Plan de Plackett et Burman

Dans un second temps, un compromis entre un plan OAT et un plan factoriel complet est étudié. Il s’agit du plan de Plackett et Burman. Avant de le décrire, nous revenons sur la théorie des plans d’expérience.

Les plans d’expérience complets nécessitant un nombre trop important de simulations, notre choix s’est porté vers un plan d’expérience factoriel fractionnaire. Il s’agit d’un sous-ensemble d’un plan factoriel complet qui conserve de bonnes propriétés mathématiques telles que la minimisation de la matrice de dispersion (minimisation de la trace, du déterminant ou de la plus grande

Chapitre 3. Identification de facteurs incertains influents

valeur propre) et l’orthogonalité (Tinsson, 2015). Par exemple, pour trois facteurs ayant chacun deux niveaux ( et ), le plan d’expérience complet et son plan factoriel fractionnaire associé pour un sous-ensemble de quatre expériences sont :

(3.2)

Le plan d’expérience fractionnaire présenté est le seul sous-ensemble de quatre expériences vérifiant , avec la valeur du facteur pour l’expérience . Ce sous- ensemble est appelé fraction régulière du plan factoriel complet. En notant les colonnes de ce plan , et et en utilisant le produit de Hadamard51_{, on peut écrire , avec , la matrice identité}

d’ordre 4. On peut alors dire que est un générateur pour cette fraction régulière. De plus, la taille du générateur étant , on dira que la fraction régulière est de résolution 52

.

Remarquons également que dans le plan fractionnaire, , et . Cela signifie que les effets des interactions entre deux facteurs sont confondus avec les effets principaux du troisième facteur. De même, , implique que l’interaction triple est confondue avec l’identité. En supprimant des lignes du plan d’expérience complet, il n’est donc plus possible d’estimer tous les effets factoriels. Les effets d’interaction supposés négligeables sont confondus avec d’autres effets d’interaction ou avec des effets principaux.

De plus, en ajoutant les colonnes , , et au plan complet pour trois facteurs (3.2), un plan factoriel fractionnaire pour facteurs peut-être obtenu (Saltelli et al., 2008), en faisant l’hypothèse que les effets d’interaction sont négligeables.

Si l’on considère un modèle linéaire et sans interaction, une fraction régulière de résolution 53

constitue un plan d’expérience orthogonal et permet d’estimer tous les effets principaux en faisant l’hypothèse que les interactions sont négligeables. De plus, il faut simulations pour évaluer l’influence des facteurs incertains. Dans le cas où , le plan d’expérience est dit saturé (Tinsson, 2015).

51

Le produit de Hadamard de deux vecteurs est le produit terme à terme de leurs coordonnées : = .

52

Plus généralement, des plans factoriels fractionnaires peuvent être définis par plusieurs générateurs. Dans ce cas, la résolution de la fraction régulière correspond à la taille du plus petit générateur.

53

Dans une fraction régulière de résolution III, tous les groupes de deux colonnes ont autant de combinaisons de (1,1), (1,-1), (-1,1) et (-1,-1) (Saltelli et al., 2008).

3.2. Méthodes d’analyse de sensibilité employées Si un modèle linéaire avec interactions d’ordre est considéré, des colonnes peuvent être ajoutées au plan factoriel complet peuvent être enrichis pour évaluer l’interaction. Par exemple, il est possible d’ajouter au plan factoriel complet (3.2), les colonnes, , et pour évaluer les interactions entre deux facteurs. Ainsi, il faut simulations pour évaluer l’influence des facteurs incertains et de l’interaction entre tous les groupes de deux facteurs, ce qui peut poser problème si beaucoup de facteurs incertains sont à prendre en compte. De plus, pour que ce type de plan soit orthogonal, il faut que la fraction régulière soit au moins de résolution 54

(Tinsson, 2015).

Plus généralement, une fraction de résolution doit être utilisée pour estimer les termes factoriels d’ordre si les termes d’ordre sont négligeables (Faivre et al., 2013).

3.2.3.1.

Construction du plan de Plackett et Burman

Pour éviter l’augmentation du nombre de simulations lorsque beaucoup de facteurs sont à prendre en compte, nous avons choisi de considérer des modèles linéaires sans interaction. Les plans adaptés sont alors des plans simplexes ou des plans de Plackett et Burman (PB) basés sur les matrices de Hadamard (Tinsson, 2010). Nous avons choisi d’explorer ce second type de plan qui offre la possibilité de construire des plans saturés, orthogonaux pour des facteurs à deux niveaux.

Les matrices de Hadamard sont orthogonales et valables pour des facteurs à deux niveaux valant et . Pour les construire, il est possible de se baser sur les hypothèses suivantes (Giesbrecht et Gumpertz, 2011) :

- Si est une matrice de Hadamard d’ordre alors est une matrice de Hadamard d’ordre ;

- Si et sont des matrices de Hadamard alors le produit de Kronecker55

de ces deux matrices donne une matrice de Hadamard.

De plus, en permutant l’ordre des colonnes et/ou des lignes d’une matrice de Hadamard, ou alors en multipliant par la matrice de Hadamard, les matrices obtenues restent des matrices de Hadamard.

Les premières matrices de Hadamard construites étaient d’ordre . Elles ont ensuite été étendues aux ordres . et . Bien que cela n’ait pas été prouvé, le mathématicien Hadamard a fait l’hypothèse qu’il existe une matrice de Hadamard pour des ordres équivalents à des multiples de . Plackett and Burman (1946) ont ensuite trouvé des matrices aux

54

Dans une fraction régulière de résolution V, la fréquence d’apparition des seize combinaisons (1,1,1,1), (-1,1,1,1), …, (-1,-1,-1,-1), est la même dans tous les groupes de quatre colonnes (Saltelli et al., 2008).

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Le produit de Kronecker de deux matrices et est obtenu par le produit de chacun des termes de par la matrice :

Chapitre 3. Identification de facteurs incertains influents

propriétés similaires pour les multiples de inférieurs à 100. Dans ces matrices, la première ligne n’est constituée que de et les lignes suivantes sont des permutations circulaires les unes des autres avec fois la valeur et fois la valeur . Notons que dans le cas où , le plan de Plackett et Burman constitue une fraction régulière de plan factoriel.

Afin d’utiliser les matrices de Hadamard comme des plans d’expériences, la première colonne de la matrice, composée uniquement de , est supprimée. Les colonnes restantes sont composées d’autant de que de ce qui permet d’explorer autant de fois les deux niveaux de chaque facteur.

En théorie, il n’est pas possible d’utiliser les matrices de Hadamard pour tous les nombres de facteurs incertains puisque de telles matrices n’existent pas pour tous les ordres. Le nombre de facteurs incertains doit respecter (soit , , …) et le nombre d’ordre associé est . En pratique, il est possible d’en construire pour tous les nombres de facteurs incertains. Pour ce faire, la matrice d’ordre est construite avec le premier entier supérieur à K respectant . Puis, les premières colonnes sont supprimées de façon à garder autant de colonnes qu’il y a de facteurs incertains.

Remarque : Bien que les niveaux pour tous les facteurs soient et , il est possible, pour chaque facteur de se ramener à des niveaux correspondant aux bornes de sa plage de variation réelle .

Rappelons qu’avec ce plan d’expérience, le modèle est supposé linéaire et les interactions entre deux facteurs sont confondues avec les effets principaux. Dans le but d’étudier les confusions d’effet, nous avons choisi de répéter plusieurs fois le plan d’expérience en permutant aléatoirement l’ordre des facteurs. De cette manière, l’interaction entre deux facteurs n’est pas toujours confondue avec le même effet principal.

3.2.3.2.

Détermination des indices de sensibilité

Des méthodes d’analyse de la variance, par exemple, la fonction aov (Analysis Of Variance) de l’outil statistique R permet de calculer les parts de variance associée à chaque facteur ainsi que qu’une variance résiduelle ne pouvant être associée à aucun facteur. Finalement, la variance totale du modèle est calculée en sommant toutes les parts de variance. Cela permet d’estimer des indices de sensibilité qui sont le rapport des parts de variance associée à un facteur relativement à la variance totale.

3.2.3.3.

Étude de la précision des indices

Le nombre de répétitions du plan d’expérience pour obtenir des résultats stables est étudié en utilisant une procédure de ré-échantillonnage par bootstrap. Pour ce faire, la démarche suivante est appliquée :

3.2. Méthodes d’analyse de sensibilité employées 1. Un tirage aléatoire avec remise est effectué sur les répétitions.

2. Les indices de sensibilité associés à ces répétitions, préalablement évalués, sont retrouvés pour toutes les sorties.

3. Les étapes 1 et 2 sont répétées fois.

4. Des distributions empiriques sont construites à partir des valeurs des indices de sensibilité. Elles permettent d’estimer le biais (écart entre les valeurs des indices estimés avec le jeu de répétitions source et l’espérance de la distribution), l’écart-type et les intervalles de confiance (la détermination des intervalles de confiance ne nécessite pas de simulation supplémentaire du modèle).