Plan à entropie maximale et maximin

Contrairement aux deux critères précédents, la discrépance n’est pas basée sur la distance entre les points. Il existe différentes mesures de discrépance (Fang et al., [57] et Thiemard [152]). Nous retenons la discrépance (extrême) en normeL2-étoile, appelée aussi discrépance carrée moyenne.

En suivant la même approche que Warnock (Warnock [159]), Morokoff and Caflish [116] définissent la formule analytique de la discrépance extrême en normeL2-étoile, que nous utilisons,

DisL2²= 12^−d−2^1−d n

n

X

k=1 d

Y

l=1

(1−x²_kl) + 1 n²

n

X

k=1 n

X

j=1 d

Y

i=1

[1−max(xki, xji)] min(xki, xji), (5.10) oùxk = (xk1, . . . , xkd),k= 1, . . . , n, avecnle nombre de points de dimensionddu plan.

rajoutons la composition massique duO2(voir chapitre 1). Par ailleurs, les compositions deCO2etN O, ont été prises égales à la valeur médiane de leurs plages de variations respectives (voir tableau 1.2), soit 8% et 525 ppm.

Notre domaine est donc de dimension d = 3. Pour chaque direction, les plages sont discrétisées en nd = 11 points, ce qui correspond aux limites de précision expérimentale (précision des débitmètres contrôlant l’entrée de chaque espèce). On a donc au final Card(D) = 11³−20 = 1311, dont on souhaite extraire un plan d’expériences de taillen= 20.

Plan maximin

La méthode de construction des plans maximin a été donnée dans la section 5.2.1. Johnsonet al.[90] précisent que le choix optimal du plan, sous le critère de maximin, réside dans l’utilisation d’un hypercube latin. Cependant, comme nous partons d’une base de vingt expériences, la construction de ce premier plan est différente et consiste à rajouter un à un, vingt points appartenant au domaine, tels qu’à chaque itération la distance maximale soit minimale entre les points du plan et le nouveau point. Le pseudo-code 3 présente la méthode mise en place.

Algorithme 5.3 Génération d’un plan maximin Initialisation : On dispose d’un premier planS⊂D Pour k= 1 à n

1. Pour chaque point du plan S on calcul la distance maximale avec un point du domaineD =>V

2. On récupère la valeur minimale de V, qui correspond au point x^∗ du domaine D tel que la distance maximale entre ce point et le planS soit minimale

3. On rajoute le x^∗ au planS Fin pour

La figure 5.3 illustre la répartition dans l’espace des entrées de ce premier plan généré par un critère maximin.

0

0.2 0.4

0.6

0.8 1 0

0.2 0.4

0.6 0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

CO HC

O2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

HC

O2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

CO

O2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

HC

CO

Figure 5.3 – Représentation du plan d’expériences généré selon un critère maximin. Les points rouges corres-pondent au plan initial, et les points noirs au plan généré

Les valeurs des trois mesures utilisées pour la comparaison des plans sont données dans le tableau 5.1. On note Rec la valeur de la mesure de recouvrement, M indist la valeur du critère maximin et DisL2 la valeur de la discrépance en normeL2-étoile.

Rec M indist DisL2 0.4817 0.3674 0.0143

Tableau 5.1 – Critères pour la comparaison des plans pour le plan maximin généré

Plan à entropie maximale

La section 5.2.2 présente le principe et le pseudo-code pour la génération des plans à entropie maximale. Il est notamment précisé que le choix du noyau n’est pas essentiel. Nous avons opté arbitrairement pour un noyau gaussien.

Nous avons également étudié l’influence de la portée. Pour cela, nous avons testé un grand nombre de valeurs de portée et ne retenons que la meilleure au sens des critères de comparaisonDisL2 etRec. Une portée de 0.1, la taille de discrétisation choisie selon chaque axe, semble être le meilleur choix. La figure 5.4 représente les valeurs du critèreDisL2 etRecen fonction de la portée.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.01 0.015 0.02

Portée

DisL2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.4 0.5 0.6

Rec

Figure 5.4 – Critère DisL2 (courbe pleine bleue) etRec(courbe pointillée verte) en fonction de la portée La figure 5.5 illustre la répartition dans l’espace des entrées de ce second plan généré par un critère d’entropie maximale.

Les valeurs des trois mesures utilisées pour la comparaison des plans sont données dans le tableau 5.2 (Rec= mesure de recouvrement,M indist= critère maximin,DisL2 = discrépance en normeL2-étoile).

Rec M indist DisL2 0.4567 0.255 0,0137

Tableau 5.2 – Critères pour la comparaison des plans pour le plan à entropie maximale généré

0 0.2 0.4

0.6 0.8 1 0

0.2 0.4

0.6 0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

CO HC

O2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

HC

O2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

CO

O2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

HC

CO

Figure 5.5 – Représentation du plan d’expériences généré par maximum d’entropie. Les points rouges corres-pondent au plan initial, et les points noirs au plan généré

Comparaison et conclusion

Après avoir généré ces deux plans, il a fallu déterminer celui que nous souhaitons mettre en place. Pour cela, nous avons basé notre choix selon trois critères usuels de comparaison de plan et également sur la représentation visuelle du plan puisque cette dernière est disponible. On précise également que les caractéristiques typiques de ces plans sont entrées en considérations dans notre décision.

Tout d’abord, étudions la valeur des trois critères retenus pour chaque plan. On rappelle que ces trois critères sont la mesure de recouvrement,Rec, qui permet de mesurer l’écart entre les points du plan et ceux d’une grille régulière, le critère maximin, M indistqui consiste à calculer parmi les distances minimales entre les points du plan, celle qui est la plus faible, et enfin la discrépance en norme L2-étoile,DisL2, qui mesure l’écart entre la fonction de répartition empirique des points du plan et celle de la loi uniforme.

Pour ce qui est du critèreDisL2 etRec, on souhaite que la valeur soit la plus petite possible. En revanche, pour M indist, le critère maximin consistant à maximiser la distance minimale entre deux points du plan, l’objectif est d’obtenir la valeur la plus grande possible.

Le plan à entropie maximale montre des valeurs de critères, toutes trois inférieures à celles obtenues pour le plan maximin. Autrement dit, au sens du critère de recouvrement et de la discrépance, le plan à entropie maximale présente une meilleure répartition. En revanche, pour le critèreM indist, le plan maximin est meilleur. Ce constat est totalement normal puisque le principe même de ce plan est de maximiser la valeur de ce critère.

Les figures 5.3 et 5.5 nous permettent, dans un second temps, de comparer la répartition des plans dans le domaine de manière visuelle, et ainsi confirmer l’information apportée par les critères.

D’une manière générale, la répartition du plan à entropie maximale, figure 5.5, est meilleure. Pour s’en convaincre, il est nécessaire de s’attarder sur la figure présentant la répartition dans l’espaceCO/HC(figure en bas à droite).

Bien que des zones, pour le plan à entropie maximale restent inexplorées, ces zones sont moins importantes et moins nombreuses que pour le plan maximin. De plus, ce dernier place un grand nombre de points aux bords du domaine et notamment aux coins. Cela se traduit entre autre, par un point du domaine dont la valeur de richesse est très proche de 0.9 (0.898).

Cette répartition n’est pas étonnante puisque, comme nous l’avons introduit dans la section 5.2.1, les plans maximin ont tendance à explorer les bords du domaine, ce qui, rappelons-le, n’est pas souhaitable pour les cas rencontrés par les expérimentateurs.

En revanche, l’utilisation du critère du maximum d’entropie est particulièrement indiquée si l’on se sert d’une modélisation par krigeage, ce qui, si l’on replace la campagne expérimentale dans le contexte de la thèse, est le principe des méthodes envisagées.

En conclusion, l’utilisation des plans à entropie maximale semble plus pertinente et plus adaptée aux cas ren-contrés en pratique par les expérimentateurs. Le plan à entropie maximale fournit un premier outil facilement utilisable, pouvant inclure des contraintes (sur le domaine ou d’essais), et donnant des plans de bonne qualité.

Nous ne rentrons pas plus dans les détails concernant la composition de ce plan, puisque comme nous le montrons dans l’annexe C, des considérations expérimentales pratiques, nous ont obligés à ne plus tenir compte des expériences initiales et redéfinir un nouveau plan.