Les distributions d’équilibre

4. Les distributions d’équilibre

Les équations de l’hydrodynamique classique (c’est-à-dire les équations de Navier-

Stokes) peuvent s’obtenir en perturbant les populations qui sont des solutions sta­

tionnaires uniformes à l’équilibre statistique de l’équation de LiouviUe. Dans le cas

d’un gaz réel, ces solutions d’équilibre correspondent à une distribution de Maxwell-

Boltzmann des populations. Nous allons montrer dans cette section que les gaz sur

réseaux possèdent également des solutions stationnaires et uniformes de l’équation de

LiouviUe, donnant lieu à une distribution de Fermi-Dirac des occupations moyennes.

Ces solutions d’équilibre sont universeUes, en ce sens qu’elles ne dépendent pas des

règles de coUisions particulières utilisées, pour autant que ces dernières satisfassent

aux conditions C1-C3 de la section 2.c. Nous calculerons également la forme ex­

plicite de ces solutions d’équilibre en termes des grandeurs moyennes conservées p,

U et 0 pour de faibles vitesses hydrodynamiques u.

a. Les solutions d’équilibre uniformes de l’équation de LiouviUe

Nous recherchons des solutions stationnaires et uniformes de l’équation de Liou-

ville (1.3.25). Les collisions qui se produisent dans les gaz sur réseaux sont pure­

ment locales (la portée d’interaction entre les particules est nulle), ce qui permet

d’introduire une hypothèse de factorisation : les distributions d’équilibre se mettent

sous la forme d’un produit de distributions, chaque distribution ne dépendant que

de l’état en un seul nœud

-P(«.) = n

p

W’’)) •

r€C

La généralisation à deux espèces du théorème-H démontré par M. Hénon [Frisch et

al. 1987, Appendice F] implique que la fonction décroît au cours du

temps et est bornée inférieurement par

^p(s)lnp(s) > Y^(XilnXi 4- Y.-lnY;- + {1 - iV.)ln(l - A.)) . (4.2)

3 i

Ceci suggère que la solution d’équilibre p{s) soit celle pour laquelle cette borne est

atteinte ; elle est alors de la forme

Pis) ^HX^X^'il - iV.)('-’'-) , (4.3)

i

c’est-à-dire qu’elle est factorisée sur toutes les occupations de chaque nœud, ce qui

est équivalent à supposer l’indépendance de tous les nœuds et la décorrélation de

toutes les directions.

H faut maintenant vérifier s’il existe réellement des solutions de la forme (1.4.1)

où pis) est factorisée selon (1.4.3). Partant de l’équation de LiouviUe (1.3.27), nous

y substituons l’expression complètement factorisée pour obtenir

= s')l[X-^Yl'^il - , Vs' . (4.4)

Nous définissons les populations réduites

5.-1 _ iVi ’ 1 - Ni

ce qui permet de réécrire (1.4.4) comme

1-Ni' ^(4.5)

11(111(1vs', (4.6)

soit encore

B-l B-l

n j;'=E ■^(» - *') n .

v»'-j=0 s j=0

(4.7)

La suite de la démonstration est identique à celle de l’appendice C de [Frisch et al.

1987]. Nous multiplions les deux membres de (1.4.7) par s'- et sommons sur l’ensemble

des états s' possibles. Nous remplaçons la variable muette s' par s dans le membre

de gauche et y introduisons le facteur A(s —► s') = 1. Nous obtenons ainsi

B-l

x:(4: - 4i).4(4 -

>')

n ^1'=0 ■

s,s' j=0

(4.8)

Nous multiplions chacun des deux membres par ln5, et sommons sur i, ce qui donne

A(s s') In H = 0 , (4.9)

avec

B-l B-l

E=n^'. 2'=n^i'- (i-io)

j=0 j=0

En invoquant le bilan semi-détaillé (X^, i4(s —> s') = A(s -♦ 5') = 1), nous

pouvons écrire

J2A{

s

^

s

'){E-E') = 0, (4.11)

ce qui, combiné à (1.4.9), nous donne

E >1(4-4') [i" (|)

h

+

h

-

h

'] =0 (4.12)

Les ajguments E et E' étant strictement positifs, chacun des facteurs [E ln(E'/—) -|-

E - E'j ne peut prendre que des valeurs négatives ou milles, la valeur nulle n’étant

obtenue que si E = E'. Le membre de gauche de (1.4.12) est donc une somme de

grandeurs de même signe avec des poids i4(s —» s') tous positifs ou nuis. Une telle

somme ne peut s’annuler que si chacun des termes s’annule séparément. Ceci impose

que

4. Les distributions d’équilibre ₄₅

Pour obtenir un invariant de sommation, nous prenons le logarithme des deux mem­

bres

B-i B-l

«î In Si = In Si , Vs, A(s ^ s') ^0, (4.14)

t=0 t=0

ou encore

B-l

- s,)A(s -> s')\nSi = 0 , Vs,s' , (4.15)

t=0

ce qui implique que In 5, est un invariant de collision. La forme la plus générale d’un

tel invariant est une combinaison linéaire des grandeurs conservées par la collision,

c’est-à-dire la masse de chaque espèce et les D composantes du moment microsco­

pique (propriété Cl de la section 2.c), ce qui s’écrit

ln5i = -{hi + q-Ci) , (4.16)

où hi et q définissent D-|-2 paramètres, h, prenant l’une des valeurs hx ou hy selon

que i fait référence à une particule X ou y. Les populations d’équilibre uniformes

sont donc de la forme

X'" =

x;’ =

1

1 -I- exp{hx + q •

Cf)

_________ 1________

1 +

exp(/iy

-I- q •

Cf)

________ 1________

1-h exp(/i-I-q • Cf)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

avec h = — ln(e“^^ -|- e“^''). Cette forme particulière des fonctions d’équilibre Xf,

Vf et Ni correspond à une distribution de Fermi-Dirac, ce qui est bien compatible

avec la nature Booléenne des occupations microscopiques Xf, yi et nf. Lorsque nous

substituons ces expressions des Xi et Yi dans la relation (1.4.3), la probabilité d’un

état s s’écrit

p{s) = exp l-hxJ2^i -hrYlvi-^'Y^ ) Il(^ “

\ t * t / t

(4.20)

et ne dépend dès lors que des propriétés physiques (nombres de particules de chaque

espèce et moment total) associées à cet état et pas de la configuration particulière

des particules ; ceci implique que des états ayant des configurations différentes mais

correspondant aux mêmes propriétés physiques ont la même probabilité d’apparition

pour ces solutions d’équilibre uniformes.

Le calcul qui vient d’être effectué montre que l’équation de Liouville (1.3.27)

possède des solutions d’équilibre uniformes pour lesquelles les Si ont la forme d’une

distribution de Fermi-Dirac. Si ce développement montre que des solutions du type

(I.4.17)-(L4.19) existent, il ne prouve pas qu’elles sont uniques, ni que, si d’autres

solutions existent, les solutions effectivement sélectionnées par la dynamique seront

les distributions de Fermi-Dirac (I.4.17)-(I.4.19). Cependant, le théorème-H mon­

tre que ces solutions ont une grande probabilité d’apparition et sont les plus sta­

bles dans l’ensemble des solutions. De plus, toutes les simulations réalisées jusqu’à

présent montrent que la distribution de Fermi-Dirac est la seule solution d’équilibre

effectivement obtenue au cours de l’évolution d’un gaz sur réseau.

Les paramètres hx, hy et q dépendent a priori de l’état microscopique du gaz

exprimé en terme des grandeurs conservées p, pu et p6 ainsi que des règles de collision

microscopiques exprimées par la matrice de transition A(s -+ s'). Nous remarquons

cependant que la définition des grandeurs moyennes

^ ^ 1 ±exp(/i± q-c.) ^(4.21)

= Çl+exp(ft + <,.c,) ^(4.22)

Ç ^ 1 ± exp(/ix ± q • c.) ^(4.23)

correspond à la donnée de D -|- 2 équations non-linéaires qui permettent d’exprimer

de manière unique les D + 2 paramètres h, q et hx en termes des grandeurs

physiques p, u et 6. Ceci implique que les fonctions /i(p,u), q(p,u) et hx{p,u,0)

sont indépendantes des règles de collision. Les distributions de Fermi-Dirac (1.4.17)-

(1.4.19) paramétrées par p, u et 6 sont donc des solutions d’équilibre uniformes

universelles pour tout modèle de gaz sur réseau obéissant aux propriétés décrites

dans la section 2.

Les équations (I.4.21)-(I.4.23) forment un système d’équations non-linéaires, et

de ce fait ne permettent pas en général d’obtenir d’expressions explicites pour les

fonctions /i(p,u), q(p, u) et hx{p,M,0)- Dans le cas du modèle HPP à une espèce,

le système peut se réduire à une équation polynomiale du troisième degré [Hardy

et al. 1973], dont les solutions donnent une expression formelle des populations

en fonction de p et u. H est également possible d’obtenir les solutions du système

(I.4.21)-(I.4.22) lorsque la vitesse est suffisamment faible et présente une orientation

particulière par rapport aux axes du réseau dans le cas des modèles FHP ou FCHC

incolores [d’Humières et Lallemand 1987 A, Diemer et al. 1989].

Les figures lla-c représentent les populations moyennes iV, pour différentes den­

sités moyennes par lien d du modèle FHP-I* en fonction de la vitesse lorsque celle-ci

est parallèle à l’une des directions du réseau c,-. Les symétries du réseau impliquent

qu’il n’y a dans ce cas que quatre populations différentes correspondant à la di­

rection c, parallèle à u, aux directions à ±60° par rapport à u, aux directions à

±120° par rapport à u et à la direction opposée à u. Même dans ce cas simple, il

n’est pas possible d’obtenir une expression algébrique pour les A, en fonction de d

et de u. Les figures lla-c ont donc été obtenues en résolvant de manière itérative

'Grâce à l’universalité de la distribution de Fermi-Dirac en tant que solution de l’équation de Liouville, ces populations représentent les distributions d’équilibre pour tout modèle FHP â six vitesses (c’est-â-dire fc = 6m = 6, fcr = 0 et ZJ = 2).

4. Les distributions d’équilibre ₄₇

Figure 11: Les populations d’équilibre N

q

, Ni = N

5

, N

2

= N

4

et N

3

(de haut en

beis sur chaque figure) en fonction la vitesse hydrodynamique u = (u,0) alignée

le long de la direction

cq

pour le modèle FHP-I. Les trois figures correspondent

respectivement à une densité moyenne par lien de 0.1, 0.3 et 0.5.

l’équation de Boltzmann sur réseau (voir section 3.d) associée à la dynamique du

modèle FHP-I pour des populations Ni uniformes (les détails de ce calcul sont donnés

dans l’appendice A). D est intéressant d’observer que les A, varient de manière forte­

ment non-linéaire en fonction de la vitesse pour les vitesses élevées et qu’il existe

une vitesse u maximale dépendant de la densité au-delà de laquelle il n’existe plus

de populations d’équilibre uniformes. La dépendance des populations en fonction de

la vitesse pour les vitesses faibles présente par contre une symétrie et une linéarité

manifestes. Cette observation suggère qu’un développement en série des populations

en fonction de la vitesse doit être valable à la limite des vitesses faibles.

b. Les populations d’équilibre à faible vitesse

Dans un gaz réel classique, la distribution d’équilibre des vitesses est une distribution

de MaxweU-Boltzmaiin. L’invariance des lois physiques par une transformation de

Galilée implique alors que les populations A,(p, u) ne dépendent que de la différence

c, - U

dans une description continue. La présence du réseau et d’une vitesse maximale

finie c a pour conséquence que les populations d’équilibre Ni ne sont pas invariantes

par une transformations de Galilée dans le céis des gêiz sur réseaux. Nous venons

de voir que la forme générale des populations d’équilibre est universelle (c’est-à-dire

indépendante du modèle de gaz sur réseau considéré), mais qu’il n’est en général pas

possible d’obtenir la forme explicite des fonctions h{p, u) et q(p, u) qui interviennent

dans les distributions de Fermi-Dirac (1.4.19). Il est cependant aisé d’obtenir une

forme explicite des populations lorsque la vitesse hydrodynamique u est faible vis-

à-vis de la vitesse des particules (c’est-à-dire u = ||u|| •< c) en développant en série

les fonctions h et q en termes de la vitesse u (un développement au second ordre

en u nous suffira puisqu’il correspond à l’ordre le plus élevé apparaissant dans les

équations de Navier-Stokes).

Lorsque u = 0, nous pouvons effectuer une isométrie quelconque du réseau sans

modifier la situation physique. Les populations A, doivent donc être indépendantes

de i, ce qui implique que

q(p,0) = 0 (4.24)

Ni{p,0) = ^ = d. (4.25)

Nous développons maintenant h et q en puissances de u en remarquant que l’inva­

riance des populations par renversement de l’espace (u ——u, c, -+ —c,) exige que

h{p, u) soit une fonction paire de u et q(p, u) une fonction impaire de u,

h{p, u) = ho + h2U^ + O(u^) (4.26)

qa(p, u) = ÇiUa + O(u^) . (4.27)

n est à noter que le caractère scalaire de qi et /12 est dû à l’isotropie de tout tenseur

de rang 2 apparaissant dans les modèles (propriété P3 de la section 2.b). Nous

développons les A, au second ordre en termes des fonctions h et q, puis nous util­

isons les définitions des grandeurs moyennes (1.3.33)-(I.3.34) et la valeur du moment

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