Intégration des résultats

L’étape d’intégration des dérivées prédites se déroule en deux étapes. Tout d’abord, à l’aide d’un schéma d’Euler explicite, on reconstruit la fonction, puis dans un deuxième temps, on ajuste la courbe obtenue en prédisant la température de light-off (TLO) théorique de l’essai par krigeage universel avec effet de pépite.

Intégration des dérivées

L’approche mise en place nous permet de prédire pour chaque avancement la valeur de la dérivée selon la température, soit

α7→ ∂α

∂T. (3.40)

Ceci implique, que pour reconstruire la sortie à partir des dérivées, la seule solution possible est l’utilisation d’un schéma d’Euler explicite. En effet, nous souhaitons pour chaque avancement déterminer la température correspondante, sachant que pour un avancement de 0 (palier initial), la température est égale àT0.

On rappelle que les dérivées sont calculées par différences finies, soit

∂α(Ti)

∂T =α(Ti+h)−α(Ti)

h (3.41)

or h=Ti+1−Ti en prenant un pas constant, donc

Ti+1=Ti+α(Ti+1)−α(Ti)

∂α(Ti)/∂T (3.42)

avecT0 connu, et ^∂α(T_∂T⁰⁾ = 0.

Cette méthodologie soulève néanmoins un problème, il s’agit du calcul deT1. Selon le schéma défini ci-dessus, le calcul deT1utilise comme dénominateur la valeur de la dérivée enT0, dont on sait qu’elle est nulle.

Cette température n’est pas forcement primordiale puisqu’elle correspond à un point sur le palier. Nous avons donc fixé arbitrairement sa valeur égale àT0+ 1, et commençons l’intégration par le schéma d’Euler à partir de T2.

Après intégration, on obtient donc les sorties exposées sur les figures 3.18a et 3.18b pour l’essai 14 respectivement pourCO etHC.

Comme on pouvait s’y attendre, les formes des prédictions sont très proches de ce que l’on observe expérimen-talement. Cependant, comme il ne nous est pas possible de définir le début de la réaction, soit la fin du palier initial au moment où la réaction commence à être effective, on a apparition d’un décalage de la courbe prédite par rapport aux résultats expérimentaux.

50 100 150 200 250 300 350 400 450

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

yCO

Température (°C) CO essai n°14

Résultat expérimental Prédiction

(a) SortieCO

50 100 150 200 250 300 350 400 450

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

yHC

Température (°C) HC essai n°9

Résultat expérimental Prédiction

(b) SortieHC

Figure 3.18 – Prédictions après intégration des dérivées pour l’essai 14 et apparition du décalage Correction du décalage

Il nous est impossible de définir la température de la fin du palier initial, ce qui nous a contraint à intégrer la dérivée à partir de T0, et a conduit à l’apparition d’un décalage entre prédiction et résultat expérimental. En revanche, nous avons été amenés à constater que la température de "light-off" (TLO) dépend linéairement de la richesse du mélange. Les figures 3.19a et 3.19b exposent le nuage de points des TLO observés sur nos essais respectivement pourCOetHC. On rappelle que la TLO est la température correspondant à un avancement de 0.5.

Nous proposons donc, pour la correction du décalage, d’estimer la TLO théorique à l’aide d’un modèle de krigeage universel avec pépite. La théorie est introduite dans le chapitre 2. Deux raisons ont motivé ce choix, premièrement car la relation linéaire est quelque peu abusive, et deuxièmement car cette méthode nous permet une estimation de la variance de prédiction que nous utilisons par la suite pour définir la variance de prédiction de nos sorties.

On pose donc le modèle,

T_theo^{T LO} =γ0+r γ1+zσ²,θ+ǫ (3.43) avecr la richesse du mélange,zσ²,θ un processus gaussien (différent de celui utilisé précédemment) régi par un processus gaussien, et ǫun bruit blanc de variance choisie arbitrairement. La courbe rouge sur les figures 3.19a et 3.19b représente les prédictions en tout point du domaine par ce modèle.

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

160 170 180 190 200 210 220 230

Richesse

Température (°C)

TLO de CO vs Richesse TLO expérimentales Prédiction

(a) TLO deCOen fonction de la richesse

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270

Richesse

Température (°C)

TLO de HC vs Richesse TLO expérimentales Prédiction

(b) TLO deHCen fonction de la richesse

Figure 3.19 – TLO deCOetHC en fonction de la richesse du mélange et prédiction par krigeage ordinaire avec effet pépite

Soit ∆T^{T LO}, la correction appliquée sur notre prédiction,

∆T^{T LO} =T_theo^{T LO}−T_pred^{T LO}, (3.44)

avec T_theo^{T LO}, la TLO théorique estimée par KU avec pépite, et T_pred^{T LO} la TLO de la prédiction. Notons ˜T les températures respectives à la prédiction après intégration, ˆT correspondant à ces températures après ajustement.

La procédure consiste à déplacer notre prédiction de ∆T^{T LO}, soit

Tˆ= ˜T+ ∆T^{T LO}. (3.45)

Ainsi après correction du décalage, on obtient les courbes en pointillé noires sur les figures 3.20.

50 100 150 200 250 300 350 400 450

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

yCO

Température (°C) CO essai n°14

Résultat expérimental Prédiction Prédiction + gap

(a) SortieCO

50 100 150 200 250 300 350 400 450

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

yHC

Température (°C) HC essai n°14

Résultat expérimental Prédiction Prédiction + gap

(b) sortieHC

Figure 3.20 – Prédictions après intégration des dérivées et correction du décalage pour l’essai 14

Calcul des EQM et comparaison avec les précédentes méthodes

Les valeurs des EMQ (équation 3.25) pour chacun des essais sont données sur les figures 3.21a et 3.21b. Il est important de souligner que pour le calcul de ces EQM, nous avons utilisé exactement la même méthodologie que pour les approches précédentes (KNL et KNLD) de manière à pouvoir comparer ces résultats entre eux. Par conséquent le nombre de points utilisé et leurs localisations sont les mêmes que précédemment, soit 1001 points répartis uniformément selon la température.

0 5 10 15 20

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

EMQ pour CO

n° exp

(a) Valeurs des EMQ pourCO

0 5 10 15 20

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

EMQ pour HC

n° exp

(b) Valeurs des EMQ pourHC

Figure 3.21 – Comparaison des valeurs des EMQ obtenues pour chaque jeu de données à disposition selon chacune des deux sorties après intégration de la dérivée prédite (points bleus) avec les EMQ calculées par KNLD (points rouges)

Ces valeurs sont très faibles. PourCO, elles sont toutes inférieures à ce que nous avons obtenu précédemment, pour HC elles sont du même ordre, mais comme nous le montrons par la suite, nous n’observons pas de com-portement atypique tel que des oscillations pouvant conduire à des concentrations négatives.

Pour les deux sorties, le meilleur cas au sens de ce critère est l’essai 14. Cet essai a été utilisé afin d’illustrer les deux étapes d’intégration de nos prédictions des dérivées. Les deux pires cas correspondent à l’essai 1 pour le COet à l’essai 9 pour leHC.

Conclusions

Comme on peut le constater, les prédictions obtenues au final pour l’essai 14 (figures 3.20) sont très bonnes puisque quasiment confondues avec les résultats expérimentaux. D’une manière générale, les résultats obtenus sont très satisfaisants. Pour bien visualiser la pertinence de notre méthode, on expose les pires cas pourCOet HC sur les figures respectivement 3.22a et 3.22b.

Les résultats sont également satisfaisants. On notera que l’erreur pourHCprovient principalement de la mauvaise correction du décalage.

En conclusion, on peut dire que l’on a développé un outil performant pour la prédiction. Cette approche tient compte du modèle numérique au travers de sa dérivée, et également de considération théorique telle que la relation liant richesse et TLO. Afin de parfaire cette méthode, il est nécessaire de quantifier la valeur des prédictions, au travers de l’estimation des variances de prédictions, puisqu’on le rappelle, le critère de planification d’expériences envisagé est basé sur cette information.

50 100 150 200 250 300 350 400 450 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

yCO

Température (°C) CO essai n°1

Résultat expérimental Prédiction Prédiction + gap

(a) SortieCOpour l’essai 1

50 100 150 200 250 300 350 400 450

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

yHC

Température (°C) HC essai n°9

Résultat expérimental Prédiction Prédiction + gap

(b) SortieHC pour l’essai 9

Figure 3.22 – Prédictions après intégration des dérivées et correction du décalage pour les pires cas au sens de l’EQM