Les phénomènes diffusifs

Les systèmes à plusieurs espèces de particules dans les modèles de gaz sur réseau

ouvrent la voie à une grande richesse de comportements hydrodynamiques, diffusifs

ou réactifs. Cette extension des modèles est également très simple comparative­

ment aux méthodes numériques classiques qui nécessitent une énorme complica­

tion des modèles pour introduire par exemple une interface libre entre deux fluides

immiscibles. Pour la simulation de phénomènes hydrodynamiques ou réactifs com­

plexes, il est nécessaire de déterminer les paramètres caractérisant l’interaction de

ces différentes espèces en fonction des règles microscopiques (par exemple, la ten­

sion superflcielle dans le cas de fluides immiscibles [Somers et Rem 1990] ou le taux

de réaction pour des modèles avec changement d’espèce [Clavin et al. 1988, Zehnlé

et Searby 1989]. Nous n’avons utilisé dans ce travail que des modèles de gaz sur

réseau à deux espèces miscibles et non-réactives (les particules de chaque espèce

ne se distinguent que par leur couleur et par leurs règles de collision qui peuvent

différer pour obtenir des variations de viscosité entre les deux fluides). Le paramètre

principal définissant dans ce ca^ le comportement d’un système à deux espèces est

le coefficient de diffusion mutuel*, les autres coefficients caractérisant chacun des

fluides (viscosité, vitesse du son) pouvant être mesurés par les méthodes de la sec­

tion 1 et prévus théoriquement par les techniques de la section 1.6. La détermination

du coefficient de diffusion est particulièrement importante si l’on veut par exemple

utiliser un des constituants comme traceur dans des expériences hydrodynamiques,

auquel cas le coefficient de diffusion doit être minimisé pour ralentir le mélange des

espèces par rapport aux processus hydrodynamiques. Nous avons ainsi développé un

ensemble de règles de collisions qui minimise le coefficient de diffusion, ce qui nous

2. Les phénomènes diffusifs ₁₅₁

a mené au modèle à deux espèces à diffusion limitée (voir section I.l.d).

Nous avons dans ce travail mesuré la coefficient de diffusion par plusieurs tech­

niques indépendantes qui se placent à des échelles microscopiques ou macroscopi­

ques. La méthode la plus simple consiste à étudier la mélange par diffusion de deux

espèces initialement séparées et à déterminer le coefficient de diffusion en obser­

vant l’évolution du profil de concentration. Une autre méthode revient à mesurer le

déplacement quadratique moyen d’une particule marquée ou à intégrer sa fonction

d’autocorrélation des vitesses pour obtenir D, grâce aux relations de Green-Kubo

(section I.6.e). Connaissant ainsi le coefficient de diffusion, nous avons réalisé plu­

sieurs expériences d’hydrodynamique ou les deux espèces servent de traceur et nous

permettent de suivre les lignes de courant ou les contours d’un jet ou d’une goutte.

Nous avons également pu mettre en évidence la présence de “longues queues”

dans la fonction d’autocorrélation de la vitesse d’une particule marquée. Malgré la

présence d’un bruit statistique très faible sur W(f), ce n’est qu’en observant le com­

portement aux basses fréquences de sa transformée de Fourier que nous avons

pu prouver de manière non-ambigüe l’existence d’une décroissance non-exponentielle

des corrélations aux temps longs.

a. Mélange de deux espèces

A l’écheUe macroscopique, le coefficient de diffusion D3 est défini par la relation

constitutive (1.6.54) ou de manière équivalente par l’équation d’advection-diffusion

(1.5.34) ; ces relations décrivent l’étalement et le transport des variations de con­

centration locale 6{T,t) dans un système à plusieurs espèces. Plusieurs schémas

expérimentaux permettent de déterminer D, en observant l’évolution du champ ma^

croscopique 6. Dans un système à densité uniforme po et macroscopiquement au

repos (u = 0), le terme d’advection s’annule et 0{T,t) obéit alors à l’équation de

diffusion classique

dt0 = . (2.1)

Pour obtenir une situation expérimentale simple, nous nous ramenons à un problème

unidimensionnel en considérant une concentration uniforme dans toutes les direc­

tions de l’espace autre que la direction horizontale 6 = 9{x,t). L’équation de diffu­

sion se ramène alors à

5*0(x,f) = D,(po)^^^^ (2.2)

qui est l’équation classique qui apparaît dans tous les problèmes de diffusion (ther­

mique, masse, ... ) unidimensionnels et qui peut être résolue par séparation des

variables. La solution générale s’écrit

= Vib,afc . (2.3)

qui doit être complété par la donnée des conditions expérimentales pour fixer les

valeurs possibles de k et ak. Pour simplifier la gestion des conditions de bord, nous

allons utiliser des conditions de bord périodiques dans la direction x, ce qui con­

traint k à être de la forme 27rj/L où L est la longueur du domaine de simulation

et j est entier. La distribution initiale de concentration ff(x,0) va alors déterminer

l’ensemble des coefficients Un choix simple consiste à prendre un profil initial

sinusoïdal, ce qui n’excite que le premier mode j = 1 et conduit à une solution

sinusoïdale amortie pour Du point de vue expérimental, une distribution

plus simple est de séparer complètement les deux espèces entre les deux moitiés du

domaine de simulation. Le profil de concentration possède alors une forme rectan­

gulaire périodique, et la solution s’obtient aisément en utilisant les séries de Fourier,

soit

1 9 °°

»(''.<)= 2+ -E

sin

i=o

I^ir{2j+l)x

V

2j + l ^{exp U . (2.4)}

Cette expression peut être sommée pour obtenir le profil de concentration à tout

instant, mais elle converge lentement pour les faibles valeurs de i. Une autre ex­

pression de la solution peut être obtenue en considérant la solution du problème

non-périodique et en répliquant infiniment la solution, ce qui donne

1 °°

= ô H

OO

erf ^{f x-jL\ ^ f X - jL - L12\}

\y/4Dj) jj ’

(2.5)

ce résultat présente l’avantage que la fonction d’erreur peut être approximée très

simplement par une fonction rationnelle [Abramowitz et Stegun 1964] et converge

rapidement.

Nous avons réalisé un ensemble d’expériences visant à mesurer le coefficient de dif­

fusion pour le modèle FHP-IV avec les règles de diffusion limitée et la dépendance

de ce coefficient par rapport à la densité. Les simulations ont été réalisées sur un

réseau de 320 x 256 nœuds avec des conditions périodiques dans les deux directions

(les conditions de bords dans la direction verticale n’ont pas d’influence sur la simu­

lation pour autant qu’elles conservent le nombre et le type de particules). Le réseau

est initialisé avec une densité uniforme po et une vitesse nulle, toutes les particules

dans la moitié gauche du réseau appartenant à l’espèce X tandis que toutes celles

de la moitié droite sont de l’espèce Y. Les profils de concentration sont obtenus

en moyennant la concentration locale sur la hauteur totale du réseau, ce qui réduit

appréciablement le bruit statistique. Nous arrêtons la simulation au moment où

le profil de concentration acquiert une forme quasi-sinusoïdale, ce qui nécessite un

temps de calcul proportionnel à et permet une bonne comparaison avec le

profil théorique (III.2.5). Nous faisons alors un ajustement non-linéaire aux moin­

dres carrés entre le profil expérimental et sa forme théorique, ce qui nous permet,

connaissant t, d’obtenir Z?*.

La figure 45 donne un exemple de profil de concentration utilisé pour déterminer

la valeur de Dg. Les points représentent en réalité les différences entre la courbe

expérimentale et la forme théorique ajustée, l’étendue de chaque “point” repré­

sentant le résidu en cette position. On notera l’excellent accord entre le profil

expérimental et sa forme théorique, ce qui montre que les phénomènes diffusifs

2. Les phénomènes diffusifs 153

%

, i Jl

/

_X \ »

i \ 1

1

1 :

¹

a

1

1 1: d \ a a i

11 /

1 \ a a Jl

\

i\ 9

-K

y

i

Figure 45: Profil de concentration obtenu après 5150 pas de temps lors de la

simulation du mélange de deux espèces initialement séparées sur un réseau de

320 X 256 nœuds initialisé avec une densité uniforme d = 0.6. La coordonnée x

varie de 0 à 319 horizontalement et la concentration 0 de 0 à 1 verticalement.

sont très bien reproduits à grande échelle par les gaz sur réseau. La figure 16a

page 84 représente la variation de la valeur du coefficient de diffusion en fonction

de la densité ; les croix + sont des mesures expérimentales du coefficient de diffu­

sion pour le modèle à diffusion limitée tandis que les symboles x sont des mesures

expérimentales obtenues par d’Humières et Lallemand [1987 B] pour un modèle de

diffusion avec redistribution aléatoire des particules au cours de la collision. Les

courbes continues sont bîisées sur les expressions du coefficient de diffusion obtenues

dans le cadre de l’approximation de Boltzmann pour la marche aléatoire d’une par­

ticule (section I.6.e). L’accord entre l’approximation de Boltzmann et les mesures

expérimentales est excellent, sauf pour les densités moyennes dans le cas du modèle

à diffusion limitée. Ce désaccord est normal puisque le calcul théorique considère la

diffusion d’une seule particule marquée tandis que le mélange des deux espèces se

produit à concentration approximativement égale des deux espèces et le coefficient

de diffusion dépend de la concentration pour le modèle à diffusion limitée (tandis

qu’il en est indépendant dans le cas de la redistribution aléatoire des particules). La

figure 16b permet de constater que pour les deux modèles, le produit dDa tend vers

une constante à faible densité : ceci montre que le coefficient de diffusion diverge

bien en fonction inverse de la densité pour les densités faibles, ce qui est le com­

portement attendu pour un gaz dilué. On peut également observer que le modèle

à diffusion limitée présente une valeur du coefficient de diffusion qui est toujours

inférieure à celle du modèle à redistribution aléatoire. En particulier, à la limite

de la densité d tendant vers 1, le coefficient de diffusion s’annule pour le modèle à

diffusion limitée puisque, tous les liens étant occupés, les particules renversent leur

vitesse à chaque pas de temps, la fonction d’autocorrélation des vitesses prenant

la forme $(t) = (—1)*). Le modèle à diffusion limitée semble donc intéressant pour

utiliser une deuxième espèce comme traceur dans la simulation d’écoulements hydro­

dynamiques ; en effet, pour que le traceur ne se disperse pas trop rapidement, il faut

que les phénomènes diffusifs soient très lents par rapport à l’écheUe de temps hydro­

dynamique.

b. Simulations hydrodynamiques à deux espèces

Nous avons réalisé un grand nombre d’expériences hydrodynamiques dans lesquelles

les deux espèces ont des propriétés exactement semblables et la “couleur” des parti­

cules sert simplement à visualiser les lignes de courant. La figure 46 est un exemple

d’une telle simulation correspondant à la formation d’une allée de von Kàrmàn

derrière une plaque mince. La couleur des particules injectées à l’entrée de l’écoule­

ment est une fonction périodique de la coordonnée verticale afin de réaliser des filets

fluides. On distingue très bien sur l’image (b) l’onde de choc causée par l’introduction

brutale de l’obstacle dans l’écoulement ainsi que les amorces des deux tourbillons

disposés symétriquement par rapport à l’axe de la plaque. Lorsque l’écoulement de­

vient instationnaire (c), le mélange par diffusion empêche de visualiser l’écoulement

derrière l’obstacle, mais on distingue très bien les tourbillons et la rotation des filets

fluides. La figure (d) est une carte de flux dans la même situation qui met en évidence

la rotation en sens opposé des tourbillons successifs. La figure (e) correspond à une

situation expérimentale équivalente et montre que la simulation reproduit qualita­

tivement le comportement de l’écoulement.

Une autre situation expérimentale que nous avons reproduite est le déplacement

d’une goutte colorée dans un fluide initialement au repos : l’expérience montre un

comportement complexe caractérisé par une suite d’instabilités conduisant à des

déformations successives de la goutte. Dans notre réalisation (figure 47), la goutte a

une forme initiale circulaire et une vitesse relativement élevée par rapport au fluide

dans lequel elle se meut. Les deux fluides sont miscibles et ne présentent pas de

tension superficielle ; la goutte est écrasée par le contre-courant dus aux tourbil­

lons symétriques créés par son déplacement. La goutte prend alors la forme d’un

croissant, cette déformation étant caractéristique des bulles pour lequel le rapport

de la tension de surface aux contraintes hydrodynamiques est petit. La goutte se

“dilue” également par diffusion et devient de plus en plus ténue tout en suivant les

lignes de courant que son déplacement engendre, comme on peut le constater sur la

dernière figure (d), où les deux extrémités de la goutte s’enroulent sur elles-mêmes.

La diffusion devenant trop importante, il n’est pas possible de suivre la goutte sur

des temps plus longs.

Figure 46: Simulation du sillage derrière une plaque mince de 116 unités de

réseau pour un nombre de Reynolds de 200. La simulation utilise un modèle à

deux espèces pour introduire des filets fluides de couleurs différentes. La figure (a)

représente l’état initial où la plaque est introduite dans l’écoulement et l’injection

de fluide coloré est commencée. Après 200 pas de temps (b), les filets fluides con­

tournent la plaque tandis qu’une onde de choc se propage à l’arrière de l’obstacle.

Après 15550 pas de temps ((c) et (d)), l’écoulement est devenu instationnaire et

il se forme des tourbillons qui se détachent alternativement des deux bords de

l’obstacle. Noter la similarité de l’écoulement avec la situation expérimentale (e)

obtenue pour un nombre de Reynolds de 250 en ensemençant l’écoulement avec

des paillettes d’aluminium [Batchelor 1967].

128 liens de réseau et une vitesse initiale de 0.3. Les figures représentent la goutte

après (a) 0, (b) 200, (c) 400 et (d) 600 pas de temps. Noter l’écrasement de la

goutte du au contre-courant à l’arrière ainsi que la dispersion de la goutte par

diffusion. La figure (e) est une réalisation expérimentale montrant la déformation

d’une bulle d’air se déplaçant dans l’eau et la structure du sillage derrière cette

bulle (Batchelor 1967].

2. Les phénomènes diffusifs ₁₅₅

Nous pouvons ainsi utiliser les modèles à deux espèces pour introduire des traceurs

dans un écoulement hydrodynamique et faire apparaître les lignes de courant, pour

autant que le phénomène étudié soit rapide par rapport à la diffusion. De ce point

de vue, le modèle à diffusion limitée est avantageux par rapport à un modèle à

diffusion aléatoire. De tels systèmes peuvent également être utilisés pour simuler le

mélange d’espèces chimiquement différentes au sein d’écoulements turbulents, qui

est actuellement un problème très étudié et d’intérêt technologique considérable.

c. Marche aléatoire sur réseau

La définition microscopique du coefficient de diffusion est baisée sur le déplacement

quadratique moyen d’une particule au sein du gaz (équation (1.6.57)). Cette défi­

nition requiert de pouvoir suivre une particule au cours de son déplacement ; or,

les particules d’un gaz sur réseau sont parfaitement indistinguables et perdent leur

identité au cours de chaque collision. Le concept de self-diffusion n’a donc de sens

pour les gaz sur réseau que si nous introduisons des règles supplémentaires qui

définissent l’identité post-collisionnelle des particules en fonction de leur configu­

ration après la collision. Ceci revient à “marquer” les particules afin de les rendre

distinguables. Une méthode simple pour réaliser ce marquage consiste à utiliser un

gaz sur réseau à plusieurs espèces et à se servir du type des particules comme moyen

d’identification, de manière analogue aux expériences de self-diffusion réalisées en

laboratoire qui utilisent des isotopes comme particules marquées. Nous n’utilisons

qu’une seule particule marquée afin de ne pa^ perdre sa traee au cours des collisions

avec des particules du même type. La procédure est donc relativement coûteuse en

temps de simulation puisque, pour pouvoir suivre le déplacement d’une seule parti­

cule, nous devons simuler les mouvements de toutes les particules du gaz dans un

réseau qui doit s’étendre sur plusieurs dizaines de libre parcours moyen.

La procédure expérimentale de simulation est conceptuellement très simple : une

particule unique de l’espèce Y est placée au centre d’un réseau rempli uniformément

de l’espèce X à la densité d. La vitesse initiale de la particule est choisie aléatoirement

dans l’ensemble des vitesses c,- possibles (si une particule X était déjà présente sur

le lien correspondant, elle est simplement éliminée)*. On applique ensuite les règles

d’évolution du gaz sur réseau : collision suivie de propagation, en lisant l’état du

nœud où se trouve la particule juste avant d’effectuer la propagation. Comme il n’y a

qu’une seule particule Y qui puisse se trouver en ce nœud, l’observation de l’état du

nœud suffit à déterminer la vitesse actuelle de la particule c,(t) et donc sa position

au pas de temps suivant r(t -|- 1) = r(t) -|- c,(t) (l’algorithme le plus simple consiste

à utiliser une table à 128 entrées qui, à partir des 7 bits y,, renvoie l’indice unique i

indiquant la direction où se trouve la particule). Nous pouvons de la sorte suivre la

particule à chaque pas de temps et enregistrer ses positions ou ses vitesses successives.

La forme la plus compacte des données est obtenue en enregistrant les directions

successives i{t) puisqu’elles déterminent univoquement la vitesse instantanée c,(t) (et

'Notre discussion se rapporte au modèle FHP-IV avec des règles de diffusion limitée, mais peut être appliquée de la même manière à tout modèle de gaz sur réseau k deux ou trois dimensions.

r(t) par sommation) et qu’elles ne nécessitent que 3 bits par pas de temps puisqu’il

n’y a que 7 vitesses possibles (en pratique, nous enregistrons chaque direction sur

un byte (= caractère ou mot de 8 bits) pour faciliter l’écriture des programmes de

traitement qui ne doivent pas dans ce cas décompacter les fichiers pour obtenir t(t)).

A la fin de la simulation, les directions i{t) sont écrites sur un fichier qui peut être

traité de diverses manières par d’autres programmes. Par exemple, nous pouvons

reconstruire la trajectoire complète de la particule et visualiser son déplacement sans

être gêné par les déplacements de toutes les autres particules du gaz. La figure 48

montre quelques exemples de trajectoires ainsi obtenues ; on observera les phases de

vol libre à faible densité {d = 0.05).

Le coefficient de diffusion peut être évalué à partir de la relation d’Einstein

Ds = lim

T—00

(Ar^(r))

2DT (2.6)

Si nous nous limitons aux déplacements d’une seule particule pour calculer le dé­

placement quadratique moyen (en utilisant r^(T') comme estimateur de (r^(t))),

nous obtenons les résultats de la figure 49. Nous voyons que les fluctuations du

déplacement quadratique d’une particule sont toujours du même ordre de gran­

deur que la moyenne de ce déplacement (en effet, la particule peut toujours revenir

arbitrairement près de son point de départ quel que soit le temps d’observation).

Pour réduire ces fluctuations, nous devrions effectuer une moyenne d’ensemble sur

des réalisations indépendantes du réseau, ce qui serait très coûteux en temps de

simulation. Pour contourner ce problème, nous fractionnons l’enregistrement des

déplacements de la particule en plusieurs segments, chaque segment étant con­

sidéré comme un enregistrement indépendant pour une particule quelconque. Cette

procédure est justifiée pour autant que la séparation entre les enregistrements soit

suffisante pour que la corrélation des vitesses soit devenue négligeable*, ce qui a

été vérifié en utilisant les résultats de la section d. Nous pouvons alors estimer le

déplacement quadratique en prenant la moyenne sur les différentes réalisations ainsi

obtenues, c’est-à-dire

K-i

r

(Ar^(r)) = i f;

T-l

^ a{t + kM)

fc=0 L t=o

(2.7)

où M est la séparation entre les temps initiaux des segments successifs et K est le

nombre de segments disponibles {K = \_N/M\ si N est le nombre total de points de

la trajectoire de la particule). Notons que les segments peuvent se recouvrir si M est

inférieur à Tmax» la valeur de T la plus élevée utilisée pour évaluer D, ; ceci n’est

pas gênant et permet un gain considérable de précision dans l’évaluation de D,. Nos

simulations ont été réalisées sur des réseaux allant de 320 x 256 nœuds à 480 x 384

et les déplacements des particules marquées ont été enregistrés sur des durées allant

de 2^® = 32768 à 2^® = 262144 pas de temps.

’Ceci suppose également que le système est ergodique, ce qu’il est impossible de vérifier, mais qui semble de peu d’importance dans ce cas particulier.

2. Les phénomènes difFusifs 157

Figure 48: Reconstitution de la trajectoire d’une particule marquée dans un gaz

sur réseau de 320 x 256 nœuds à des densités de 0.05, 0.1 et 0.3 (de haut en bas).

Chacune des figures correspond à 32768 pas de temps de réseau et des conditions

périodiques sont appliquées aux bords opposés de l’univers. Noter la différence

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