positives ou n´egatives de la conductivit´e semi-classique (σsc). On parle alors de ph´enom`ene de localisation ou d’an-
tilocalisation selon le cas. Ces corrections, au premier ordre, peuvent ˆetre obtenues par l’analyse diagramatique des processus de diffusion multiple [10]. Le coop´eron par exemple, est une classe de diagramme d´ecrivant des trajectoires ferm´ees, autrement dit des boucles de r´etrodiffusion, qui dans le cas d’une propagation coh´erente, contribue `a doubler la pro- babilit´e de retour `a l’origine des ´electrons. Le coop´eron est `a la base de ce qu’on appelle les corrections de localisation faible. La localisation forte, est quand `a elle obtenue en pre- nant la limite thermodynamique (Ω 7→ ∞, t 7→ ∞). En prenant cette limite, les corrections peuvent devenir progressivement de l’ordre de grandeur de la conductivit´e semi-classique et celle-ci tend alors vers 0. La longueur caract´eristique associ´ee `a ce ph´enom`ene est la lon- gueur de localisation (ξ). Elle d´efinit l’´echelle de longueur n´ecessaire pour ´etablir le r´egime de localisation forte. Cette quantit´e est en g´en´eral d´efinie par l’´etude de la d´ecroissance de la conductance (G) en fonction de la longueur du syst`eme. On trouve plusieurs d´efinition de ξ dans la litt´erature. On choisit celle d´efinit dans l’article de revue de Beenakker [11]
hln (g(E, L))i = ξ(E)−2L, (2.75) o`u g(E, L) = G(E, L)
G0
2.4. Effets de la dimensionalit´e