Polarisation en l'absence de champ appliqué: capteur éteint

La situation où le potentiel appliqué est constant au sein de l'objet, correspond au fait qu'aucun champ n'est appliqué, c'est à dire que l'objet est hors de la portée d'un capteur actif soit dans la portée d'un capteur éteint. Dans ces conditions, le coecient V(a)

l,m se réduit à V(a,0) l,m : V_l,m(a,0)= Z ∂O φa(y0)Yl,m∗ (Ω)dΩ. (4.61)

Comme φa(y0)est constant sur ∂O, on obtient : V_l,m(a,0)= φa(y0)

Z ∂O

Y_l,m∗ (Ω)dΩ, (4.62)

ce que l'on peut réécrire comme : V_l,m(a,0)= 2√πφa(y0)

Z ∂O

Y0,0(Ω)Yl,m∗ (Ω)dΩ. (4.63)

Et d'après la propriété d'orthonormalité des éléments de la base des harmoniques sphé- riques (4.53) :

V_l,m(a,0)= 2√πφa(y0)δl,0δm,0. (4.64) On ne rajoute rien ici à l'interprétation physique d'un potentiel appliqué constant au sein de l'objet, si ce n'est que l'on explicite le coecient V(a,0)

l,m . On peut simplement dire que comme aucun champ appliqué n'est établi, aucune charge de polarisation ne se forme à la surface de l'objet, et donc l'objet ne perturbe aucunement la scène puisqu'il ne peut se former de moment multipolaire de charges à sa surface.

4.3.4.2 Polarisation en la présence d'un champ appliqué uniforme au sein de l'objet

Nous avons vu au paragraphe précédent qu'en réalité le terme V(a,0)

l,m ne contribue en rien à la polarisation de l'objet, ce qui nous amène à penser que l'eet polarisant commence avec le terme V(a,1)

l,m . Ce dernier s'écrit : V_l,m(a,1)=

Z ∂O

Y_l,m∗ (Ω)(−)(y0− y)T · ∇φa(y0)dΩ. (4.65) En posant ∇φa(y0) = −Ea(y0) et y − y0=| y − y0 | er(Ω), on obtient :

V_l,m(a,1)= − Z

∂O

| y − y0 | Yl,m∗ (Ω)eTr · Ea(y0)dΩ. (4.66) Le champ appliqué Ea(y0) étant constant sur ∂O, on peut encore écrire :

V_l,m(a,1)= − Z ∂O | y − y₀ | Y_l,m∗ (Ω)eT_rdΩ  · E_a(y0). (4.67)

Procédons maintenant à une décomposition de | y − y0|dans la base des harmoniques sphériques, on a : | y − y₀ |= 2√π ∞ X l00 l00 X m00_=−l00 Cl00_,m00Y_l00_,m00(Ω), (4.68)

où les Cl00_,m00 sont les coecients de décomposition de | y−y₀ |dans la base des harmo-

niques sphériques. Décomposons également le vecteur er(y). Pour cela nous introduisons une base hilbertienne {e−1, e0, e1}telle que :

er= 2√π √ 3 1 X m3=−1 Y1,m3(Ω)e−m3, (4.69) avec : e−1 = −ex√−ie₂ y e0 = ez e1 = ex√+ie₂y, (4.70)

où {ex, ey, ez}est la base cartésienne de l'objet. A l'aide des deux dernières décompo- sitions (4.68) et (4.69), nous pouvons réécrire V(a,1)

l,m : V_l,m(a,1)= −√4π 3 ∞ X l00₌₀ l00 X m00_=−l00 1 X m3=−1 Cl00_,m00 Z ∂O Yl00_,m00(Ω)Y_l,m∗ (Ω)Y_1,m 3(Ω)dΩ  e−m3·Ea(y0). (4.71) On introduit alors les coecients de Clebsch-Gordan :

cl,m(l0, m0; l00, m00) = Z

Ce qui nous conduit à : V_l,m(a,1)= −√4π 3 ∞ X l00₌₀ l00 X m00_=−l00 1 X m3=−1 Cl00_,m00cl,m(l00, m00; 1, m₃)e_−m 3.Ea(y0), (4.73)

où le coecient c dénit les couplages possibles entre le degré de complexité géomé- trique (l00_{, m}00_{)et les indices de décomposition (l, m) du potentiel appliqué pour un champ} appliqué ici uniforme au sein de l'objet. Il est bien établi d'après une étude systématique [Gossiaux, 2009b] que les coecients de décomposition géométrique Cl00_,m00 contribuent

aux termes V(a,1)

l,m suivant l = l

00_{± 1, ce qui signie par exemple que si deux objets ad-} mettent comme coecient principal de décomposition C0,0, il s'y établira un même po- tentiel appliqué d'indice (l = 1). Ainsi, du fait que le potentiel appliqué varie quasiment de même manière sur ces deux objets (C0,0 est leur coecient géométrique dominant), le champ appliqué varie quasiment de même manière et d'après la loi de Maxwell-Gauss (2.2) E · n= σ/0 à la surface des deux objets, ce qui induit, qu'en leur coecient dominant où leurs normales sont égales, les charges appliquées se déposent aux même endroits. Il vient alors, d'après notre étude réalisée à la section 4.2.2, qu'il se produira un même moment multipolaire des charges appliquées, produisant une même perturbation. Les objets seront de fait électriquement indiscernables. On comprend alors le challenge posé par la modé- lisation de la réponse en électrolocation si on imagine la situation suivante : considérons 2 objets O1 et O2, admettant pour le premier une décomposition géométrique suivant un unique coecient C0,0, et admettant pour le second une décomposition géométrique sui- vant des termes C0,0 et Ci,0, où i > 0. On comprend alors que ces 2 objets aquièrent tous deux un même moment multipolaire suivant leur coecient C0,0 et que si le premier objet n'acquiert pas d'autre état de polarisation, le second, lui, gagne un moment de polarisation supplémentaire, conformément au fait que les coecients géométriques contribuent aux co- ecients du potentiel appliqué suivant l = l00_{± 1, soit ici l = i − 1. En se souvenant, que} la réponse associée au moment de polarisation s'atténue fortement avec l'ordre de celui-ci (voir section 4.2.2), comme raison inverse de la distance entre l'objet et le capteur élevée à une puissance croissante avec l'ordre de polarisation, on comprend qu'il sera dicile de distinguer les 2 objets O1 et O2 ainsi dénis si nous ne mesurons pas de susamment près leur réponse. Il en va par exemple ainsi de la sphère et du cube , la sphère étant décrite par le seul coecient C0,0 et le cube par les termes C0,0 et les C4,m00, avec m00= {−4, 0, 4}

[Gossiaux, 2009b]. On voit à travers cet exemple que ces deux objets admettent un même moment multipolaire au premier ordre (un moment dipolaire) venant de leur terme com- mun C0,0, mais que le cube aquiert aussi au moins un moment d'ordre plus élevé suivant l = 3 du fait de l'existence des coecients C4,m00. On comprend donc, que du fait de

la relative petitesse avec la distance au capteur de la réponse liée au nouveau moment multipolaire (ici un moment hexapolaire) par rapport au moment de premier ordre, qu'il faudra se rapprocher susamment près, tout en conservant un champ appliqué uniforme au sein de l'objet, si nous voulons achever la distinction entre les 2 objets. Le problème étant que si nous émettons et mesurons avec un même capteur, il nous sera sans doute dicile d'obtenir les détails d'un objets nous permettant de le distinguer d'un autre, en nous rapprochant car de fait, le champ appliqué perdra son degré d'uniformité au sein de l'objet. D'où la nécessité de tenir compte des eets de la non uniformité d'un champ appliqué sur la réponse, ce que nous traîtons ci-après.

4.3.4.3 Polarisation en présence d'un champ appliqué non uniforme au sein