Positions de mesures

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Critère d’information d’Akaike

4.5.5 Positions de mesures

Rayon du capteurr(cm)

Lasommesdesécart-typesnormalisés

bras=20cm bras=15cm bras=10cm

Figure

4.13 – La somme des écart-types normalisés des quatre premiers ordres en fonction de rayon du capteur

mesure ? Cela sera discuté dans la section suivante.

4.5.5 Positions de mesures

Dans notre approche, l’identification d’une source est basée sur les mesures de flux magnétiques à travers une spire s’appuyant sur la surface d’une sphère entourant l’EST. Les points de mesures sur lesquels on centre la spire de mesure doivent être soigneusement sélectionnés. Afin de répartir régulièrement ces points de mesures sur la sphère, l’idée naturelle qui vient à l’esprit est la répartition équi-angulaire.

L’élévation θ varie dans l’intervalle [0;π] et l’azimut ϕ varie dans [0; 2π]. Supposons que les deux directions possèdent toutes 10 pas, dans ce cas, le nombre de mesures est 9×9 + 2 = 83, qui sont tracés sur la Figure 4.14.

Point de mesure

Figure

4.14 – Points de mesures répartis d’une façon équi-angulaire

Sur la figure, les points bleus représentent les points de mesures. Ce type de disposition est très régulier en angle, mais conduit au fait que les points de mesures sont concentrés vers les deux pôles.

[RSCF06] a proposé une approche de mesure, et vérifié les inductions magnétiques autour d’une source, qui est basée sur une courbe en spirale sur la sphère de mesure. Les répartitions des points de mesures sont présentées sur la Figure 4.15.

Point de mesure

Figure

4.15 – Points de mesures répartis d’une façon spirale

Cette approche est intéressante parce qu’elle évite les répétitions de mesures pour desθ et ϕ fixés.

Par contre, l’inconvénient est le même que dans le cas équi-angulaire : les points sont concentrés vers les deux pôles. Pour caractériser le champ d’une source inconnue, il est plus logique de répartir les points de mesures sans privilégier aucune direction, c’est-à-dire équi-distant sur la sphère. Malheureusement, la répartition uniforme des points sur une surface sphérique n’est pas toujours possible. Pour certain nombre de points particuliers, tels que N=2, 3, 6, 12, 24..., il est possible de répartir les points uniformément, mais ce n’est pas le cas pour les autres nombres de points [SK97].

Beaucoup d’auteurs ont cherché des méthodes pour répartir des points uniformément sur la sphère.

[SK97] a proposé une méthode approximative pour ce faire, qui est basée sur l’approche spirale. La méthode ne sera pas détaillée dans ce document, un exemple pour N= 83 est donné sur la Figure 4.16.

Point de mesure

Figure

4.16 – Points de mesures répartis d’une façon quasiment équi-distante

Comme déjà expliqué dans la section 4.4.2, le conditionnement est un bon outil mathématique pour vérifier la stabilité du système, on peut aussi l’appliquer pour comparer les points de mesures. Reprenons les trois méthodes de mesures : équi-angulaire, spirale et équidistant. Le nombre de mesures est fixé à 83 et pour assurer la robustesse du système, le développement en harmoniques sphériques se limite à l’ordre 6. Le conditionnement est calculé pour chaque méthode et les résultats sont présentés dans la Table 4.6.

On peut constater que le conditionnement de la méthode équi-distante est le plus faible parmi les trois. Ceci signifie que cette méthode est la plus robuste et la moins sensible aux incertitudes. En résumé, la méthode équi-distante est la meilleure pour identifier une source inconnue. Son seul inconvénient est que pour une source inconnue, il est difficile de définir le nombre de mesure dans un premier temps. Au

Méthode équi-angulaire spirale équi-distant Conditionnement 1.67

·

10

20

7.49

·

10

5

2.74

·

10

4 Table

4.6 – Conditionnement pour chaque méthode de mesure

cas où après la première série de mesure, il est montré que les mesures ne sont pas suffisantes et il faut encore augmenter le nombre de mesure, on est donc obligé de relancer une série de mesure complète pour le nouveau nombre de mesure. Parce qu’il n’est pas possible d’insérer quelques nouvelles mesures à celles qui sont déjà effectuées en gardant toujours la propriété équi-distante. Est-t-il possible d’effectuer les mesures d’une façon itérative ? C’est-à-dire ajouter chaque fois une nouvelle série de mesure mais en gardant toutes les mesures qui sont déjà faites.

Les maillages sphériques nous a donné une excellente inspiration. Pour générer un maillage uniforme sur une surface sphérique, une méthode efficace est de partir de l’icosaèdre. Ensuite, pour augmenter la qualité du maillage, il suffit de subdiviser chaque arrête en deux [Lor01], et ainsi de suite. Le principe est présenté sur la Figure 4.17.

N m = 12 +30 +120

Figure

4.17 – Mesures équi-distantes itératives à partir d’un icosaèdre

Nmreprésente le nombre de mesures et les sommets représentent les points de mesures, qui sont tous sur la même sphère. Pour chaqueNm, toutes les arrêtes ont la même longueur, ce qui conduit à une série de mesures équi-distantes.

Cette approche est intéressante parce qu’elle permet d’ajouter une nouvelle série de mesure complé-mentaire de celle précédente, en conservant les caractéristiques de l’équidistance. En plus, dans la section 4.5.4, on a montré qu’il faut mesurer au plus près de la source pour déterminer les ordres plus élevés.

Cette propriété peut être utilisée dans cette approche. Le procédé pour identifier une source inconnue est présentée par la suite :

1. Lancer une première série de mesures avec Nm = 12, à une distance de 20 cm. Déterminer les coefficients harmoniques de la source pour Nmax = 2. Calculer le résidu. Si le résidu est assez faible, la source est donc bien identifiée. Sinon, aller à l’étape 2.

2. Ajouter 30 mesures complémentaires de l’étape 1, mais à une distance de 15 cm. Déterminer les coefficients harmoniques pourNmax= 5. Calculer le résidu. Si le résidu est assez faible, la source est donc bien identifiée. Sinon, aller à l’étape 3.

3. Ajouter 120 mesures qui sont complémentaires de l’étape 2, mais à une distance de 10 cm. Ap-pliquer le critère d’Akaike pour déterminerNmax et ensuite résoudre le problème.

Cette méthode peut également se baser sur d’autres formes particulières, comme un cube. La procé-dure est exactement la même (Figure 4.18).

N m = 8 +18 +70

Figure

4.18 – Mesures équi-distantes itératives à partir d’un cube

Nous avons maintenant tous les éléments nécessaires pour résoudre notre problème inverse et déter-miner les coefficients harmoniques de la source, y compris la dimension optimale du capteur, les points de mesures, les outils mathématiques pour la résolution, etc. Tous ces éléments sont basés sur le fait qu’aucune information a priori de la source n’est disponible. Cependant, en pratique, on dispose souvent, en plus des mesures, d’informations a priori sur le dispositif mesuré, tels que sa périodicité, sa symétrie, etc. Comment rendre ces informations utiles dans la résolution du problème inverse ? La section suivante est consacrée à cette question.

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