Ecrantage du potentiel d’un dopant ionis´e 94 ´

Le probl`eme de l’´ecrantage dans les nano-objets peut jouer un rˆole important en na- no´electronique. En effet, la faible dimensionalit´e peut modifier la r´eponse ´electronique du syst`eme notamment en pr´esence d’impuret´es charg´ees [17, 18]. Cela se comprend de mani`ere intuitive puisque l’action de l’´ecrantage dans ce cas, est d’entourer localement les zones charg´ees par un nuage de charges oppos´ees ; si le syst`eme est confin´e spatialement, il y a tr`es peu de place pour ce nuage ´ecranteur. Dans le cas des structures 3D, ce nuage peut efficacement englober la zone charg´ee tandis que pour des nanostructures (2D, 1D, et 0D) l’efficacit´e de ce nuage diminue.

Dans un nanofil de silicium dop´e au phosphore et dans le cas d’un transport d’´electrons, la situation est la suivante : Les ´electrons sont attir´es par le puits de potentiel cr´e´e par le phosphore et forment donc un nuage ´ecranteur. L’impact du puits de potentiel ´ecrant´e sur la propagation des ´electrons devrait en principe diminuer par rapport `a un cas non- ´ecrant´e. En effet, l’´ecrantage est suppos´e r´eduire l’intensit´e des m´ecanismes de diffusion responsables des collisions dans le nanofil et am´eliorer ainsi les propri´et´es de transport. Nous verrons que la situation dans les nanofils est un peu plus complexe.

4.2. Calcul du potentiel ´electrostatique d’un dopant les variations de densit´e ´electronique (δn) provoqu´ees par les variations de potentiel (δV ). Plus pr´ecis´ement on a

δn(r) = Z

dr′χ0(r, r′)δV (r′) (4.12)

o`u χ0 est la susceptibilit´e, autrement dit la fonction r´eponse ´electronique du syst`eme.

Cette relation s’obtient en utilisant l’approximation de phase al´eatoire (RPA10_{), ce qui}

signifie qu’on consid`ere la r´eponse moyenne des ´electrons. Ce r´esultat est donc valide en principe pour des concentrations ´electroniques suffisamment ´elev´ees pour pouvoir consi- d´erer un r´eponse “collective” des ´electrons. La susceptibilit´e (χ0) dans un nanofil peut

s’obtenir par un calcul des perturbations au premier ordre. Pour un nanofil de longueur L = N l (avec l la longueur de la cellule unit´e du nanofil), on peut ´ecrire les ´etats propres (ϕnk) ϕnk(r) = 1 √ Ne ikz_u nk(r) (4.13)

o`u unk poss`ede la p´eriodicit´e de la cellule unit´e et o`u k = 2π_Lν (avec ν ∈ [0, · · · , N − 1])

et o`u n d´esigne l’indice de la sous bande ´electronique. Chaque ´etat propre ϕnk est associ´e

`a une ´energie propre Enk.

En utilisant la th´eorie des perturbations d´ependantes du temps, on obtient χ0(r, r′) = (2) X k,k′_,n,m (f (Enk) − f(Emk′)) × (4.14) ϕ†_nk(r)ϕmk′(r)ϕ_mk† ′(r′)ϕnk(r′) Enk− Emk′+ iη (4.15) o`u f (E) est la fonction de Fermi-Dirac et o`u le facteur (2) vient de la d´eg´en´erescence de spin.

On consid`ere la situation initiale suivante : un nanofil parfait avec une densit´e de charge n0(r) induisant un potentiel ´electronique Ve0(r). On souhaite maintenant calculer la r´e-

ponse ´electronique δn(r) induite par la pr´esence du potentiel de dopant Vd(r) consid´er´e

comme une perturbation du syst`eme initial. δn1(r) =

Z

dr′χ0(r, r′)Vd(r′) (4.16)

On obtient ainsi une nouvelle densit´e de charge n(r) = n0(r) + δn1(r). Cette variation

de la densit´e de charge (δn1) va induire `a son tour une variation du potentiel ´electronique

δV1

e. On a donc un potentiel ´electronique total

Ve(r) = Ve0(r) + δVe1(r) (4.17)

On calcule δV1

e(r) `a l’aide d’un solveur de Poisson 3D en diff´erences finies. On effectue

une boucle self-consistente en calculant la nouvelle densit´e ´electronique δn2(r) =

Z

dr′χ0(r, r′)(Vd(r′) + δVe1(r′)) (4.18)

on r´einjecte δn2 dans le solveur de Poisson 3D afin de calculer un nouveau potentiel

δV2

e. On r´ep`ete ce processus auto-coh´erent jusqu’`a la convergence de δn.

Au final, on peut ´ecrire le potentiel total `a inclure dans le Hamiltonien liaisons fortes du nanofil, `a savoir

Vtot(r) = Vtot0 (r) + δVtot(r) = Ve0(r) + Σ(r) + Vd(r) + δVe(r) (4.19)

Vtot0 (r) = Ve0(r) + Σ(r) (4.20)

δVtot(r) = Vd(r) + δVe(r) (4.21)

o`u Σ(r) repr´esente la correction de self-´energie de l’´electron.

Nous avons calcul´e l’´ecrantage dans un cas simple pour pouvoir analyser les principaux effets et comportements de la r´epartition du nuage ´electronique autour du dopant. Nous avons pour cela consid´er´e un nanofil de silicium de longueur L = 50nm, de rayon R = 1nm, entour´e d’une grille m´etallique de rayon Rg = 3nm s´epar´ee du nanofil par une couche

de HfO2 (d’´epaisseur 2nm), et au centre duquel nous avons plac´e un unique atome de

phosphore. Cela correspond `a une densit´e de dopants Cd = 6.36 1018cm−3. Le potentiel

non-´ecrant´e (Vd(r)) cr´e´e par le phosphore ainsi que les potentiels ´ecrant´es (Vd(r) + Ve(r))

par des densit´es ´electroniques n = 2Cd et n = 4Cd sont pr´esent´es sur la figure (Fig.

4.5). Les points sur le graphique repr´esentent le potentiel ´electronique sur chaque atome appartenant `a la ligne d’atome centrale du nanofil (indiqu´ee par une flˆeche horizontale sur la figure en bas `a gauche). On constate dans un premier temps que le potentiel non- ´ecrant´e tend bien vers 0eV lorsqu’on s’´eloigne du dopant (Vd(r)|r−r0|→∞ → 0). Le potentiel

non-´ecrant´e est en r´ealit´e d´ej`a ´ecrant´e par la grille mais pas encore par les ´electrons. Si le rayon de la grille ´etait plus grand (Rg ≫ R), nous observerions un puits de potentiel

non-´ecrant´e plus large.

L’´ecrantage provoqu´e par les ´electrons vient donc encore davantage ´ecranter le potentiel du dopant. On voit notamment sur le graphique (Fig. 4.5) que pour une densit´e d’´electrons ´egale `a 2Cd puis `a 4Cd, le fond du puits de potentiel remonte indiquant clairement que

les ´electrons viennent se positionner autour du dopant. Toutefois, le nuage ´electronique produit en p´eriph´erie un renflement, une barri`ere ´electronique d’amplitude relativement faible mais qui pourrait freiner la mobilit´e des porteurs de charge. Cette faible barri`ere qui est pr´esente dans ces petits nanofils de silicium dop´e n’est donc pas forc´ement un avantage pour les propri´et´es de transport. Il faudra s’assurer que les effets n´efastes de ces faibles barri`eres p´eriph´eriques ne compensent pas les effets positifs de la diminution de la profondeur du puits de potentiel. En bas de la figure (Fig. 4.5) on a montr´e une coupe longitudinale du potentiel au voisinage du dopant. Ce potentiel est ´ecrant´e par n = 2Cd.

Des lignes d’iso-potentiels sont dessin´ees en ´echelle logarithmique afin de montrer la faible barri`ere de potentiel que produit l’´ecrantage des ´electrons de part et d’autre du dopant. On

4.2. Calcul du potentiel ´electrostatique d’un dopant

Fig._{4.5:. Effets de l’´ecrantage ´electronique sur le profil de potentiel cr´e´e par un unique dopant}

P dans un nanofil de silicium de longueur L = 50nm, de rayon R = 1nm, entour´e par une grille de rayon Rg = 3nm et entre lesquels est plac´e l’oxyde HfO2 (Cd= 6.36 1018cm−3). Chaque point

sur le graphique correspond au potentiel sur chaque atome de silicium appartenant `a la ligne d’atome centrale (indiqu´e par une flˆeche sur le nanofil en bas `a gauche.). En bas, une coupe longitudinale du profil de potentiel autour du dopant ´ecrant´e par n = 2Cd. Des lignes d’iso-

potentiels sont dessin´ees en ´echelle logarithmique afin de montrer clairement la pr´esence de la faible barri`ere de potentiel que produit l’´ecrantage ´electronique dans toute la section du nanofil.

voit notamment que cette faible barri`ere n’est pas pr´esente uniquement sur la ligne centrale d’atomes (indiqu´ee par la flˆeche), mais bien sur l’ensemble de la section du nanofil. De plus mˆeme si la hauteur de cette barri`ere est relativement faible (∼ 50meV), son extension est assez grande (∼ 10nm de part et d’autre).