Méthodologie de conception optimisée d’inductance intégrée.
2. Les phénomènes physiques induisant un comportement inductif d’une spirale planaire.
La recherche d’expressions numériques simples, permettant le calcul de l’inductance d’un circuit, a d’abord été nécessaire dans le domaine RF pour un certain nombre de fonctions électroniques. Si au début du XXème siècle, les applications se cantonnaient à la réalisation d’antennes et de filtres radio pour les transmissions, aujourd’hui la plupart des contributions concernent la conception RF et plus précisément les RFIC (Radio Frequency Integrated Circuits). Ainsi, pour l’intégration d’inductances, le travail de S. Mohan est souvent cité car il établit une comparaison de méthodes numériques simples à mettre en œuvre [72]. Parmi celles-ci, nous trouvons une expression tirée des travaux de Wheeler [73] de 1928 et modifiée dans [72] pour permettre le calcul d’inductances planaires intégrées de forme carré, hexagonale et octogonale. Une autre approche est présentée dans [72] consistant à approximer les conducteurs par des couches symétriques de courants reflétant la répartition des densités de courant. Cette expression, appelée « Current sheet approximation », permet de calculer l’inductance de bobines carrées, hexagonales, octogonales et circulaires.
Nous avons pu constater, qu’à partir d’une comparaison entre des résultats expérimentaux et les expressions de Wheeler modifiée puis celle basée sur les couches de courant, ces dernières n’offraient pas une précision suffisante pour le calcul d’inductances [74]. De plus, aucune formulation de la résistance n’est proposée. Cela empêche tout travail d’optimisation du composant vis-à-vis des pertes. Enfin, le dimensionnement des bobines devenant complexe à cause de leur structure (plusieurs spires associées), ces expressions ne pouvant servir à étudier le couplage magnétique entre deux circuits élémentaires, nous n’avons pas poursuivi les travaux sur cette base.
Le travail de Greenhouse [74, 75, 76] est également souvent cité. Il concerne le calcul d’une inductance orthogonale. Greenhouse propose de découper le bobinage en une série de brins rectilignes correspondant aux quatre cotés de la bobine puis calcule l’inductance propre de chaque brin et les mutuelles inductances entre ces mêmes conducteurs. Le calcul de l’inductance propre de la bobine fait intervenir les paramètres de largeur w, d’épaisseur t et de longueur l du conducteur ainsi que le nombre de brins Nc, égal à quatre fois le nombre d’enroulements N constituant une bobine. Finalement,
l’inductance totale s’obtient en sommant l’inductance propre de la bobine et les inductances mutuelles. Cette méthode se révèle précise mais pour le calcul d’inductances de bobines de forme orthogonale. Or, il est facile de démontrer que quand des densités de courant élevées circulent [75], une forme circulaire est plus appropriée à la circulation de courant et permet un gain de 20% en termes de facteur de qualité. Aussi, il a été indispensable au cours de cette thèse de mettre en place un modèle analytique de calcul d’inductances planaires circulaires pour pouvoir avoir une base théorique de dimensionnement.
A partir des travaux de Grover et de sa compilation approfondie des tables et des formules, publiées en 1946, nous avons pu calculer la valeur de l'inductance fonctionnant en basse fréquence pour diverses configurations de boucles, enroulements, tores, et spirales [77]. A partir de la définition de la forme géométrique du circuit (type de section de conducteur, facteur de forme), Grover propose des expressions simplifiées de formules exactes, attribuables à Maxwell ou Rosa, [77]. Dans chaque cas, Grover précise le domaine de validité sur lequel chacune de ses expressions peut être utilisée.
Pour l’intégration d’inductances RF, les principales publications traitant d’un dimensionnement complet d’une inductance planaire intégrée sont celles de Niknejad [78] et de Yue [79]. Le premier se base sur un découpage des spirales en plusieurs segments élémentaires pour lesquels il calcule la matrice impédance tenant compte des valeurs d’inductance et de résistance propres mais également de l’environnement au travers des couplages capacitifs et magnétiques entre les conducteurs et le substrat. Cette technique a été mise en œuvre dans le logiciel ASITIC qui, à partir des paramètres géométriques de la bobine, assure la résolution matricielle [78]. Dans ce cadre, Niknejad s’est servi des expressions de Grover pour calculer les valeurs d’inductance propre et mutuelle en basse fréquence de chacun des segments constituant une bobine. Ce programme se révèle précis mais étant dédié à des applications RF CMOS, l’optimisation de la résistance série n’apparaît pas de façon évidente. De plus, les simulations en fréquence se révèlent longues. Yue propose une démarche de dimensionnement d’inductance RF dans [79]. Il calcule les valeurs d’inductance à partir des formules de Grover et tient compte de l’environnement de l’inductance par le calcul des interactions avec le substrat. Comme dans la plupart des travaux publiés dans le domaine RF, l’étude est centrée sur une méthode de prédiction du facteur de qualité maximum, de la fréquence de travail et de résonance du composant inductif. Par conséquent, la partie DC de la résistance n’est pas abordée de manière détaillée, à l’inverse de la partie AC. La prise en compte des effets de la montée en fréquence sur la résistance est alors assurée par une modélisation monodimensionnelle des effets de peaux. Cette méthode a pour avantage de quantifier de manière simple les éléments parasites inhérents à une intégration sur silicium. Toutefois, les effets de couplage magnétique entre plusieurs conducteurs ne sont pas abordés de manière numérique, mais au travers d’outil de simulation aux éléments finis.
D’autres domaines connexes montrent l’intérêt porté au recueil de formules de Grover. Le site de Microchip a diffusé une note d’application pour la conception d’un système RFID et cite en référence les travaux de Grover pour le dimensionnement des antennes [80]. Ces expressions sont également reprises pour évaluer les inductances de lignes d’interconnexion afin de déterminer les retards de propagation et les interactions avec leur environnement [10, 11] ainsi que pour étudier les stratégies de routage des lignes d’alimentation et en augmenter leur immunité au bruit [83].
Dans le domaine des composants inductifs intégrés pour la puissance, ces expressions sont également prises comme base pour le calcul d’inductance. Peu de travaux sont publiés à ce sujet, mais nous pouvons citer les travaux de Hurley & Duffy [84] et plus récemment ceux de Musunuri & Chapman [85] parmi les plus significatifs. Les premiers ont développé un modèle d’impédance d’une structure inductive planaire constituée d’enroulements pris entre deux couches de matériaux ferromagnétiques. La deuxième équipe se base sur les travaux de Grover pour le dimensionnement rapide d’une inductance planaire carrée suivis par une validation expérimentale. Si, dans les deux cas, la précision des calculs est discutée, aucune méthodologie n’est en revanche proposée pour effectuer le choix des paramètres géométriques des inductances.
Un manque évident apparaît ici concernant l’approche du dimensionnement des inductances intégrées pour la conversion de puissance. Dans ce domaine précis, les choix des paramètres géométriques ne peuvent se faire uniquement en fonction de critères de fonctionnement en fréquence. L’évaluation des valeurs DC de l’inductance et de la résistance constitue au contraire la première étape importante pour éviter les pertes. Par conséquent, nous avons établi une méthode de conception d’inductances planaires tenant compte des contraintes en courant. Mais, étant donnée la lourdeur des temps de calculs à l’aide d’outils de simulations 3D, nous avons aussi établi un modèle simple pour rendre la méthode pertinente. Pour établir ce modèle, nous sommes alors reparti des formules de Grover qui sont un moyen fiable de calcul de L dans une certaine mesure, que nous avons enrichi d’expressions permettant le calcul des mutuelles inductances afin de prévoir l’étude de l’association de plusieurs bobines magnétiquement couplées. Une fois la partie DC du modèle mise en place, nous l’avons comparé avec ceux fournis par un logiciel de simulation aux éléments finis, Coventorware afin de la valider. Nous avons alors effectué une étude systématique dans l’objectif d’édicter des règles pour la conception d’inductances planaires intégrées, optimisées en résistance dont les principaux résultats sont montrés dans le paragraphe II.2.