1.6. Plan de la thèse
Ce mémoire de thèse est composé de 11 chapitres. Ci-dessous nous dressons le bilan par chapitre du travail effectué.
Ch. 1 Dans ce premier chapitre on a introduit des notions relatives au domaine du nucléaire. Ainsi on a illustré brièvement le fonctionnement des «Réacteurs à Eau Préssurisée» appelés REP (ou PWR pour Pressurized Water Reactor en an- glais), en mettant l’accent sur les principales composantes du cœur. Après avoir introduit le phénomène de la crise d’ébullition, on a expliqué comment la simu- lation numérique peut être aujourd’hui conçue comme un outil de modélisation et notamment, dans le cadre de la crise d’ébullition, la simulation numérique directe, qui permet d’avoir accès à toutes les grandeurs locales et instantanées. Après cette introduction, on a présenté les grands lignes du modèle de change- ment de phase liquide-vapeur développé dans ce mémoire de thèse ainsi que la stratégie d’approximation numérique retenue.
Après une brève nomenclature et cette introduction, la thèse est composée de trois parties ainsi structurées.
Première partie : modélisation du changement de phase
Ch. 2 Ce chapitre est consacré à la construction de lois d’état en présence de transitions de phase. Nous commençons par rappeler les concepts de base du changement de phase liquide-vapeur (équation d’état, propriétés thermodyna- miques) nécessaires pour la construction d’une loi diphasique à saturation. Nous verrons que l’entropie est la fonction thermodynamique la mieux adaptée pour l’étude de ce genre de phénomènes et que la connaissance de cette fonction dans deux phases distinctes d’un même fluide permet d’établir un modèle complet de transition de phase en considérant l’enveloppe concave de ces deux lois (une ap- plication directe sera proposée aux chapitres 5, 6 et 7). On obtiendra ainsi une fonction d’état continue décrivant l’équilibre thermodynamique d’un fluide entre sa phase liquide et sa phase vapeur.
Ch. 3 On s’intéresse par la suite aux propriétés mathématiques de la loi de changement de phase. Ce chapitre porte sur la dynamique des transitions de phase via le système des équations d’Euler. Nous étudierons les propriétés ma- thématiques de ce système lorsqu’il est fermé par la loi d’état construite au cha- pitre précédent. Nous verrons d’abord que la vitesse du son, malgré sa disconti- nuité le long de la courbe de saturation, est toujours réelle et non nulle, ce qui ga- rantit que le système des équations d’Euler est strictement hyperbolique. Nous examinerons ensuite les courbes isentropes (décroissance et convexité) dans le plan d’Amagat car elles constituent la clé pour comprendre la perte d’unicité des solutions entropiques du problème de Riemann.
Ch. 4 Dans ce chapitre on s’intéresse d’abord à la nature et à la définition des solutions faibles du système des équations d’Euler fermé par la loi de change- ment de phase. On rappelle ensuite quelques points clés à propos de l’existence et de l’unicité des solutions du problème de Riemann associé à ce système.
Ch. 5 Au chapitre 2 nous avons vu comment construire un modèle de transi- tion de phase : il suffit de se donner une entropie pour chaque phase et de les raccorder en utilisant les équations de l’équilibre entre les deux phases. Afin d’illustrer cette démarche, nous construisons à présent un modèle explicite de loi d’état de changement de phase. On considère un fluide susceptible d’exis- ter sous deux phases, chacune étant modélisée par une équation d’état de type «gaz parfait polytropique». La loi d’état de changement de phase est détermi- née en résolvant le problème de concavification via la résolution d’un système qui définit l’équilibre entre les deux phases. On obtient ainsi une équation d’état complète. On sait que ce type de loi ne décrit pas de façon satisfaisante les pro- priétés thermodynamiques des fluides (surtout la phase liquide). Toutefois, le fait de considérer que chaque phase suit une loi de type gaz parfait a un intérêt majeur : la détermination de la loi d’état de changement de phase se réduit à la recherche (numérique) de l’unique racine d’une fonction non linéaire et elle per- met une vérification analytique des propriétés de cette loi, notamment la stricte hyperbolicité du système des équations d’Euler.
Ch. 6 Dans ce chapitre on introduit l’équation d’état Stiffened Gas. Dans un premier temps on donne les éléments intervenant dans cette loi d’état pour un fluide monophasique. On examine ensuite comment en déduire la loi de chan- gement de phase. Cette loi est définie par un problème de concavification ; on montre d’abord que ce problème peut être ramené à un système de deux équa- tions à deux inconnues qui définit l’équilibre entre les deux phases. On illustre ensuite sous quelles conditions on peut simplifier ultérieurement ce système et, dans les cas pour lesquels cette simplification n’est plus possible, on propose une résolution approchée. On termine en présentant les calculs de la loi d’état de changement de phase pour deux fluides particuliers : l’eau d’abord, le dodécane ensuite.
Ch. 7 Dans ce chapitre on introduit une stratégie générale pour la construction de la loi de changement de phase lorsque les deux phases sont décrites par des données expérimentales. On présente ensuite le calcul de cette loi d’état pour l’eau et le dodécane.
La première partie achève le travail de modélisation. Le modèle d’Euler est dès lors complètement fermé et on peut passer à l’étude de son approximation numé- rique.
Section 1.6. Plan de la thèse
Deuxième partie : approximation numérique
Ch. 8 Pour approcher numériquement le système de changement de phase, nous proposons dans ce chapitre une méthode de relaxation instantanée. Cette méthode permet d’envisager la simulation du système d’Euler avec changement de phase par le biais d’un modèle d’Euler étendu. Suivant la démarche de Caro [21], Caro et al. [24], Gavrilyuk et Gouin [38], Gavrilyuk et Saurel [39], cette procédure de modélisation s’appuie sur le principe de moindre action avec une définition opportune d’une énergie interne pour le système d’EDP. La modélisa- tion des termes sources de relaxation s’effectue de manière à en rendre positive la production d’entropie. On a alors construit plusieurs sur-systèmes avec des termes sources de relaxation. Parmi tous ces systèmes, celui retenu pour ensuite écrire un schéma numérique est le système à cinq équations avec fermeture iso- therme de Allaire et al. [1], Kokh [60] avec deux paramètres de relaxation.
Ch. 9 Une méthode numérique est finalement élaborée au chapitre 9. Avant de passer à l’écriture d’un schéma numérique, on introduit d’abord dans le sur- système trois autres phénomènes physiques qui jouent un rôle majeur dans le changement de phase par ébullition nucléée : la gravité, la diffusion de la cha- leur et la tension de surface. Une fois le système établi, on présente un schéma classique de décomposition d’opérateurs connus sous le nom de «schéma de re- laxation». Dans ce schéma chaque pas de temps est composé de deux étapes : hydrodynamique sans termes sources, puis relaxation des quantités thermody- namiques en maximisant l’entropie du mélange.
Ch. 10 Une fois cette méthode implémentée, plusieurs simulations sont alors réalisées. L’ensemble de ces simulations illustre l’aptitude du modèle et de la mé- thode à traiter des écoulements liquide-vapeur en changement de phase. On s’in- téresse tout d’abord à la validation de cette méthode numérique sur quelques cas tests unidimensionnels. Ce schéma est ensuite appliqué à la simulation d’écou- lements liquide-vapeur en 2D (on n’envisage que des maillages cartésiens régu- liers). Les deux phases sont par ailleurs décrites toujours par les lois d’état de type stiffened gas décrites au chapitre 6. On montre notamment la capacité du modèle de créer des bulles de vapeur dans du liquide pur au niveau d’une paroi chauffée.
Ch. 11 Dans ce dernier chapitre on conclut par quelques considérations gé- nérales sur le modèle ainsi que la méthode numérique utilisée et on propose certaines perspectives à court et à plus long terme.
Troisième partie : publications
PREMIÈRE PARTIE
.
MODÉLISATION DU CHANGEMENT DE
PHASE
D
ANS CETTE PARTIE on définit un modèle de changement de phase. On a vu dans le chapitre introductif que, pour des raisons numériques, il serait intéressant de pouvoir considérer les interfaces liquide-vapeur non pas comme des surfaces de discontinuité mais comme des zones volumiques de transition, dont l’étendue serait de quelques mailles de calcul. Tout le problème consiste alors à savoir com- ment effectuer cette «transformation» sans changer macroscopiquement le com- portement des interfaces ainsi étalées. Il existe plusieurs manières de procéder. Notre point de vue est de se situer au plus près de la physique sans introduire d’ar- tifices ou d’astuces numériques. La démarche que l’on a choisi d’adopter dans ce travail consiste donc à coller le plus longtemps possible à un modèle physique en procédant de la manière suivante : la loi d’état est basée sur l’équilibre ther- modynamique et l’écoulement au sein du changement de phase est décrit par le système des équations d’Euler. Une fois le modèle ainsi clairement établi, on passera à sa résolution numérique.CHAPITRE
2
Loi d’état du changement de
phase
2.1 Lois de comportement et hypothèses . . . 28