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Compléments au développement en HS

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3.1 Choix optimal de l’origine du développement

Avant de décomposer une source de rayonnement en harmoniques sphériques, il faut tout d’abord choisir l’origine du développement. Le développement en harmoniques sphériques peut être vu comme un modèle équivalent ponctuel lié à ce point. Par conséquent, ce développement multipolaire dépend non seulement de la source elle-même, mais aussi de l’origine de cette décomposition. Le centre géométrique est habituellement choisi comme l’origine, mais il peut ne pas convenir à certaines sources complexes telles que les cartes électrique. Un mauvais choix de l’origine peut en effet conduire à un nombre excessif de mesures et réduire la précision de la reconstruction de source. Les résultats de cette section peuvent être trouvés dans [LTB+16].

3.1.1 Impact du choix de l’origine

Le choix de l’origine possède un impact sur le développement : un choix inapproprié conduira à un ordre maximal Nmax plus élevé pour obtenir une précision donnée. Pour illustrer ceci, l’inductance mutuelle est calculée dans un exemple avec deux spires. La configuration des sources est présenté en Figure 3.1.

Les deux spires de courant circulaires sont coaxiales et la distance entre elleshest 10 cm. Les deux boucles possèdent toutes un rayon de 3 cm. Les sphères sur la Figure 3.1 sont les sphères de validité, qui sont les plus petites sphères qui englobent les sources. Ensuite, l’inductance mutuelle entre les deux spires sera calculée.

La formule analytique de l’inductance mutuelle entre deux spiresL12 est donnée dans [Dur68], elle intègre les inductions magnétiques d’une spire (donné dans la section 2.4) sur la surface de l’autre. Dans le cas de la Figure 3.1, l’inductance mutuelle est 1.26·10−9 H.

L12 peut également être déduite avec le développement en harmoniques sphériques. Comme illustré sur la gauche de la Figure 3.1, si on développe la spire 1 et la spire 2 surO1 etO2, qui sont leurs centres géométriques, on retrouve parfaitementL12= 1.26·10−9 avec Nmax= 5. En effet, par coïncidence, les points O1 et O2 sont leurs origines optimales pour le développement multipolaire. Cependant, que se passe-t-il si le développement n’est pas effectué sur l’origine optimale ?

A droite de la figure, la configuration des sources reste la même, mais l’origine du développementO1

est translatée dans la direction de z d’une distance de D. L12 est recalculée en fonction deD pour les différentsNmax comme présenté sur la Figure 3.2.

On peut constater qu’une meilleure précision est obtenue lorsqu’un ordre plus élevé est utilisé. En plus, l’erreur relative augmente avec D, la distance entre l’origine du développement O1 et le centre géométrique de la spire 1. On peut aussi dire la même chose dans l’autre sens : pour avoir la même précision, il faut monter en ordre lorsque le centre du développement s’éloigne du centre de la spire. Par exemple, lorsque D = 5 cm, l’erreur relative deL12 atteint 30% pour un développement jusqu’à l’ordre 5 (Nmax = 5). Pour réduire cette erreur à 10%, un développement jusqu’à Nmax = 9 sera nécessaire,

×O2 R2=3cm

Spire 2

Sphère de validité Sphère de validité

R1=3cm

×O1

Spire 1

Sphère de validité

Spire 2 R2=3cm

×O2 Sphère de validité

Spire 1 R1=3cm

×O1

y z

h= 10cm x h= 10cm

D

Figure

3.1 – Calcul de l’inductance mutuelle entre deux spires en translatant l’origine du développement

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 10 20 30 40 50 60 70

D(cm)

Erreurrelativedel’inductancemutuelleEr(%) Nmax= 5

Nmax= 7 Nmax= 9 Nmax= 11

Figure

3.2 – Erreur relative de l’inductance mutuelle en fonction de la position de l’origine du développement

ce qui peut ne pas être pratique. En effet, l’identification d’une source jusqu’à Nmax = 9 implique que 99 composantes harmoniques (Nmax·(Nmax+ 2)) doivent être déterminées. Cela permet de prouver l’importance du choix de l’origine pour la décomposition en harmoniques sphériques, mais est-t-il possible de trouver l’origine optimale pour n’importe quelle source ? Avant de répondre à cette question, on va d’abord étudier l’impact d’une translation sur les composantes harmoniques.

3.1.2 Impact d’une translation en HS

En fait, il revient au même de translater l’origine du développement harmonique, ou de translater en sens inverse la source elle-même. Comme expliqué dans la section 2.7.6, ce qui nous intéresse est l’induction magnétique à l’extérieur de la source, ceci signifie qu’on est dans le cas de la translation externe. L’équation (2.102) s’écrit alors :

Ann,m0,m0 = 2πjn0−n pn(n+ 1)n0(n0+ 1)

n+n0

X

n00=|n−n0|

jn”[n(n+ 1) +n0(n0+ 1)−n”(n” + 1)]

·A(m, n,−m0, n0, n”)rn”Yn”m−m0(θ, φ”)

!

(3.1)

Ann,m0,m0(r) est donc la fonction de transfert deQmn à Qmn00 pour une translation der:

r=r[sinθcosφ·ex+ sinθsinφ·ey+ cosθ·ez] (3.2)

A(m, n,−m0, n0, n”) est composé d’un produit du symbole de Wigner 3j qui est défini en (2.105). Grâce aux propriétés de Wigner 3j, certaines conclusions pratiques peuvent être obtenues pour la translation d’une source de rayonnement développée en harmoniques sphériques. La caractéristique la plus importante est qu’une composante harmonique peut seulement impacter des composantes d’ordre supérieur. Cela se traduit par :

Ann,m0,m0(r) =

(1 n=n0

0 n > n0 (3.3)

Cela signifie que la composante dipolaire d’une source quelconque est toujours une constante qui ne dépend pas de l’origine du développement. Une autre caractéristique est qu’en raison du termern” dans (3.1),Ann,m0,m0(r) peut en effet s’écrire sous une forme très simple de polynôme :

Ann,m0,m0(r) =k(n, n0, m, m0rn0−n (3.4) aveckune fonction qui dépend den,n0,metm0.

Prenons l’exemple d’une translation suivant l’axez. Dans ce cas,θ” = 0 etrse simplifie en : r=r·[0·ex+ 0·ey+ 1·ez] (3.5) La fonction harmoniqueYnm(0, φ) sera zéro, sauf si m= 0, c’est-à-dire quem =m0 dans l’équation (3.1). Ainsi, après une translation suivant z, une composante harmonique peut seulement impacter les composantes de même moment m. Les exemples des composantes de moment nul sont donnés sur la Figure 3.3.

Après une translation suivantz,Q01 peut engendrer les composantesQ02,Q03etQ04. Leurs expressions analytiques sont également données en Figure 3.3. Les translations suivantxetysuivent le même principe, elles peuvent s’exprimer sous une forme de polynôme. Cependant, les relations entre les composantes sont un peu plus complexes.

Cette écriture en polynôme est en effet très intéressante, elle permet d’avoir une combinaison linéaire simple des impacts d’une translation sur les composantes harmoniques. Ceci nous permettra aussi de trouver l’origine optimale par rapport à l’origine actuelle du développement comme expliqué dans les sections suivantes.

−1 −0.5 0 0.5 1 0

0.5 1 1.5 2

r(m)

Q0 1

−1 −0.5 0 0.5 1

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4

r(m)

Q0 2

−1 −0.5 0 0.5 1

0 5·10−2 0.1

r(m)

Q0 3

−1 −0.5 0 0.5 1

−2

−1 0 1 2 ·10−2

r(m)

Q0 4

A1,01,0(r) = 1 A2,01,0(r) =−0.4161·r

A3,01,0(r) = 0.1011·r2 A4,01,0(r) =−0.017·r3

Figure

3.3 – Impacts d’une translation suivant l’axe

z

sur les composantes harmoniques de moment nul

3.1.3 Énergie magnétique en harmoniques sphériques

Les forces électrostatiques et magnétiques peuvent faire déplacer des objets à distance, il semble donc évident qu’à tout phénomène électromagnétique est associé une énergie. Cette énergie est appelée énergie électromagnétique [Mor12]. D’après les équations de Maxwell, la densité d’énergie électromagnétique dans le vide, correspondant à l’énergie contenue dans un volume élémentaire est donnée par :

dW = 0

2E2+ 1 2µ0

B2 (3.6)

Rappelons que dans ce travail, en raison de l’approximation quasi-stationnaire, l’énergie électrique est négligeable devant l’énergie magnétique. L’équation (3.6) se simplifie alors :

dW = 1

2µ0B2 (3.7)

Maintenant, on cherche à calculer l’énergie magnétique totale à l’extérieur d’une sphère d’intégration.

La source est dans cette sphère, on est donc dans un cas de problème externe. En faisant apparaître le potentiel magnétique vectoriel Adéfini en (2.13), cette énergie magnétique s’écrit :

W = 1 2µ0

˚

v

B·B·dV = 1 2µ0

˚

v

B·(∇ ×AdV (3.8)

Grâce à une relation mathématique sur les opérateurs différentiels :

Une autre propriété des opérateurs différentiels est :

u=∇(∇ ·u)− ∇ ∧(∇ ∧u) (3.11) En la combinant avec (3.10), on obtient :

∇ ∧(∇ ∧A) =∇(∇ ·A)−∆A (3.12)

Il est déjà montré dans la section 2.3.5 que :

(∇ ·A= 0 la jauge de Coulomb

A= 0 libre de courant (3.13)

Ainsi, l’expression de l’énergie magnétique se simplifie en : W = 1

2µ0

˚

v

∇(AB)dV (3.14)

En analyse vectorielle, le théorème de flux-divergence affirme l’égalité entre l’intégrale de la divergence d’un champ vectoriel sur un volumev dansR3 et le flux de ce champ à travers la surface ferméS.

˚

avecFun vecteur quelconques.

Donc l’énergie magnétique à l’extérieur de la sphère d’intégration s’écrit comme : W = 1

Reprenons les expressions deBetAcomme dans la section 2.8.2 :

Les calculs sont du même principe que dans la section 2.8.2 et au final on trouve :

W =µ0

En raison du terme 1

r2n+1, W diminue avec r. Cela signifie que plus la sphère d’intégration est grande, plus l’énergie électromagnétique à l’extérieur de la sphère d’intégration est petite, ce qui est physiquement logique. Chercher l’origine optimale du développement revient à chercher la position relative de la source par rapport à l’origine qui permet de minimiser l’énergie à l’extérieur en (3.18). Supposons que la sphère d’intégration est une sphère de rayon unité, c’est-à-direr= 1, on cherche donc à minimiser

X

n=0 n

X

m=−n

(n+ 1)·(Qmn00)2avec :

Qmn00 =

X

n=1 n

X

m=−n

Qmn ·Ann,m0,m0(r) (3.19) Vu que l’on est dans le cas de translation externe,Ann,m0,m0 peut s’écrire sous une forme de polynôme (3.4). La dernière étape est de trouver un vecteurr(x, y, z) qui minimise

X

n=0 n

X

m=−n

(n+ 1)·(Qmn00)2.

3.1.4 Méthode de Nelder-Mead et origine optimale du dévelop-pement

La méthode de Nelder-Mead, appelée aussi la méthode du simplex, est une méthode numérique heuristique, qui est appliquée couramment pour trouver le minimum ou le maximum d’une fonction dans un espace multidimensionnel. Elle peut aussi être appliquée aux problèmes non linéaires. Cette méthode a été proposée par John Nelder et Mead en 1965 [NM65].

Pour un problème àN dimensions, il faut avoirN+1 tests initiaux, qui peuvent aussi être vus comme N+1 sommets. Le principe de cette méthode est de remplacer le pire test parmi cesN+1 par un nouveau point d’une façon itérative et le résultat converge vers la solution exacte. Il y a diverses méthodes pour obtenir de nouveaux : réflexion, expansion, contraction et rétrécissement. Afin de bien comprendre le principe, un exemple en dimension 2 est proposé (N = 2) [MF04].

Considérons f(x, y) (la fonction à minimiser) et trois tests initiaux formant trois sommets d’un triangle, respectivement P1= (x1, y1),P2= (x2, y2) et P3= (x3, y3). Supposons que :

f(P1)< f(P2)< f(P3) (3.20) Donc le pointP1 est le meilleur point et le point P3 est le pire point qui sera remplacé. P0 est le centre de gravité de tous les points sauf PN+1. Dans cet exemple,P0s’écrit comme :

P0=P1+P2

2 =x1+x2

2 ,y1+y2

2

(3.21) Les quatre opérations principales sont :

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