Nous choisissons une manière originale de résoudre l'équation de Laplace dans une scène composée de notre capteur et d'objets à la surface desquels sont véri ées les conditions limites énoncées dans la section précédente. Suivant le principe de superposition, nous pouvons envisager le problème de l'électrocinétique quasi-statique comme une succession d'étapes pour lesquelles nous avons à résoudre à chaque fois une nouvelle équation de Laplace. En appliquant ce principe, la première étape consiste à résoudre la dite équation avec le capteur seul, puis sans le capteur avec l'objet, puis de nouveau sans l'objet avec le capteur seul... Chacune de ces étapes donnant lieu à une nouvelle solution de l'équation de Laplace relative à l'étape, laquelle solution dé nissant l'état de rééquilibre du capteur (ou de l'objet) à ce pas donné, engendre le nouvel état de rééquilibre de l'objet (ou du capteur) au pas suivant. Cette décomposition du problème, nous l'appelons méthode des ré exions par analogie avec une onde se propageant dans la scène en rebondissant tour à tour sur le capteur et les objets ( g. 6.2).
Comme nous le voyons, la méthode des ré exions oblige à résoudre une in nité d'équa- tions, à chaque réémission du potentiel par l'objet ou le capteur. Toutefois, du fait de la rapide atténuation des interactions électriques avec la distance, nous pouvons approximer la solution exacte du problème direct par le développement en série suivant :
φ = φ0+ φ1+ φ2+ ..., (6.5)
où lorque l'indice i augmente, | φi | décroît comme l'inverse d'une certaine puissance strictement positrive s d'une distance typique séparant le capteur de l'objet, que l'on dé- nomme r, telle que r R. En pratique, dès que r ≥ 3R, l'approximation est valide. Cependant, pour faciliter la compréhension des développements ultérieurs, nous invitons le lecteur à considérer que dans tout ce qui suit, r ≥ l. Dans ces conditions, un développe- ment est possible en invoquant les schémas classiques de développements perturbatifs bien établis en physique théorique [Morse and Feshbach, 1953]. Ici nous suivrons la méthode des ré exions successives comme elle est employée en hydrodynamique dans le régime des bas Reynolds pour modéliser les interactions entre les particules dans un écoulement di- phasique [Happel and Brenner, 1965]. Dans le contexte présent, cette méthode itérative est appliquée comme suit :
Tout d'abord on résoud l'équation de Laplace pour le capteur seul sans objet et on cherche une solution φ0 en posant à la première étape :
∆φ0 = 0, ∀x ∈ Do. (6.6)
Les conditions limites dans le régime de l'électrocinétique quasi-statique sont à la pre- mière étape :
φ0(x) = Uα(t), ∀x ∈ ∂εα=0,1,..m, (6.7)
Figure 6.2 Un schéma illustrant le principe de la méthode des ré exions. (En haut à gauche) Lors de l'étape initiale le capteur isolé émet un potentiel φ0. (En haut à droite) Lors de la seconde étape l'objet sans le capteur ré échit le potentiel φ0 en y ajoutant la réponse φ1. Puis lors de la troisième étape, le capteur considéré une nouvelle fois comme seul ré échit le potentiel φ0+ φ1 en y ajoutant φ2. Le processus peut être répété à l'in ni.
∂φ0
∂n (x) = 0, ∀x ∈ ∂Iα=1,2,..m. (6.8)
A la seconde étape, le capteur est retiré de la scène, ne restent que l'objet et le potentiel φ0 qui lui est incident. L'objet ajoute lors de cette étape un potentiel φ1 qui réalise sa réponse. On résoud alors une nouvelle équation de Laplace :
∆ (φ0+ φ1) = 0, ∀x ∈ Do. (6.9)
Ce qui du fait de (6.6) se réduit à :
∆φ1 = 0, ∀x ∈ Do. (6.10)
Les conditions aux bords sur l'objet deviennent : γ ∂φ0 ∂n + ∂φ1 ∂n (x−) = γk ∂φ0 ∂n + ∂φ1 ∂n (x+), ∀x ∈ ∂Ok=1,...,p. (6.11) Ce qui est équivalent à avoir :
γ∂φ1 ∂n(x−) − γk ∂φ1 ∂n (x+) = (γk− γ) ∂φ0 ∂n(x), ∀x ∈ ∂Ok=1,...,p, (6.12) et : φ1(x−) − φ1(x+) = φ0(x−) − φ0(x+) = 0. (6.13) Pour la troisième étape, où l'onde incidente sur le capteur est identi ée à φ0+ φ1, on a à résoudre l'équation de Laplace suivante :
∆ (φ0+ φ1+ φ2) = 0, ∀x ∈ Do. (6.14)
Ce qui se réduit compte tenu de (6.6) et (6.10) à :
∆φ2 = 0, ∀x ∈ Do. (6.15)
Les conditions sur le capteur deviennent alors :
(φ0+ φ1+ φ2) (x) = φ0(x), ∀x ∈ ∂ei=0,1,..,m, (6.16) ce qui est équivalent à :
φ2(x) = −φ1(x), ∀x ∈ ∂ei=0,1,..,m, (6.17) et : ∂φ0 ∂n + ∂φ1 ∂n + ∂φ2 ∂n (x) = 0, ∀x ∈ ∂Iα=1,2,..m. (6.18) Ce qui est équivalent, compte tenu de (6.8), à :
∂φ2
∂n (x) = − ∂φ1
∂n(x), ∀x ∈ ∂Iα=1,2,..m. (6.19)
Et ainsi de suite pour les autres étapes...
Le principe de cette méthode itérative est résumé dans la gure 6.2. Le développement perturbatif en série a en fait un sens physique. Chacun des φi représente la réponse à la somme φ0+φ1+...+φi−1, dont chacun des termes est le potentiel qui a été alternativement re été par le capteur ou l'objet du fait des conditions limites à la surface de ces derniers, quand l'indice i augmente ( g. 6.2). C'est précisément l'interprétation du développement qui donne le nom à la méthode. Nous retrouvons naturellement dans cette interprétation l'atténuation en 1/rsde l'amplitude des signaux ré échis à chaque passage entre le capteur B et l'objet O, où s dépend de la taille de B et O. Plus précisément, si nous dé nissons le rapport | φi+1/φi |comme le facteur d'atténuation introduit par le i-ème re et et mesuré en certains points intermédiaires localisés entre le capteur et l'objet, nous voyons que ce facteur est de l'ordre de (a/r)3 si i est impair (renvoyé par l'objet) et de l'ordre de R/r si i est pair (renvoyé par le capteur). Finalement, remarquons que ces re ets successifs ont en fait un sens physique, puisque durant de très courtes durée, la vitesse du signal ne peut pas être considérée comme in nie et que l'équation de Laplace se transforme en équation de propagation. Ainsi, dans des temps très courts, les re ets successifs existent bien, mais les ondes vont très rapidement interférer de manière constructive et desctructive pour ne laisser au nal que la solution stationnaire φ. Nous pouvons ajouter en remarque
que pour le sens acoustique actif, ou pour l'écho-location, les solutions transitoires ont une durée de vie plus longue. Qui plus est, dans ce cas de gure, le facteur d'atténuation peut être diminué d'un ordre de grandeur puisqu'un monopôle est concevable et réalisable en acoustique (et en optique) alors qu'en électrostatique (ou dans le régime RQS), les objets polarisés étant électriquement neutres ne peuvent engendrer que des dipôles à l'ordre dominant. Finalement, en injectant le développement en série du potentiel total (6.5) dans l'expression des densités de courant total j, chaque re et contribue individuellement au courant total I de la manière suivante :
I ' I(0)+ I(1)+ I(2)+ ..., (6.20)
où chaque nouvelle contribution est dé nie pour : k = 0, 1, 2, ..., n, et i = 0, 1, 2, ... par : Ik(i) =
Z ek
γ∂φi
∂nds. (6.21)