À ce stade de l’étude, on a à notre disposition un modèle continu d’interfaces liquide- vapeur, qui semble a priori très prometteur pour ce qui est de l’étude de systèmes di-
Section 1.5. Méthode numérique
phasiques avec changement de phase. En effet, il permet d’étudier le mouvement des phases liquide et vapeur ainsi que celui de l’ensemble des zones interfaciales du sys- tème considéré avec un seul système d’équations aux dérivées partielles. Le problème de la détermination du mouvement des interfaces du système n’existe plus en tant que tel : les interfaces ne sont qu’une partie de la solution. Elles ne doivent par conséquent plus être traitées comme des objets particuliers et leur mouvement est déterminé de manière passive (en suivant simplement l’évolution des zones à fort gradient de la densité par exemple). Le problème particulièrement épineux qu’est celui du change- ment de topologie est en particulier levé : les zones interfaciales du domaine peuvent se rompre et se reconnecter sans qu’un traitement particulier ne soit nécessaire.
Cependant, malgré la bonne définition du système des équations d’Euler fermé par la loi de changement de phase, sa résolution reste toutefois très compliquée en pra- tique à cause de la discontinuité de certaines quantités thermodynamiques au tra- vers du changement de phase (comme la vitesse du son évoquée ci-dessus mais aussi d’autres quantités, notamment la dérivée fondamentale). C’est pourquoi d’un point de vue numérique nous proposons une approche de type «relaxation» (suivant les travaux de Barberon [9], Bouchut [16], Caro et al. [24], Chen et al. [26], Coquel et Perthame [27], Helluy [46], Helluy et Seguin [48], Saurel et Abgrall [88]).
1.5.1. Approche par relaxation
On montre d’abord que le système des équations d’Euler avec changement de phase peut être obtenu comme limite de relaxation d’une famille de systèmes augmentés contenant des termes sources de relaxation : lorsque les temps caractéristiques de la transition de phase tendent vers zéro, les systèmes augmentés tendent vers l’équilibre thermodynamique modélisant ainsi le phénomène du changement de phase.
Ces systèmes augmentés peuvent être obtenus grâce à l’écriture d’un principe varia- tionnel qui conduit à des systèmes d’équations aux dérivées partielles de type «Euler étendu» avec termes sources. Ces termes sources sont précisément les conditions d’op- timalité pour la maximisation d’une entropie de mélange qui est équivalente à une opération classique en optimisation appelée inf-convolution (voir notamment Helluy [46], Helluy et Seguin [48]). Dans cette thèse le système augmenté retenu pour l’écri- ture d’un schéma numérique est basé sur le système à cinq équations avec fermeture isotherme décrit par Allaire et al. [1], Kokh [60].
Dans un travail précédent (voir notamment Caro [21], Caro et al. [24]) ce modèle a été partiellement testé et validé sur un écoulement liquide-vapeur 2D avec change- ment de phase dans un cadre isotherme (i.e. sans équation d’énergie).
1.5.2. Schéma
La mise en œuvre numérique de l’approche par relaxation est réalisée par décompo- sition d’opérateurs sur le système augmenté. Chaque pas de temps est divisé en deux étapes : hydrodynamique sans termes sources, puis relaxation des quantités thermo- dynamiques en maximisant l’entropie du mélange. Concrètement,
❶ dans une première étape, on résout le modèle homogène à cinq équations avec fer- meture isotherme, c’est-à-dire sans les termes sources de changement de phase, par une méthode de volumes finis où les flux numériques sont calculés à l’aide d’un solveur de Riemann approché de type Roe (voir Allaire et al. [1], Kokh [60]) ; ❷ dans la deuxième étape, on prend en compte les termes sources de changement de phase en projetant la solution sur la variété d’équilibre thermodynamique. Autre- ment dit, connaissant les variables thermodynamiques phasiques, on maximise l’entropie de mélange et on obtient ainsi de nouvelles valeurs des concentrations phasiques.
Afin de simuler la nucléation d’une bulle de vapeur au contact d’une paroi chauffante on a également introduit dans le modèle la diffusion thermique, la gravité et la tension de surface qui sont prises en compte lors de la première étape. Notamment, l’opérateur de diffusion de la chaleur est simulé avec une méthode 2D-implicite en temps pour ne pas être trop pénalisé par la condition CFL. Le traitement de la tension de surface quant à elle a été effectué grâce à une formulation CSF (cf. Brackbill et al. [17]) qui remplace la force de surface par un flux dépendant de la fraction volumique.
La méthode de résolution est complètement eulérienne, assure le respect des condi- tions d’interface, gère les grands rapports de densité entre les fluides tout en autori- sant les fortes déformations de l’interface et les changements de topologie (création et détachement d’une bulle, coalescence etc.).
Étude détaillée de l’étape de projection (❷)
Dans le cas de lois d’état simples (comme pour les gaz parfaits) on peut réduire le calcul du maximum de l’entropie de mélange à la résolution (en général numérique) d’une équation non-linéaire (que nous appelons «équation de changement de phase»). Pour des lois d’état de type stiffened gas les choses se compliquent. C’est pourquoi nous avons proposé une stratégie de résolution basée sur une approximation au sens des moindres carrés de la courbe de coexistence qui mène à une écriture approchée de l’équation de changement de phase (cf. Faccanoni et al. [35]). Nous avons ensuite étendu cette démarche pour des lois d’état quelconques comme celles issues de tables expérimentales.
On a donc une stratégie très générale qui peut se traiter numériquement, une fois pour toutes, avant de faire des simulations numériques d’écoulements.
1.5.3. Simulations
Les résultats numériques sont obtenus grâce à un code de calcul programmé en C et réalisé sur une maquette 2D en maillage cartésien avec une discrétisation de type volumes finis. La partie convective, explicite en temps, fonctionne à l’ordre 1 ou 2 en temps et/ou en espace.
Plusieurs cas tests, représentant des expériences physiques lieu de plusieurs phéno- mènes, ont permis de valider numériquement le modèle. On peut citer entre autres des tests de coalescence et/ou de création de bulle à la paroi par cavitation et/ou ébullition.
Section 1.5. Méthode numérique
Les exemples de simulations effectuées mettent en évidence certains avantages du modèle et de la méthode de relaxation, à savoir que, pour un coût de calcul modéré, cette approche permet de capturer, sur un maillage eulérien, des fronts à la topologie complexe et changeante. De plus, elle gère aisément les transitions de phase dans un cadre purement compressible et sans localisation précise de l’interface. Il reste bien évidemment à effectuer des cas tests plus réalistes de changement de phase et à ana- lyser les résultats de ce modèle, éventuellement par comparaison avec des expériences.