A Méthode de lissage des courbes ex- ex-périmentales
A.1 Filtre moyen et de Savitzky-Golay
Nous présentons succinctement le principe de fonctionnement de chacun des deux filtres : le filtre moyen et le filtre de Savitzky-Golay.
Le filtre moyen est une variante du filtre médian, un outil largement utilisé en traitement de l’image. Son principe est simple, il consiste à remplacer la valeur d’un pixel par la valeur médiane de l’ensemble des pixels de son voisinage. Pour nos besoins, nous avons remplacé la valeur médiane par la valeur moyenne (empirique), sur des fenêtres de températures variables, ce changement répondant mieux à nos besoins.
Savitzky et Golay ont introduit leur filtre dans leur article "Smoothing and Differentiation of Data by Simplified Least Squares Procedures", [140], de 1964. La méthode repose sur une régression polynomiale locale sur une distribution afin de déterminer la valeur lissée en chaque point. Elle est également utilisée pour calculer les dérivées d’ordre 1 à 5., dans des cas où ces dérivées ne sont pas disponibles.
La combinaison des avantages de chacune de ces deux méthodes, à des étapes précises, nous permet d’obtenir des résultats de lissage satisfaisants, dont certains sont présentés dans les sections A.2 et A.3.
A.1.1 Filtre moyen (FM)
Le filtre moyen est un outil classique en traitement de l’image. Cependant, dans ce domaine d’application, le filtre médian lui est souvent préféré. Une des propriétés fondamentales du filtre médian, est qu’il ne crée pas de nouvelles valeurs de niveaux de pixels dans l’image, et son principe de fonctionnement est parallélisable.
Son fonctionnement consiste à remplacer la valeur d’un pixel par la valeur médiane de l’ensemble des pixels de son voisinage. Néanmoins, dans notre cas, nous décidons d’utiliser ce filtre pour effectuer un lissage sur une courbe bruitée. Les données sont triées en ordre croissant selon la température, et nous ne souhaitons pas le paralléliser. Le choix de prendre la moyenne empirique plutôt que la médiane apparaît plus adapté. Ce choix arbitraire est fait en accord avec les résultats obtenus.
Plus précisément, le principe consiste à prédire en chaque température, la valeur lissée à l’aide d’un ensemble de points, centré sur la valeur que l’on souhaite. Ce lissage utilise une fenêtre coulissante dans le sens croissant des températures, et remplace la valeur à chaque température par la moyenne empirique de l’ensemble de points.
Soityexp(Ti) la valeur de la courbe brute à la températureTi,i= 1,· · ·, m, oùmest le nombre de température discrétisées. La valeurylisse(Ti) de la courbe lissée à la température Ti, i= 1,· · · , mavec une fenêtre de taille h(himpaire !) est donnée par
ylisse(Ti) = 1 h
i−1
X
j=i−h−12
ylisse(Tj) +
i+h−21
X
k=i
yexp(Tk)
. (A.1)
Le lissage s’effectue pour les températures triées dans l’ordre croissant.
Cette notation met en évidence ce que l’on appelle l’effet de bord. Par exemple, le lissage de la première valeur (respectivement de la dernière) utilise des valeurs non disponibles, lesylisse pour des températures plus faible (resp. desyexppour des températures plus fortes). La littérature fournit plusieurs choix pour traiter cet effet de bord : soit on fixe par convention que ces valeurs sont égales à la valeur du point le plus proche (le premier ou le dernier point), soit on fixe arbitrairement ces valeurs à 0, soit les h−12 premières valeurs (resp. h+12 dernières valeurs) ne sont pas modifiées. Ces trois choix sont les plus couramment appliqués, et nous avons décidé de retenir la première de ces trois options.
Autrement dit, pour le calcul des ylisse des h−12 premières valeurs (resp. h−12 dernières valeurs), les valeurs manquantes pour le calcul de la moyenne sont fixées égales à la première valeur deyexp(resp. à la dernière valeur deyexp).
Ce type de filtrage local est qualifié de filtrage linéaire puisque la valeur du nouveau pixel est une combinaison linéaire des valeurs des pixels du voisinage. Son principal avantage est de pouvoir uniformiser la courbe en éliminant les discontinuités, puisqu’en prenant une fenêtre adéquate autour d’un point de discontinuité, les fortes transitions sont éliminées. En revanche, cette méthode n’élimine pas des pics importants mais ne fait que les diffuser.
Pour nos essais, nous disposons de 2652 températures pour lesquelles nous connaissons la valeur de la courbe brute. Pour l’élimination des discontinuités, la taille de fenêtre comprend environ 101 points, pour des lissages
globaux d’uniformisation, des fenêtres plus petites d’environ 30 points, et dans le cas d’un premier lissage, des fenêtres plus grande (environ 200 points).
A.1.2 Filtre de Savitzky-Golay (FSG)
Les filtres lissant de Savitzky-Golay, également appelés filtres lissant des moindres carrés, sont typiquement utili-sés pour lisser un signal bruité dont l’amplitude de la fréquence (sans bruit) est large. Dans ce type d’application, ces filtres fonctionnent significativement mieux que des filtres moyens standards, notamment pour conserver la pertinence des hautes fréquences (Orfanidis [125]).
Le filtre de lissage de Savitzky-Golay utilise une régression locale au lieu du calcul habituel de la moyenne mobile. L’utilisation de ce filtre est particulièrement intéressante pour lisser des signaux dont les pics doivent être préservés aussi intégralement que possible. Dans notre cas, nous utilisons cette méthode pour fournir une première estimation de la courbe lissée du fait de la forme générale de nos sorties, mais également pour le palier initial desHC.
L’approche utilisée pour lisser une série temporelle est de remplacer chaque valeur de la série par une nouvelle valeur, obtenue par l’ajustement d’un polynôme basé sur les 2n+ 1 points voisins (incluant le point à lisser), avecnau moins égal à l’ordre du polynôme.
Figure A.2 – Illustration du filtrage d’une valeur par la méthode de Savitzky-Golay
La figure A.2 illustre la méthode pour le lissage d’une valeur ent0, à l’aide d’un polynôme local du second ordre, avec 7 points.
Dans leur article original [140], les auteurs ont montré qu’un ajustement polynomial coulissant peut être numé-riquement traité exactement de la même manière qu’une moyenne coulissante pondérée, puisque les coefficients de la procédure de lissage sont constants pour toutes les valeurs y. Ainsi, le lissage de Savitzky-Golay est très facile à appliquer. De plus, le même algorithme peut être utilisé pour calculer les dérivées lissées de premier et second ordre d’un signal bruité.
Nous avons fait le choix de prendre des polynômes d’ordre 3, et des tailles de fenêtre qui sont relativement grandes, afin de bien respecter ce que l’on observe expérimentalement. Comme nous l’avons évoqué précédemment, nous disposons en tout de 2652 points pour chaque essai. Ainsi, nous avons opté pour une fenêtre de taille maximale lorsque nous l’utilisons pour lisser le palier initiale deHC qui est très bruitée, pour obtenir un lissage le plus plat possible, tout en respectant la valeur moyenne du palier. Et une fenêtre conséquente (environ 700) pour obtenir la première courbe lissée pourCO, qui d’une manière générale est peu bruitée.