Equations du problème

Venons en à présent à l'écriture des équations dans le cadre physique principal que nous nous sommes prescrit. Sous les conditions sus-évoquées de quasi-stationnarité des

ondes électromagnétiques, nous pouvons considérer des champs électriques et magnétiques oscillant avec une certaine pulsation ω, tels qu'en chaque instant t, l'équilibre électrociné- tique est déjà réalisé. Si nous adoptons une décomposition de Laplace-Fourier, ces champs peuvent s'écrire :

E(r, t) = E0(r)eiωt

B(r, t) = B0(r)eiωt (2.1)

Sous cette dépendance temporelle spécique, les équations de Maxwell [Maxwell, 1885] qui gouvernent les états électriques et magnétiques de tout objet physique, s'écrivent :

∇ · ((r)E0(r)) = ρ0(r) (2.2)

∇ · B(r) = 0 (2.3)

∇ ∧ E0(r) = −iωµ0(r)H0(r) (2.4)

∇ ∧ H0(r) = iω(r)E0(r) + j0(r) (2.5)

Où ρ0 et j0 sont les densités volumiques de charge libre et de courant au point r dans le milieu, et où (r) et µ0(r) sont la permittivité et la perméabilité électrique du milieu au point r. Les densités volumiques de courant qui s'établissent dans le milieu sont données par la loi généralisée d'Ohm locale :

j0(r) = γ(r) (E0(r) + Eem(r, ω)) , (2.6) où γ(r) est la conductivité électrique du milieu au point r et Eem(r, ω) est la com- posante de Fourier de pulsation ω du champ électromoteur, responsable de la mise en mouvement des charges électriques.

L'équation de Maxwell-Ampère(2.5) devient alors :

∇ ∧ H₀(r) = ˜γ(r)E0(r) + jem(r, ω), (2.7) où

˜

γ(r) = γ(r) + iω(r) (2.8)

est l'admittance caractéristique du milieu, et où jem(r, ω) est la densité volumique de courant électromoteur, créee par des sources actives, dénie comme :

jem(r, ω) = γ(r)Eem(r) (2.9)

Pour alléger l'écriture, nous omettrons dès maintenant d'écrire explicitement les dé- pendances en ω (fréquence au coecient 2π près) et r. Elles seront considérées dans ce qui suit comme implicites. En applicant l'opérateur de divergence ∇· à l'écriture (2.5) de l'équation de Maxwell-Ampère, nous obtenons :

∇ · (˜γE0) = −∇ · jem, (2.10)

ce que l'on peut écrire comme :

que nous identions, d'après l'équation locale de Maxwell-Gauss (2.2), comme la com- posante de pulsation ω de l'équation de conservation de la charge libre en présence d'un champ électromoteur :

∂ρ0

∂t + ∇.j0= 0 (2.12)

A ce stade, nous pouvons remarquer qu'il nous est impossible de donner une valeur de la densité de charge libre ρ0, laquelle s'adapte en conséquence du mouvement des charges, et qu'il faudra recourir à l'équation de Maxwell-Gauss (2.2) pour la déduire de la valeur du champ E0.

Pour résoudre les 3 dernières équations de Maxwell (2.3,2.4,2.7), nous pouvons intro- duire le quadripotentiel vecteur (V, A) où V est un potentiel scalaire et A, un potentiel vecteur, eux-mêmes périodiques dans le temps, et écrire :

E = −∇V −∂A

∂t ⇒ E0 = −∇V0− iωA0

µ0H = ∇ ∧ A ⇒ µ0H0 = ∇ ∧ A0

(2.13) Injectons maintenant ces dernières expressions dans la forme première de l'équation de conservation de la charge (2.10) et dans l'équation de Maxwell-Ampère (2.5). Nous obtenons alors : ˜ γ∇ · (∇V0+ iωA0) + ∇˜γ · (∇V0+ iωA0) = ∇ · jem (2.14) et − 1 µ0 ∇2A0− ∇ (∇ · A0)
= −˜γ (∇V0+ iωA0) + jem (2.15) Où ∇2_{est l'opérateur Laplacien appliqué aux champs de vecteurs. A présent, deux pos-} sibilités s'orent à nous. Soit, nous nous plaçons en régime électrocinétique stationnaire, et nous adoptons une jauge de Coulomb. Soit, nous conservons une dépendance temporelle et, dans ce cas, nous adoptons une jauge de Lorentz. Les jauges de Coulomb ou de Lorentz sont des découplages appropriés des équations de Maxwell pour permettre leur résolution. Si nous choisissons la jauge de Lorentz, qui de fait est plus générale, nous pouvons parvenir à un découplage des équations de Maxwell-Gauss (2.2) et de Maxwell- Ampère (2.5), en les exprimant chacune en fontion seulement du potentiel scalaire V , pour la première, et du potentiel vecteur A, pour la seconde. Nous obtenons alors les solutions appelées potentiels retardés, caractérisés par les deux régimes asymptotiques suivants :

1. le régime lointain, caractérisé par des distances depuis les sources plus grandes que la longueur d'onde λ = τ/√µ00, où τ est le temps typique de variation des sources d'intensité. Dans cette condition, les champs électromagnétiques apparaissent comme des ondes, et nous pouvons alors constater des eets de retard dû à la nitude de la vitesse de la lumière c = 1/√µ00, λ étant la longueur caractéristique du champ émis. 2. le régime proche, caractérisé cette fois par des distances depuis les sources plus petites que la longeur d'onde. Tout se passe comme si les potentiels ne dépendaient que de l'intensité instantanée des sources émises. C'est ce qui dénit le régime quasi stationnaire, dans lequel nous nous inscrivons dans ce projet. Les potentiels solutions

dans ce cas, sont similaires à ceux obtenus dans le cas où l'on adopte une jauge de Coulomb, ce qui revient physiquement à négliger la densité de courant de déplacement jd= µ00∂E0/∂tdans l'équation de Maxwell-Ampère (2.5).

En électrolocation, les fréquences ν typiques que l'on utilise sont reliées la longueur d'onde λ des émissions par :

λ(ν) = c

ν n(ν) (2.16)

Où n(ν) est l'indice de réfraction du milieu. En considérant que le uide est de l'eau, nous avons ν ≤ 1010 _{Hz. Pour une fréquence de 20 kHz par exemple (fréquence typique} des capteurs prototypes du projet), nous avons une longueur d'onde de 2 km, soit une distance bien plus grande que la portée de nos sondes prototypes de l'électrolocation. En conséquence, nous pouvons dire qu'il est raisonnable de modéliser l'électrolocation des capteurs du projet dans le régime électrocinétique quasi-stationnaire. Dans ces conditions, nous pouvons négliger la densité volumique du courant de déplacement jd, c'est à dire que les états électriques sont établis sans retard, ce qui est équivalent à négliger la partie imaginaire de l'admittance ˜γ :

˜

γ = γ + iω → γ (2.17)

A ce stade, il apparaît une contradiction. En eet, en appliquant l'opérateur ∇ à l'équation de Maxwell-Ampère (2.5) tronquée, sans le terme représentant le courant de déplacement, nous obtenons ∇.j0 = 0, ce qui est a priori contradictoire si nous nous ré- férons à l'équation originelle de la conservation des charges (2.12). La contradiction est cependant levée, si l'on considère le temps typique du régime de transition, entre 2 va- leurs stationnaires de densité volumique de charge, établi à τeq' /γ. Se placer en régime quasi-stationnaire consiste donc à négliger le temps de transition τ par rapport rapport au temps du régime stationnaire ν−1_{, avec l'interprétation physique que la brève uctuation} de densité volumique de charge s'atténue quasi-instantanément, si bien que la loi de conser- vation des charges peut être raisonnablement régie par la loi de conservation stationnaire ∇ · j₀ = 0. Nous devons cependant réaliser les deux constats suivants :

1. négliger la partie imaginaire de l'admittance ne conduit pas à une signicative simpli- cation des équations de Maxwell, en particulier dans l'équation de Maxwell-Ampère (2.5) où le terme de densité de courant de déplacement ne peut pas être inexistant dans un milieu diérent du vide.

2. bien que l'on puisse approximer en régime quasi-stationnaire l'admittance à la conduc- tivité, la partie imaginaire peut conduire à des eets spéciques que l'on ne peut né- gliger, comme des déphasages, que les poissons utilisent notamment pour distinguer le vivant de l'inerte (chapitre I). Ceci est d'autant plus vrai que certains tissus bio- logiques comme les vaisseaux sanguins ont une grande permittivité élecrique relative r= /0' 104.

C'est pourquoi nous conserverons néanmoins l'admittance dans notre modélisation de l'électrolocation en régime quasi-stationnaire, en gardant toujours à l'esprit que la partie réelle de l'admittance reste bien plus grande que sa partie imaginaire. Nous allons dans les sections suivantes revenir plus en détail sur l'exploration des jauges sus-mentionnées.