Dans cette section, nous présentons une méthode pour calibrer le modèle poly-sphérique. En eet, du fait de l'existence de parties isolantes dans le capteur réel, nous avons à re- chercher des tailles et des séparations d'électrodes électriquement équivalentes à celles du capteur réel. Le principe de la méthode est particulièrement simple. Il consiste à trouver les rayons et distances de séparation d'électrodes du modèle PSM qui minimisent, en l'absence de perturbation extérieure, une norme de l'écart entre la matrice de conductance C(0)
PSM du modèle et, soit la matrice de conductance C(0)
BEM donnée par un simulateur électrique qui résoud par la méthode BEM (Boundary Elements Method ou Méthode basée sur les éléments nis aux frontières) les équations qui gouvernent les états électriques aux sur- faces du capteur et de l'objet (chapitre II) , soit la matrice de conductance C(0)
EXP donnée par la mesure expérimentale. Ces deux dernières conductances tiennent compte de l'exacte géométrie du capteur. Un tel écart ou critère pourrait être exprimé, dans le cas d'une calibration avec la BEM, par :
Γ = v u u t trace(C(0)BEM− C(0)PSM)2 trace(C(0)BEM)2 . (5.25)
Nous allons illustrer cette méthode de calibration avec deux types de capteurs réels : un capteur bi-polaire constitué de deux électrodes et un capteur quadru-polaire constitué de quatre électrodes (les mêmes que ceux présenté au chapitre III). Ces capteurs, nous le rappelons, ont un corps cylindrique d'une longueur L = 20 cm et toutes leur électrode ont un rayon a = 1 cm. Le rapport entre le rayon des électrodes et la plus petite distance qui les sépare, est de 5%, pour le premier capteur et de 14.3% pour le second capteur, ce qui demeure faible et, donc conforme à l'une des conditions principales d'applicabilité du modèle PSM, à savoir que les électrodes doivent avoir un rayon plus petit que la distance minimale qui les sépare. On doit au passage faire le constat que de fait, le capteur bi-polaire aura un modèle PSM plus précis que le capteur quadru-polaire.
5.2.1 Calibration du modèle PSM sur le capteur bi-polaire
Sur la gure 5.2, on peut apercevoir la géométrie réelle du capteur bi-polaire, présenté au chapitre III. Ce capteur est constitué de deux électrodes de forme hémisphérique aux extrémités. Dans le cas présent, nous n'avons pas besoin d'utiliser le critère présenté en
Figure 5.2 Le capteur bi-polaire. Les deux électrodes sont situées aux extrémités et sont de forme hémisphérique. Les deux électrodes ainsi que le tube isolant cylindrique qui les sépare ont un rayon de 1 cm.
(5.25), puisque la matrice de conductance se limite à une seule valeur. D'autre part les inconnues se limitent par symétrie au rayon a d'une électrode et à la longueur entre les deux électrodes. Tous calculs faits, en imposant la longueur du modèle à celle du capteur réel, nous trouvons a ' 0.71 cm. Cette valeur est inférieure à celle du rayon de l'électrode hémi-sphérique (1 cm), ce qui est assez cohérent. En eet, pour reproduire les courants du capteur réel, nous utilisons dans le modèle PSM des électrodes sphériques, qui, pour avoir une surface équivalente aux électrodes réelles, doivent avoir un rayon inférieur à celles-ci, i.e. a < 1 cm.
5.2.2 Calibration du modèle PSM sur le capteur quadru-polaire
Nous allons traîter maintenant le cas du capteur quadru-polaire. La géométrie de ce capteur est présentée sur la gure 5.3 a). Par symétrie, nous avons à rechercher les valeurs équivalentes au capteur réel de quatre inconnues : le rayon ae des électrodes extérieures, le rayon ai des électrodes intérieures, la distance Le entre une électrode extérieure et son électrode voisine intérieure ainsi que la distance Li entre les électrodes intérieures. Un schéma du capteur réel ainsi qu'un schéma des paramètres de calibration du modèle poly- sphèrique sont représentés sur la gure 5.3. Il su t maintenant de calculer la matrice de
(a) (b)
Figure 5.3 a) Le capteur quadru-polaire. Le capteur dispose de quatre électrodes : deux électrodes dites extérieures situées aux extrémités, de forme hémisphérique, et deux électrodes dites intérieures situées près du centre du capteur, de forme annulaire. b) le modèle PSM du capteur quadru-polaire avec ses paramètres de calibration.
conductance par la BEM et de minimiser le critère présenté en (5.25) pour trouver les quatre inconnues. Concrétement, la BEM nous donne la matrice de conductance suivante :
CBEM(0) = γ 100 7.1463 −2.7143 −2.2378 −2.7115 7.5890 −2.6437 −2.2337 −2.6437 7.5890 . (5.26)
Nous nous attendons cependant à une matrice symétrique, puisque le modèle poly- sphérique prédit une matrice de conductance symétrique, étant l'inverse d'une matrice RPSM(0) qui est symétrique (5.14). Cet écart à la symétrie, nous l'imputons essentiellement à une imprécision numérique liée à un nombre d'éléments de maillage un peu inférieur au nombre requis. Un nombre adéquat d'éléments demanderait un temps considérable- ment plus long, sans qu'il y ait un gain substantiel en précision pour la robotique1. En conséquence, il est préférable de symétriser cette matrice de sorte que l'on ait :
CBEM(0) ' γ 100 7.1463 −2.7129 −2.2357 −2.7129 7.5890 −2.6437 −2.2357 −2.6437 7.5890 . (5.27)
En minimisant le dit critère par la méthode des moindre carrés par exemple nous trouvons que les meilleurs paramètres pour reproduire la même matrice de conductance CBEM(0) sont ae= 0.72 cm, ai = 0.73cm, Le= 7.45 cm et Li= 6.94 cm. Le critère avec ces paramètres est évalué à Γ(ae, ai, Le, Li) ' 4.48 × 10−5. La matrice de conductance PSM obtenue avec ces paramètres s'écrivant :
CPSM(0) ' γ 100 7.16259 −2.72023 −2.22485 −2.72023 7.61152 −2.66645 −2.22485 −2.66645 7.61152 (5.28)
1. On attire cependant l'attention du lecteur en lui disant qu'une simulation BEM avait été réalisée avec une nesse accrue, dans le cas du capteur bi-polaire, et que cela avait abouti, dans un temps très long, à des valeurs présentant un écart relatif chiré à 1% avec les valeurs présentées ici dans cette thèse, ce qui n'est sans doute pas préjudiciable pour les besoins de la robotique.
On note ici l'excellente capacité du modèle PSM à reproduire la conductance du vrai capteur. Le modèle PSM peut donc en théorie, se substituer complètement au capteur réel, en l'absence d'objet.