/N
x1
0
0 2T/T
CFigure 6.4 – Fraction d’atomes dans le pic central en fonction de la température. Triangles noirs : VR= 0. Carrés bleus : VR= 0.4VRmax. Ronds rouges : VR= VRmax. Le
trait plein est le résultat des simulations Monte-Carlo en l’absence de désordre. Chaque point est une moyenne de 5 données expérimentales et les barres d’erreur sont les erreurs statistiques correspondantes.
reste dans l’incertitude de la détermination de la température, d’autant plus que notre méthode de mesure de T n’est pas très fiable.
6.3
Comparaison aux théories existantes
La comparaison de nos résultats à une théorie n’est pas aisée car il n’existe, à notre connaissance, aucune théorie quantitative dans des conditions similaires aux nôtres, en particulier pour un gaz 2D continu avec un désordre corrélé dont la longueur de corrélation est de l’ordre des longueurs caractéristiques du gaz. Nous présentons ici quelques résultats, théoriques et numériques, qui peuvent éclairer l’interprétation des résultats expérimentaux.
6.3.1 Résultats de [Pilati 10]
Dans [Pilati 10, Pilati 09], des simulations Monte-Carlo ont été effectuées pour un gaz de Bose continu en présence d’un désordre de speckle. Ces simulations ont été réalisées pour un gaz 3D. Les résultats obtenus sont cependant intéressants pour nous car ils illustrent les différents cas limites lorsque l’on varie la longueur de corrélation du désordre, de la limite σ n−1/3 à la limite σ n−1/3, où n est la densité du gaz et σ la longueur de corrélation.
Dans la limite σ n−1/3 : Le potentiel de désordre tend vers un décalage constant en énergie et n’a pas d’effet sur la température critique de la transition.
Dans la limite σ n−1/3 : le potentiel de désordre varie localement doucement par rapport aux caractéristiques du gaz (λT, ξ) et on peut appliquer l’approximation de densité
locale. Dans ce cas, la densité dans l’espace des phases est localement plus grande en présence de désordre, car le potentiel de désordre joue le rôle d’un « dimple » qui comprime le gaz localement et augmente la superfluidité. La température critique est augmentée. Dans ce cas limite, la superfluidité est favorisée par le désordre.
Pour un désordre fort, même si la superfluidité locale est favorisée par l’effet dimple, on peut penser que la superfluidité globale va être impossible si on se trouve sous le seuil de percolation. On aura alors des îlots superfluides déconnectés et non un superfluide à grande échelle. La percolation joue en effet un rôle important, mais essentiellement à 2D comme nous allons le voir ci-dessous. A 3D, le seuil de percolation classique en énergie dans un speckle est Eperc ∼ 0.0004VR, donc il ne joue un rôle que pour des désordres
extrêmement forts.
Pour σ∼ n−1/3 : les conclusions sont différentes et la superfluidité est défavorisée par le désordre. La température critique est abaissée. Tous ces résultats sont résumés dans la figure 14 de [Pilati 10]. Ils montrent clairement que l’effet du désordre n’est pas trivial et qu’il va dépendre fortement des caractéristiques de celui-ci.
6.3.2 Résultats de [Falco 09b]
Les résultats obtenus par [Nattermann 08, Falco 09b, Falco 09a] portent sur les dépen- dances du nombre d’atomes critiques en fonction des différentes grandeurs, sans obtenir les préfacteurs numériques nécessaires à une analyse quantitative. D’autre part, cette étude porte sur le cas d’un gaz à température nulle5, pour un désordre de statistique gaus- sienne. Le problème étudié est cependant étendu au cas d’un gaz confiné à 2D par un piège harmonique vertical et pour un désordre corrélé. Les résultats sont obtenus dans la limite où la longueur de corrélation est grande, c’est à dire une limite équivalente à celle de l’approximation de densité locale.
Dans cette limite, les auteurs obtiennent la variation du nombre d’atomes critiques à la transition vers l’état superfluide :
Nc ∼ ( aoh B )4a z as , (6.7) où B = √~2/mV
R est la largeur caractéristique donnée par l’amplitude du désordre,
aoh = √
~/mω est la taille de l’oscillateur harmonique dans le plan 2D, az =
√
~/mωz est
la taille de l’oscillateur dans la direction verticale de confinement à 2D et asest la longueur
de diffusion 3D du rubidium. Pour les paramètres de notre expérience avec VR∼ kB.35 nK,
on trouve Nc ∼ 32000, qui est un ordre de grandeur compatible avec nos résultats, même
si nous ne sommes pas à température nulle. D’autre part, le résultat de l’équation (6.7) prédit :
Nc ∝ VR2 , (6.8)
ce qui va aussi dans le sens de la non-linéarité observée dans notre expérience pour le décalage de l’apparition de la cohérence en fonction de l’amplitude du désordre. Expé- rimentalement, nous n’observons pas le régime de transition entre la phase isolante et
6.3 Comparaison aux théories existantes 101
S/k
B
V /k TR B
Figure 6.5 – Résultat obtenu par le calcul dans l’approximation de densité locale. Entropie par particule critique en fonction de l’amplitude du désordre. La courbe violette correspond à l’entropie critique pour le seuil de superfluidité locale. La courbe bleue correspond au seuil de superfluidité globale.
la phase superfluide mais entre la phase normale (métallique) et la phase superfluide. Dans le diagramme de phase d’un gaz 2D (voir [Aleiner 10]), les courbes de transition isolant-normal et normal-superfluide se rejoignent en un même point à température nulle, où il n’existe qu’une transition superfluide-isolant. Si la courbe de la transition normal- superfluide varie doucement avec la température, on pourrait comprendre que même à température non-nulle on observe des valeurs compatibles au cas de la température nulle. D’autre part, même si l’approximation de densité locale ne doit pas être valable dans nos systèmes, on constate que pour certaines grandeurs, les prédictions ne sont pas trop fausses.
6.3.3 Calculs numériques en approximation de densité locale
Pour évaluer la pertinence de la description LDA dans nos expériences, nous pouvons nous placer dans cette approximation et calculer numériquement la variation de l’entropie par particule critique en fonction de l’amplitude du désordre. Ces calculs ont été réalisés par Thomas Bourdel [Bourdel 12]. Pour cela, on calcule dans un premier temps l’entropie totale du nuage moyennée sur le désordre :
hStotali = ∫∫ s ( µ0− 1 2mω 2r2− V ) n ( µ0− 1 2mω 2r2− V ) d2rP (V )dV , (6.9)
où s est l’entropie locale par particule, n est la densité locale, P (V ) est la distribution de probabilité du désordre. On peut ramener ce calcul à celui de la densité dans l’espace des phases en fonction de µ : D(µ). En faisant le changement de variable x = µ0−12mω2r2−V
et y = µ0−12mω2r2+ V , nous obtenons : hStotali = Cste ∫ µ0 −∞s(x)D(x) ( 1− eµ0−xVR ) dx . (6.10)
Les valeurs de s en fonction de µ s’obtiennent grâce aux relations (4.26), (4.27) et (4.28). L’entropie totale par particule est alors
hStotali
N . (6.11)
Pour obtenir les valeurs numériques de D(µ) on utilise la limite semi-classique de champ moyen dans la zone des faibles densités dans l’espace des phases (faibles µ) et le modèle de Thomas-Fermi pour les grandes densités, loin dans la zone superfluide. Autour de la transition, on peut utiliser les données Monte-Carlo tabulées dans [Prokof’ev 02]. En interpolant entre ces jeux de données, on obtient la courbe D(µ). Il reste enfin à choisir µ0.
On considère deux valeurs de µ0 en fonction du potentiel chimique critique de la transition
BKT µc.
Pour µ0 = µc : le gaz devient localement superfluide mais les régions superfluides sont
piégées dans le désordre.
Pour µ0 = µc+ Vperc : les îlots superfluides percolent, le gaz devient globalement super-
fluide. A 2D, pour un speckle, Vperc= 0.52VR [Pezzé 11].
Dans ces deux limites, on peut calculer l’entropie critique en fonction de VR. Sur la
figure 6.5, on voit que pour vérifier la condition de superfluidité locale, le désordre est toujours favorable (c’est l’effet dimple qui prévaut). Pour la condition de superfluidité globale, lorsque la percolation entre en jeu, le désordre est favorable à petit VR, puis devient
défavorable ensuite. Qualitativement, les résultats sont compatibles avec les observations expérimentales où l’on a vu qu’à VR= 0.4 kBT l’entropie critique est faiblement affectée
et à VR= kBT , elle l’est beaucoup plus. Cependant ces calculs ne prennent pas en compte
les états excités, ce qui explique la différence quantitative avec les résultats expérimentaux de la figure 6.3, pour les valeurs de l’entropie.
6.3.4 Conclusion sur la LDA
Les calculs réalisés dans le cadre de la LDA semblent qualitativement en accord avec les résultats expérimentaux, même si encore une fois ces modèles ne sont pas vraiment re- présentatifs de l’expérience. Pour autant, les résultats préliminaires de simulations Monte- Carlo réalisées par Markus Holzmann en présence de désordre semblent indiquer que l’ap- proximation de densité locale n’est pas en accord avec les profils issus de la simulation. Il sera intéressant de poursuivre cette comparaison pour comprendre les limites de vali- dité de la LDA. En particulier il serait intéressant de savoir à partir de quelle longueur de corrélation ce modèle, qui en l’absence de désordre est bon jusqu’à la transition BKT [Holzmann 08a], échoue à décrire les expériences avec désordre. La limite de validité de la LDA va aussi dépendre de la quantité observée.
Outre la question de la validité de la LDA, des études théoriques pourront nous rensei- gner sur les mécanismes en compétition qui affectent la superfluidité : percolation et effets de compression du gaz. Dans la limite où la longueur de corrélation est comparable à la longueur de cicatrisation (healing length), on peut aussi envisager que le désordre d’échelle