Lissage du CO

Pour ce qui est de la méthode de lissage pour la sortie CO, le principe général s’apparente à la méthode que nous venons de présenter dans le cas desHC. Cependant, les différences de comportement notables des courbes brutes, expliquent la mise en place d’étapes supplémentaires, et des paramétrages de fenêtre différents.

Les courbes brutes des 20 essais montrent des comportements plus complexes et variés, et une décroissance pas forcement brusque selon les cas. On observe également pour la plupart des essais, un palier intermédiaire dont l’importance peut être très différente. Par exemple, ce palier est faiblement marqué sur notre exemple, figure A.8, se situant à peu près entre 160°C et 180°C. Ce palier peut être relativement plat, de longueurs variables et éventuellement présenter des oscillations.

D’une manière générale, il est possible de découper la courbe en quatre zones, chacune étant lissées d’une manière différente. Un lissage complet final permet d’uniformiser le lissage en supprimant les discontinuités aux points de jonction de chaque zone. Nous détaillons par la suite précisément comment l’identification et le découpage de ces zones sont effectués. D’une manière simple, ces quatre zones sont le palier initial (du début de la courbe au début de la décroissance plus marquée), le début de la décroissance (de la fin du palier initial à la TLO et qui contient le palier intermédiaire s’il existe), la fin de la décroissance (de la TLO à la température où la concentration est en dessous d’un seuil) et le palier final.

La première étape consiste à appliquer un FSG avec une taille de fenêtre conséquente (701 points). L’avantage de cette méthode est de bien représenter le début de la courbe brute jusqu’à la TLO. En effet, au delà, comme on peut le voir sur la figure A.8, la courbe lissée présente un certain écart avec la courbe brute et surtout décroit jusqu’à des valeurs négatives. On délimite donc deux premières zones : avant et après la TLO. On note que le palier initial n’étant pas très bruité, la valeur initiale de la courbe correspond bien à la valeur initiale [CO]0du mélange.

50 100 150 200 250 300 350 400

−500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Température (°C) yCO

CO essai n°1

Résultat expérimental Premier lissage TLO

Figure A.8 – Étape 1 du lissage du résultat expérimental pourCO

En revanche, une étude plus attentive sur la première partie fait apparaître de petites oscillations, ou zone de croissance, que nous souhaitons prévenir. On détermine alors, à l’aide de la valeur de la dérivée (selon la température par différences finies), ces zones où la courbe est croissante. On parcourt la courbe lissée du début jusque la TLO, en remplaçant une à une ces croissance par une droite horizontale, de manière à "étêter"

l’oscillation. Ainsi, on obtient certes plusieurs points de discontinuités, mais la décroissance de la courbe est respectée.

La figure A.9 exhibe l’étêtage d’une oscillation sur notre exemple. La courbe bleue représente la courbe brute, la rouge, la première courbe lissée que l’on parcourt, et la courbe verte, le résultat après étêtage.

100 105 110 115 120

4150 4160 4170 4180 4190 4200 4210

Température (°C) yCO

CO essai n°1

Figure A.9 – Étape 2 du lissage du résultat expérimental pourCO

Cet exemple est également intéressant car il correspond à la dernière croissance corrigé sur la première partie de la courbe. C’est précisément à cette endroit (point x1 sur les prochaines figures) que nous délimitons la fin du palier initial.

En effet, ces croissances trouvent leur origine dans le fait que la température adéquat n’étant pas atteinte, le fonctionnement du piège n’est pas optimal, et ainsi la décroissance est faible. En revanche, dès que le piège entre pleinement en action, la décroissance s’accélère, et ces petites oscillations disparaissent. On définit ainsi la limite du palier initial.

Enfin, on détermine le premier moment où la courbe brute atteint son minimum (proche ou égal à 0). Ce point marque la fin de la décroissance et le début du palier final (pointx3).

Notre courbe est ainsi décomposée en quatre zones : – palier initial : du début de la courbe àx1,

– début de la décroissance : dex1 àx2, le point correspondant à la TLO (c’est cette zone qui contient le palier intermédiaire s’il existe),

– fin de la décroissance : dex2 àx3

– palier final : dex3 à la fin de la courbe.

La figure A.10 offre une visualisation claire de ces quatre zones. Sur chacune, un lissage particulier est opéré que nous détaillons un à un par la suite. Auparavant, nous insistons sur le fait que l’étêtage des croissances et la détermination des zones est automatique pour chaque essai, compte tenu des connaissances du système.

50 100 150 200 250 300 350 400

−500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Température (°C) yCO

CO essai n°1

x1

x2

x3

Figure A.10 – Détermination des quatre paliers Premier palier :0 àx1

La valeur initiale correspond à [CO]0 et, de plus, la décroissance est respectée car chacune des croissances, ou oscillations, ont été remplacées par une droite (voir figure A.9). Cependant, des discontinuités dues à l’étêtage sont présentes sur ce palier, et sont corrigées par la suite.

Second palier :x1à x2

Sur le second palier, nous faisons le choix d’appliquer un FM sur la courbe lissée. La taille de la fenêtre n’est pas fixe, puisque selon les cas, cette zone est plus ou moins grande. L’idée est de choisir une fenêtre relativement grande, correspondant à un quart de la zone, pour respecter mieux la courbure brusque observée expérimenta-lement. Dans notre cas, une fenêtre comportant 201 points a été utilisée sur la courbe lissée.

Troisième palier :x2à x3

Pour la fin de la décroissance, nous avons pu voir que la courbe lissée obtenue initialement n’est pas satisfaisante, car celle-ci n’est pas proche du résultat expérimentale, mais également car la décroissance descend jusqu’à atteindre des valeurs négatives. Pour cette raison et le fait que la courbe brute soit peu chahutée, nous utilisons un FM de petite taille (101 points) appliqué sur les données expérimentales de cette zone.

Quatrième palier :x3 à la fin

On fixe la valeur de ce palier constante et égale à la valeur lissée dex3 (proche ou égal à 0).

On obtient donc une fonction discontinue en les points de jonction des paliers x1, x2, x3. Mais qui respecte la décroissance et les paliers, en étant proche du résultat exp. L’étape finale consiste donc à uniformiser notre courbe. Cette uniformisation se déroule en deux temps : Premièrement, on lisse chacune des jonctions par un FM en prenant une zone centrée sur chacun des pointsx1,x2,x3de taille raisonnable (51, 101, 101). Cette étape permet une atténuation des discontinuités. Deuxièmement, on réalise un lissage par FM sur l’ensemble, plus grossier (fenêtre de 151 points). Ceci afin d’obtenir un lissage parfait qui respecte les contraintes de décroissance, la valeur initiale et le palier final ainsi que la TLO.

120 140 160 180 200 220

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Température (°C) yCO

CO essai n°1

x1

x2

x3

(a) Courbe discontinue aux points de jonction

50 100 150 200 250 300 350 400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Température (°C) yCO

CO essai n°1

Résultat expérimental brut Résultat expérimental lissé

(b) Résultat final du lissage du résultat expé-rimental pourCO

Figure A.11 – Courbes discontinues et résultat final

Cette méthode automatique de lissage qui tient compte des connaissances que l’on a des courbes en sorties, donnent de bons résultats sur tous les essais. Les figures A.12a, A.12b et A.12c illustrent bien sur des exemples très différents, le bon comportement de la méthode.

50 100 150 200 250 300 350 400

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Température (°C) yCO

CO essai n°2

Résultat expérimental brut Résultat expérimental lissé

(a) Essai 4

50 100 150 200 250 300 350 400

0 100 200 300 400 500 600 700

Température (°C) yCO

CO essai n°11

Résultat expérimental brut Résultat expérimental lissé

(b) Essai 12

50 100 150 200 250 300 350 400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Température (°C) yCO

CO essai n°18

Résultat expérimental brut Résultat expérimental lissé

(c) Essai 18

Figure A.12 – Trois exemples de lissage des résultats expérimentaux

L’essai 4 correspond à un cas où le palier intermédiaire est important est oscillant (figure A.12a), l’essai 12 à un essai de faible valeur initiale de CO avec une décroissance bruitée (figure A.12b), et enfin l’essai 18 illustre un cas de forte valeur deCO, avec un palier initial très plat et long, et un palier intermédiaire peu marqué (figure A.12c). Là encore, les résultats de lissage sur ces essais représentatifs, confortent le bon fonctionnement de notre méthode.