Maximum a posteriori (MAP)

Table

4.11 – Coefficients harmoniques pondérés par

(

= 0

1 m) obtenus à partir des 50 mesures en ajoutant les contraintes

On peut constater qu’en ajoutant les contraintes, certaines composantes harmoniques sont presque annulées et on peut clairement voir les composantes engendrées par les fils d’alimentation et la translation du bobinage, tels que :Q²₂,Q³₃, etc. Au final, l’erreur quadratique est calculée et on obtient :ε= 0.3%. En fait, la méthode des moindres carrés sous contraintes est 18 fois plus précise que celle sans information.

En conclusion, la méthode des moindres carrés sous contraintes est assez pertinente pour prendre en compte les informations incertaines dans la résolution du problème inverse, ce qui permet d’augmenter la précision. Néanmoins, le choix du paramètre ξ exige de la prudence. Si il est défini trop petit, ceci est équivalent au cas sans informations ; si il est défini trop grand, les coefficients harmoniques non principales seront tous annulés. Il n’est pas évident de choisir a priori ce paramètreξ. Une autre méthode est donc proposée, permettant de transformer les informations incertaines sous la forme d’une densité de probabilité. Ainsi les valeurs des coefficients harmoniques non principales ne sont pas strictement limitées.

La méthode est expliquée dans la section suivante.

4.6.4 Maximum a posteriori (MAP)

La méthode du maximum a posteriori est une méthode pour résoudre les problèmes inverses sous une forme de densité de probabilité. La méthode est très liée au maximum de vraisemblance, mais en prenant en compte des informations a priori. Cette méthode est aussi appelée l’estimateur Bayésien, parce qu’elle est basée sur l’inversion Bayésienne. Ainsi, le théorème de Bayes sera d’abord introduit.

4.6.4.1 Théorème de Bayes

Dans la théorie des probabilités et statistiques, le théorème de Bayes décrit la probabilité d’un évé-nement, en fonction de la connaissance préalable des conditions qui pourraient être liées à l’événement [Bay63] [Dow12]. Cette probabilité est appelée la probabilité conditionnelle, qui est définie comme :

P(A|B) = P(B|A)·P(A)

P(B) (4.59)

avec :

• Aet B : événements ;

• P(A) etP(B) : probabilités a priori des événementsAet B. Le termea priorisignifie qu’elle ne prend pas en compte toute information sur l’autre.

• P(B|A) : probabilité d’observer l’événementB étant donné que Aest vrai ;

• P(A|B) : probabilité conditionnelle d’observer l’événement Aétant donné queB est vrai.

Pour notre problème, l’événementA représente les coefficients harmoniques que l’on cherche à iden-tifier, l’événement Breprésente les inductions magnétiques mesurées ou calculées. Le théorème de Bayes permet donc d’obtenir la densité de probabilité conditionnelle des coefficients harmoniques à partir des observations et des densités de probabilités des paramètres. Le problème linéaireA·Q=Bs’écrit donc comme suit :

P(Q|B) = P(B|Q)·P(Q)

P(B) (4.60)

Avec l’hypothèse que les incertitudes de mesures sont des bruits blancs qui suivent la loi gaussienne, nous pouvons reprendre l’équation (4.29) :

P(B|Q) = 1

√2πσ² ·exp

−(kA·Q−Bk² σ²

(4.61) Grâce à la linéarité du problème,P(B|Q) peut s’écrire sous la forme matricielle [Sch06] :

P(B|Q)vexp

−1

2(A·Q−B)^t·S⁻¹_m ·(A·Q−B)

(4.62) S_mest la matrice de covariance des mesures, qui représente l’incertitude de chaque mesure. Supposons maintenant que nous connaissons un vecteurQ0, qui représente les coefficients harmoniques a priori. De la même manière, la densité a priori peut s’écrire comme :

P(Q0)vexp

−1

2(Q−Q0)^t·S⁻¹₀ ·(Q−Q0)

(4.63) S0 est la matrice de covariance de l’information a priori qui représente son incertitude. C’est une matrice carrée, de dimension égale au nombre de coefficients harmoniques considérés. En appliquant l’équation (4.60), on obtient :

P(Q|B) =P(B|Q)·P(Q) vexp

−1

2(A·Q−B)^t·S⁻¹_m ·(A·Q−B)−1

2(Q−Q0)^t·S⁻¹₀ ·(Q−Q0)

(4.64)

4.6.4.2 Méthode du maximum a posteriori

La méthode du maximum a posteriori cherche la solution deQla plus probable, qui maximise donc la probabilité a posterioriP(Q|B). Il faut noter qu’il existe d’autres types d’estimateurs tels que le minimum de variance et le maximum de la moyenne a posteriori [Kay93], mais dans ce travail on se focalise sur la

méthode MAP, parce que les calculs sont simples et il existe toujours une solution.

[Tar04] a donné la solution qui maximiseP(Q|B). La solutionQM AP peut être exprimée sous trois formes :

QM AP = (A^TS⁻¹_mA+S⁻¹₀ )⁻¹(A^TS⁻¹_mB+S⁻¹₀ Q0)

=Q0+ (A^TS⁻¹_mA+S⁻¹₀ )⁻¹A^TS⁻¹_m(B−AQ₀)

=Q0+S0A^T(AS0A^T +Sm)⁻¹(B−AQ0)

(4.65a) (4.65b) (4.65c) On peut constater sur (4.65b) et (4.65c) que la solution de la méthode du maximum a posteriori est au voisinage de l’information a priori, donc une information a priori complètement fausse dégradera bien sûr l’identification du dispositif inconnu.

En fait, lorsque S0 est trop importante, l’information a priori est trop incertaine et est évincée directement dans le calcul, parce que [Pin14] :

S₀→ ∞ =⇒ S⁻¹₀ →0 (4.66)

Dans ce cas, à partir de (4.65a), on peut constater que S₀ et Q₀ ne sont pas pris en compte. Ceci peut donc être considéré comme une absence d’information a priori, qui revient donc au même que de la méthode du maximum de vraisemblance sur l’équation (4.51) :

QM V = (A^TS⁻¹_mA)⁻¹A^TS⁻¹_m B (4.67) Le comportement est le même pour les mesures. Si les variances des mesures sont trop grandes par rapport à l’information a priori (S_m→ ∞), les mesures ne sont donc pas considérées dans la résolution et on obtient finalementQM V =Q0.

Il est intéressant de noter que l’équation (4.67) est la même que la méthode des moindres carrés pondérée parSm. Si on ne connaît pas l’incertitude de mesuresSm, la solution revient à celle de moindres carrés :

QM C = (A^TA)⁻¹A^TB (4.68)

La question maintenant est comment appliquer la méthode MAP pour rendre les informations a priori utiles ?

4.6.4.3 Application sur l’information a priori géométrique

Reprenons l’exemple de l’inductance de lissage avec ses fils d’alimentation. On sait que les composantes harmoniques, à part les 9 principales, sont relativement faibles : comment rendre cette information utile ? Les coefficients obtenus en simplifiant le modèle sont pris comme une information a priori, qui est représentée par Q₀. Ensuite, une variance est donnée pour chaque composante harmonique, qui est re-présentée par S0, qui est une matrice diagonale proportionnelles à la matrice identité. Il est important de noter que la variance est le carré de l’incertitude, dans l’exemple de l’inductance de lissage, la compo-sante harmonique principale est d’environ 50, une variance de 10 est alors donnée à chaque compocompo-sante harmonique.

En appliquant (4.65), les coefficients harmoniques peuvent être obtenus, ils sont présentés dans la Table 4.12.

On peut constater que les coefficients sont légèrement différents par rapport à ceux de la méthode des moindres carrés sous contraintes et l’erreur est :ε= 0.9%.

Comme pour la méthode des moindres carrés sous contraintes, le choix de la varianceS0exige de la prudence. Comme présenté en Figure 4.13, si la variance est définie trop grande, on retrouve les résultats le cas sans informations, si la variance est définie trop petite, il revient au même que de simplifier le

- +

Table

4.12 – Coefficients harmoniques pondérés par

(r = 0.1 m) obtenus à partir des 50 mesures avec la méthode MAP

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶

Simplification du modèle Sans information a priori

Table

4.13 – Erreur quadratique relative en fonction de

4.6.4.4 Autres applications

L’information a priori de la méthode du maximum a posteriori est définie par sa moyenne et sa variance, il est donc aussi possible d’insérer une connaissance totale des coefficients harmoniques. Cette information peut venir des mesures, de la modélisation ou des deux. Ces informations peuvent être incer-taines, mais permettent quand-même d’améliorer la résolution du problème lorsque elles sont correctes.

Un autre avantage de la méthode MAP est qu’elle nous permet non seulement d’estimer tous les co-efficients harmoniques, mais aussi les incertitudes sur chaque composante. La matrice de covariance de QM AP est donné par [Tar04] :

S_{M AP} = (AS⁻¹_mA+S⁻¹₀ )⁻¹

=S0−S0A^T(AS0A^T+Sm)⁻¹AS0

(4.69)

La diagonale de SM AP représente la variance de chaque coefficient harmonique. Un exemple de problème interne est donné dans [Pin14] pour les fils électriques dans une voiture. Le principe est le même pour les problèmes externes. Afin de mieux comprendre la méthode, elle est appliquée à l’exemple de l’inductance de lissage sera montré.

En pratique, on connait souvent approximativement la forme de l’objet à identifier, mais pas exacte-ment tous les paramètres. L’idée est d’effectuer des modélisations en éléexacte-ments finis en faisant varier tous

les paramètres géométriques. Puis d’établir l’information a priori, c’est-à-dire obtenir Q₀ et S₀ à partir de ces échantillons. De cette manière, le nombre de mesures peut être largement réduit pour identifier le dispositif inconnu.

Reprenons la bobine de lissage de la Figure 4.22, la forme du bobinage, la position des fils d’alimen-tations, les dimensions du noyau, etc, ne sont pas connues exactement. 20 essais sont effectués avec les différents paramètres géométriques. 8 exemples sont donnés sur la Figure 4.24.

Figure

4.24 – 8 exemples de bobines modélisés sous

3

Les coefficients harmoniques sont calculés pour chaque essai et leur moyenne donneQ0, présenté dans la Table 4.14.

De même, la matrice de covarianceS0peut également être obtenue. Il faut noter ici que les paramètres du vrai dispositif à étudier ne sont pas inclus. Ensuite, a titre d’exemple, 4 points équidistants (répartis sur les quatre sommets d’un tétraèdre régulier) sont choisis pour identifier le dispositif sur la Figure 4.22, jusqu’à l’ordre 6. Comme avant, 300 points uniformément répartis sur la sphère de mesure (une sphère de rayon r= 10 cm) sont choisis comme références, pour comparer la précision des coefficients obtenus.

Les erreurs quadratiques relatives sur les inductions magnétiques de ces 300 points ε sont calculées et données dans la Table 4.15.

La méthode du maximum du vraisemblance possède ici une erreur extrêmement importante. C’est logique, parce qu’avec 4 équations et 48 inconnues, le problème est donc mal posé, ce qui conduit facilement à une solution sans sens physique. L’erreur sur l’information a priori est aussi très élevé car elle ne correspond pas au vrai modèle. Par contre, la méthode du maximum a posteriori, qui est l’ensemble des