Si
i
θ
Figure 4.1 – Représentation du modèle XY . Des spins Si peuvent tourner dans le
plan. Ils sont repérés par l’angle{θi}. Les spins interagissent avec leurs premiers voisins.
densité dans l’espace des phases augmente. Une estimation de l’importance des fluctuations de densité est [Hadzibabic 09] :
∆n2 n2 ∼ 2 nλ2 T ln ( kBT 2gn ) , (4.13)
qui, par exemple, pour nos paramètres expérimentaux, vaut∼ 0.3 autour de la transition. Cette formule n’est valable que si kBT gn. Au contraire, les fluctuations de phase ont
une contribution importante, qui est responsable, comme nous l’avons vu, de la destruction de l’ordre à longue portée.
Dans la limite où les fluctuations de densité sont réduites, le Hamiltonien de l’équation (4.5) prend la forme : H = ~ 2 2m ∫ n(∇θ)2dxdy .[4] (4.14) Nous allons voir que cette forme du Hamiltonien est identique à celle du Hamiltonien du modèle XY dans l’approximation « ondes de spins ».
4.4
Phénoménologie du modèle XY
Nous décrivons ici le modèle XY . Ce modèle est historiquement le cadre dans lequel a été étudié la transition BKT. Il est équivalent au gaz de Bose 2D dans la limite des très basses températures, et certains résultats obtenus pour ce modèle peuvent être transposés au gaz de Bose.
4.4.1 Présentation du modèle XY
Le modèle XY est un modèle de spins sur réseau qui peuvent tourner continûment dans le plan 2D, comme représenté sur la figure 4.1. Il faut noter qu’il y a un et un seul 4. Nous nous plaçons dans la limite à basse température où tout le fluide est superfluide (n∼ ns). Le
spin par nœud du réseau. L’état du système est donc repéré par l’ensemble des angles des spins Si :{θi}. On note J cos(θi− θj) l’interaction entre deux spins voisins aux sites (i, j)
et on ne considère que cette interaction. Le Hamiltonien du système est : H =−J∑
(i,j)
cos(θi− θj) . (4.15)
Ce modèle est classique et possède une symétrie continue par rotation (SO(2)).
4.4.2 Fonction de corrélation
Dans ce modèle, nous pouvons calculer la fonction de corrélation de spin : g(r) = D ~ S(r) ~S(0) E = D ei(θ(r)−θ(0)) E . (4.16)
A haute température (kBT J) : elle s’écrit [Heritier 07] :
g(r)∼ e−r/l , (4.17)
avec l = 1/ ln(kBT /J ). Dans cette limite, la fonction de corrélation décroît exponentielle-
ment.
A basse température (kBT J) : on peut se placer dans l’approximation d’ondes de
spin dans laquelle θi− θj 1 et cos(θi− θj) ∼ 1 −∇θ
2
2 . Le Hamiltonien s’écrit alors, en
passant à la limite continue :
H = J 2
∫
(∇θ)2dr , (4.18)
et le calcul de la fonction de corrélation conduit à [Heritier 07] :
g(r)∼ r−η(T ) , (4.19)
avec η(T ) = kBT /2πJ . Dans cette limite, la fonction de corrélation décroît jusqu’à 0 à
l’infini (en conformité avec le théorème de Mermin-Wagner-Hohenberg) mais algébrique- ment, c’est à dire beaucoup plus lentement qu’à haute température. Ces deux calculs impliquent une transition où la fonction de corrélation change de comportement. No- tons qu’une transition qui ne brise pas la symétrie n’est pas interdite par le théorème de Mermin-Wagner-Hohenberg.
4.4.3 Equivalence avec le gaz de Bose
Le Hamiltonien de l’équation (4.18) est formellement équivalent au Hamiltonien de l’équation (4.14) obtenu pour le gaz de Bose 2D, soulignant l’analogie forte entre les deux modèles. Cette analogie n’est stricte qu’à très faible température, car le modèle XY ne considère que des variations de phase, à densité fixe. Pour que l’analogie soit rigoureuse, il faut donc que les fluctuations de densité du gaz 2D soient supprimées, à très basse température. Néanmoins, l’image reste qualitativement valable autour de la transition où les fluctuations de densités sont déjà réduites. Les résultats du modèle XY , y compris ceux pour la transition, fournissent des informations sur ce qui se passe dans le gaz de Bose, et en particulier le modèle microscopique de la transition est analogue [Hadzibabic 06].
4.4 Phénoménologie du modèle XY 75
4.4.4 Transition BKT
Le mécanisme microscopique de la transition entre la phase de haute température [fonction de corrélation exponentielle - phase normale] et la phase de basse température [fonction de corrélation algébrique - phase superfluide] a été décrit par Berezinskii, Kos- terlitz et Thouless [Berezinskii 71, Kosterlitz 73]. Il implique la présence de singularités de phase localisées en un point de l’espace, appelées vortex. La circulation de la phase sur un contour fermé, qui contient le vortex, est un multiple de 2π :
∫
∇θdr = 2πp , p ∈ Z est la charge du vortex. (4.20) Au dessus de la transition, les vortex prolifèrent et détruisent la superfluidité5. A la transition, les vortex de charge opposée s’apparient et ne jouent plus de rôle à grande échelle.
4.4.5 Saut de la densité superfluide
Pour un système homogène, la fraction superfluide subit un saut discontinu à la transition [Nelson 77]. Ce résultat peut être retrouvé par un raisonnement énergétique [Hadzibabic 09]. En effet, l’équation (4.20) entraîne :
∇θ = p
reθ . (4.21)
Pour un gaz de Bose superfluide, cela correspond à une vitesse tangentielle :
v = ~
m∇θ . (4.22)
S’il y a une densité d’atomes superfluide ns, elle va tourner à la vitesse v. Au centre du
vortex est présent un cœur non superfluide dont la taille caractéristique est la longueur de cicatrisation ξ (healing length). Cela assure que la vitesse du fluide en ce point ne diverge pas. L’énergie cinétique d’un vortex est donc :
E = ~ 2π m nsln ( R ξ ) , (4.23)
où R est le rayon du système total, et son entropie est6 :
S = 2kBln ( R ξ ) . (4.24)
L’énergie libre associée est donc : F = 1 2β(nsλ 2 T − 4) ln ( R ξ ) . (4.25)
On constate que si nsλ2T > 4 la création de vortex est défavorable, le superfluide est stable.
En revanche, si 0 < nsλ2T < 4, la création de vortex est favorable et la prolifération de
ces derniers détruit la superfluidité. Ce calcul illustre le saut de la densité superfluide à la transition qui passe de 0 à 4/λ2
T [Nelson 77].
5. La notion même de vortex n’a de sens que proche de la transition car si la phase fluctue fortement d’un spin à l’autre, on ne peut pas distinguer les vortex.