Les équations hydrodynamiques

d’ordre 2 des vitesses (1.2.3) pour obtenir par identification des différentes puissances

de

U

les valeurs de ho, et qi. En substituant ces valeurs dans le développement

des Ni, nous obtenons

u)

= d ^1 + ^-^CiaUa + G{p) ^iaP +

u) = d ^1 - G(p)^^ U^up + (4.28)

où G{p) et Qiap sont définis par

1 -2d

ITT ^(4.29)

QiaP = \ i — 0,...,bm 1; (4.30)

(o i = b — br,... ,b — 1.

et iV'’ et iV'® sont respectivement les populations des bm directions correspondant

à un module de vitesse c et les populations des br états de vitesse nulle. H est

intéressant de comparer ce résultat au développement à basse vitesse de la distribu­

tion des vitesses de Maxwell-Boltzmann (dans un gziz réel)

(4.31)

(4.32)

où n est la densité en nombre des particules et m leur masse. Nous constatons que les

développements (1.4.28) et (1.4.32) sont équivalents si nous identifions {bmC^)/{bD)

à la vitesse thermique quadratique kTfm. Une différence essentielle apparaît toute­

fois par la présence du facteur (1 - 2d)/(l - d) qui pondère les termes quadratiques

dans le cas des gaz sur réseaux. Ce facteur reflète la non-invariance Galiléenne

des modèles de gaz sur réseau et est dû à la vitesse maximale finie des particules

ainsi qu’au caractère Booléen des occupations microscopiques : en effet, lorsque

d = 1/2, l’échange des particules et des trous ne modifie pas Ni, mais trans­

forme

U

en

—U,

ce qui implique que les termes pairs en

u

doivent s’annuler dans

les développements (1.4.28) pour la densité 1/2. Il est intéressant de signaler qu’un

développement du type (1.4.28) reste valable lorsque les règles de collision ne vérifient

pas la contrainte du bilan semi-détaillé (propriété C3 de la section 2.c), mais avec une

fonction G{p) qui dépend alors du détail des règles de collision [Dubrulle 1989 A, B].

5. Les équations hydrodynamiques

Ayant obtenu dans la section précédente les solutions d’équilibre uniformes de l’équa­

tion de Liouville, nous allons maintenant supposer que ces équilibres sont légèrement

modifiés par des perturbations de faible amplitude dépendant lentement du temps

et de l’espace. Les équations d’évolution de ces perturbations vont nous perme­

ttre d’établir les équations hydrodynamiques des gaz sur réseaux. Ces équations

sont obtenues à l’aide d’un développement multi-échelle du temps, de l’espace et des

grandeurs d’équilibre du gaz. Lorsque l’ensemble de& vitesses microscopiques est suff­

isamment isotrope, les équations d’évolution macroscopiques peuvent se ramener ex­

actement aux équations de Navier-Stokes habituelles de l’hydrodynamique classique

et à l’équation de diffusion de la concentration de chacune des espèces présentes.

Ces équations macroscopiques sont les mêmes pour tous les modèles de gaz sur

réseaux vérifiant les propriétés énoncées dans la section 2. Le choix des règles de

collision n’affecte que la valeur des coefficients de transports qui apparaissent dans

les équations. Leur forme explicite ne peut être calculée qu’approximativement pour

un modèle donné à l’aide des méthodes présentées dans la section 6.

a. Le formalisme multi-échelle

Nous allons nous intéresser à l’évolution des grandeurs moyennes p(r,t), u(r,t) et

6{r,t) lorsque celles-ci varient sur une échelle spatiale A beaucoup plus grande que

la maille du réseau l. A la limite, nous supposerons l/A = e—*0.Le comportement

global du gaz sur réseau pourra alors être vu comme la superposition de plusieurs

phénomènes se produisant sur des échelles de temps différentes :

• la relaxation vers l’équilibre local qui se produit sur une échelle de temps l/c =

0(1) = 0(<«).

• la propagation des fluctuations de densité qui a lieu sur une échelle de temps

A/c = 0(6-1).

• la diffusion des fluctuations de masse, de quantité de mouvement et de concentra­

tion qui nécessite des temps d’ordre A^/c^ = 0(6“^), les coefficients de transport

étant d’ordre c^.

Nous introduisons donc trois échelles de temps : le temps microscopique t, le temps

propagatif = et et le temps dissipatif t2 = e^t, ainsi que deux échelles spatiales :

l’écheUe microscopique r et l’échelle macroscopique ri = er. Ceci nous permet de

passer des dérivées spatiales et temporelles par rapport aux échelles microscopiques

aux dérivées par rapport aux échelles macroscopiques. Avec la notation dt = ^,

da = et _{VT Cl} dia = _VT\ci—, nous avons

dt = 6Ôtj -I- et da = edia . (5.1)

Si les grandeurs moyennes p,uet 6 varient lentement dans l’espace et le temps, les

populations moyennes locales Ni{r,t) doivent être proches des populations d’équi­

libre uniformes A^®’(p(r,t), u(r,t)), ce qui permet de développer les populations

moyennes en série en fonction de la séparation d’échelles e

Niir,t) = Ni°\r,t) + eNy\r,t) + O(e^)

Xi(r,t) = Xf°\r,t) + eXj^\r,t) + O(e^)

(5.2)

5. Les équations hydrodynamiques ₅₁

avec la relation

xf)(r,0 = ^(r,t)Nf)(r,0 . (5.4)

t)est la population d’équilibre uniforme évaluée pour les grandeurs moyennes

locales p(r,t) et u(r,t) et est une correction due àla présence des gradients

des variables p, u et 0. Donc par définition

= p(r,t)

i

J2ciNj°\r,t) = p{r,t)\i{r,t)

i

= p{r,t)e{r,t) ,

i

et par conséquent

t = 0 t Y;^xl^\r,t) = 0.

i

Nous allons supposer que la vitesse u est peu élevée de manière à pouvoir utiliser

les développements (1.4.28) des distributions d’équilibre à basse vitesse Les

écarts et aux populations d’équilibre uniformes doivent s’annuler lorsque

les grandeurs moyennes sont constantes dans l’espace. Ceci impose qu’au premier

ordre, elles peuvent se mettre sous Informe d’une combinaison linéaire des gradients

de chacune des grandeurs moyennes. Lorsque la vitesse u est faible, les populations

JVi sont invariantes par le groupe Ç des isométries du réseau, ce qui implique grâce

aux propriétés P1-P2 de la section 2.b que les déviations doivent être de la forme

— ^i(-ia^laP (V^t'CiofC,/3-|- Xi^a/3)^la(P‘^/0) >

puisque Vp est un vecteur et Vu un tenseur de rang 2. En remplaçant les tenseurs

CioCip par les Qiap (qui ont la propriété agréable Qiap = 0) et en utilisant les

relations (I.5.8)-(I.5.10), nous trouvons les corrections

= {ipQiaP - XmSap)dlaipUp)

= Xr^apd-ia{pup) ^(5.12)

avec la relation

^mXm — brXr • ^(5.13)

De manière similaire, doit être de la forme

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.14)

Les paramètres ip, Xm et <j> sont a priori des fonctions quelconques de p et 0 et

seront déterminés dans la section 6 en étudiant par différentes techniques la réponse

linéaire des populations aux perturbations*. Pour l’instant, nous ne nous intéressons

qu’à la forme générale des équations macroscopiques.

Les membres de gauche des relations de conservation (I.3.38)-(L3.40) évalués en

(r + c,-,t + 1) sont exprimés en termes des populations évaluées en (r,t) en les

développant en série de Taylor jusqu’au second ordre et en utilisant le formalisme

multi-écheUes pour expliciter les dérivées par rapport aux variables microscopiques

ainsi que les populations en série de puissances de e

iV,(r + a,t + l) = Ni + dtNi + CifsdpNi + ]rdtdtNi + CipdpdtNi + ^CipCi^dpd^Ni

= Ni{r,t)

+ 0(6^) . (5.15)

Après sommation sur i, les termes correspondant aux différentes puissances de e sont

identifiés dans les relations de conservation (I.3.38)-(I.3.40).

Au premier ordre, 0(e), nous obtenons les relations

di, E E = 0

t t

dh E + ^1/3 E CiaCip= 0 (5.17)

% t

dt. E E = 0 >

t t

soit encore, avec les définitions (I.5.5)-(I.5.7),

dupdxp{pup) = (5.19)

dtiipua) + dipUap = 0 (5.20)

dti {pff) + dip{peup) = 0 . (5.21)

Ilûp est le tenseur du flux de moment

_ I P^jP) (rp ,, ,, I — c ,,2^ , /c 99\

— P jy ^ "t” ^ I Îap.y5îi-yîi5 -|- ^2 ^ I 4" tJ\U ) yO.22)

‘Les paramètres ij), Xm et (j> dépendent en réalité également de la vitesse hydrcxlynamique u, ce qui les rend anisotropes lorsque la vitesse est non-nulle [Diemer et al. 1989]. Tous nos développements théoriques étant obtenus pour une vitesse u <C c, nous ne nous intéresserons qu’à la limite des paramètres pour une vitesse nulle, auquel cas ils sont effectivement isotropes.

5. Les équations hydrodynamiques ₅₃

où nous avons utilisé l’expression (1.4.28) des populations d’équilibre à basse vitesse

ainsi que la valeur du second moment des vitesses (1.2.3) et où nous avons

introduit le tenseur de rang quatre des vitesses microscopiques

TafiyS ~ ^ , (^a^ipQi'yS • (5.23)

t

Les équations (I.5.19)-(I.5.20) correspondent aux équations d’Euler de la mécanique

des fluides [Landau et Lifschitz 1981]. Nous voyons cependant qu’apparaissent dans

l’expression du flux de moment (1.5.22) des termes dépendant de et du tenseur

u^us. Ces termes font intervenir le tenseur de rang 4 des vitesses microscopiques

TalSyS dont nous ne pouvons pas donner de forme explicite ni garantir l’isotropie à

partir des hypothèses introduites dans la section 2.b.

Nous examinons maintenant les termes du deuxième ordre O(e^) dans les relations

de conservation (I.3.38)-(I.3.40) développées en c. Après élimination des termes

manifestement nuis par les relations (I.5.8)-(I.5.10), nous obtenons

i i

+dt, d,p E = 0 (5-24)

t t t

i

^1/3 E E

i i

= ^ (5-25)

t t i

+dtAl3 E E + dip E = 0 • (5-26)

t t t

Nous utilisons alors la forme explicite des distributions d’équilibre à basse vitesse

pour en nous limitant dans ce développement aux termes linéaires en u. En

utilisant les résultats (I.5.19)-(I.5.21) pour éliminer les dérivées temporelles par

rapport à t\, nous obtenons

dt^{pUa) + dip ^{ij) + D}

2bmC^

dt^p = 0

\ (? ( b — b

1 Tap~^s - 1 XmOm ~

26^{"* ' SapSyS}

= 0{u^)

dt2 (p^) + dip

<f> +

2bJ D ^-dipO

⁼

0

(5.27)

(5.28)

(5.29)

Les systèmes d’équations (I.5.19)-(I.5.21), (I.5.27)-(I.5.29) ainsi obtenus définis­

sent l’évolution des grandeurs macroscopiques p, pu et pd sur des temps et

0(e~^). Ces systèmes peuvent être combinés en un seul groupe d’équations en uti­

lisant la définition des dérivées macroscopiques (1.5.1). Les équations résultantes

décrivent l’hydrodynamique sur réseau. L’équation d’évolution de p (1.5.19) est

l’équation de continuité habituelle ; l’équation d’évolution de pO ((1.5.21) et (1.5.29))

est une équation de transport et diffusion ordinaire ; mais l’équation du moment

contient des termes inhabituels faisant intervenir le tenseur de rang 4 des vitesses

microscopiques. Les propriétés de ce tenseur dépendent des symétries de l’ensemble

des vitesses c,- et donc du réseau sous-jacent ; il est donc nécessaire d’analyser ces

propriétés pour les différents réseaux introduits dans la section 1.

b. L’isotropie macroscopique

Le tenseur défini par (1.5.23) et (1.4.30) dépend de l’ensemble des vitesses

microscopiques possibles sur le réseau. Les propriétés imposées à l’ensemble des

vitesses dans la section 2.b garantissent l’isotropie des tenseurs de rang 2 invariants

par les symétries du réseau, mais ne sont pas suffisantes pour assurer l’isotropie des

tenseurs de rang 4 comme Tap^s- H est ainsi facile de vérifier que ce tenseur n^est pas

isotrope dans le cas du modèle HPP. Ceci implique que le modèle HPP—qui con­

stitue la réalisation la plus simple d’un ga.z sur réseau—ne peut pas être utilisé pour

simuler des écoulements hydrodynamiques puisque l’évolution obtenue dépendrait

de l’orientation de l’écoulement par rapport aux axes du réseau microscopique*.

Existe-t-il des réseaux autres que le réseau carré qui soient susceptibles de générer

un tenseur Tap^s isotrope ?

Les propriétés connues de T^pys à partir de sa définition sont son invariance par le

groupe Ç des isométries du réseau (puisqu’il ne dépend que des c,) et sa symétrie vis-

à-vis des paires d’indices (a,/3) et (7,^). Un tenseur de rang 4 isotrope et symétrique

par paire est obligatoirement de la forme

T

qi

P^S — Vl^aP^'yS "b ^2{,^Q'y^pS 4" ^aS^p'i)

î

(5.30)

c’est-à-dire qu’il s’exprime en termes de deux paramètres seulement. H est possible

de vérifier explicitement que les tenseurs Tapys définis par (1.5.23) sont isotropes dans

le cas du modèle FHP et du modèle FCHC, c’est-à-dire satisfont la relation (1.5.30)

[cf. Frisch et al. 1987]. A partir de la théorie des groupes ou d’un résultat de cristal­

lographie, on peut aussi montrer que tout tenseur de rang 4 symétrique par paires

d’indices et invariant par action du groupe hexagonal (ou, ce qui est plus surprenant,

seulement par action du groupe triangulaire) est isotrope à deux dimensions [Wol­

fram 1986]. Les tenseurs TapyS qui apparaissent sur réseau carré (ou, à trois di­

mensions, sur réseau cubique) ne satisfont pas la relation (1.5.30) car ils possèdent

*11 faut cependant noter que le modèle HPP peut être utilisé pour simuler des phénomènes mi­ croscopiques lorsque la vitesse macroscopique u est uniformément nulle. En effet, dans ce cas, tous les termes anisotropes disparaissent des équations d’évolution et la seule équation non-triviale qui subsiste est l’équation de diffusion (1.5.29), ce qui indique l’adéquation du modèle HPP pour étudier des systèmes de réaction-diffusion simples [Dab et Boon 1989].

5. Les équations hydrodynamiques ₅₅

trois composantes indépendantes (T^m, T^yy et Txyxy)~ H est important de noter

qu’il n’est possible d’obtenir un comportement isotrope pour un gaz sur réseau que

dans la limites des faibles vitesses hydrodynamiques u. En effet, l’inclusion de ter­

mes supplémentaires dans le développement des distributions d’équilibre à basse

vitesse (1.4.28) ferait apparaître dans les équations macroscopiques des tenseurs de

rang supérieur à 4 qui ne sont isotropes ni sur le réseau FHP, ni sur le réseau

FCHC. H est donc heureux que l’identification avec les équations de Navier-Stokes

ne requière que la considération des termes au plus quadratiques en la vitesse u.

c. Les équations de Navier-Stokes

Les contraintes sur les tenseurs de rang 4 isotropes (1.5.30) combinées aux défini­

tions (1.5.23) et (1.4.30) et à la relation (1.2.3) permettent de calculer les coefficients

<p\ et pour les modèles FHP et FCHC ; le tenseur Tap~^s s’écrit alors

Tafi-,6 = 2) + ^aS^lh - . (5.31)

Nous introduisons ce résultat dans les systèmes (I.5.19)-(I.5.21) et (I.5.27)-(I.5.29).

Enfin, nous opérons une contraction des équations à l’ordre e et en utilisant les

relations (1.5.1) pour obtenir à la limite continue les équations d’évolution macro­

scopiques

dtp + dp{pup) = 0

dt(pua) + dp [pg{p)uaup) = -daP{p,u) -h dp {i/dp{pua))

+da + c) dpipup)^

+0{eu^) -h 0(e^u2) -H O(e^u)

dt{p0) + dp{p9up) = dp{pD,dp6)

(5.32)

(5.33)

(5.34)

avec

9{p) =

D b l-2d

D + 2b^ 1-d

P{p,u) = pc]

_{1 -} ^{. u} _{1 + 77 -}

^D

2 2c2 br

D b

(5.35)

(5.36)

(5.37)

et où les coefficients i/, ( et dépendant des grandeurs p et 6 par l’intermédiaire

des règles de collision, sont donnés par

C(p,^) = ^ÿ-Xm(/>,^)

(5.38)

Ds{p,e) = -^{bmC^}_J, (5.40)

Ces équations présentent une ressemblance frappante avec les équations habituelles

de l’hydrodynamique et généralisent un résultat connu [Frisch et al. 1987] au cas

d’un système multi-constituant. Les équations d’évolution de la densité (1.5.32) et

de la concentration (1.5.34) correspondent respectivement à l’équation de continuité

et à l’équation de diffusion de l’hydrodynamique classique. L’équation d’évolution du

moment (1.5.33) présente une structure similaire à l’équation de Navier-Stokes, mais

diffère de celle-ci par la forme de certains termes, dont nous examinons à présent les

effets.

La grandeur P{p,u) peut être interprétée comme la pression hydrostatique par

identification avec le terme —VP dans l’équation de Navier-Stokes, mais contient un

terme supplémentaire qui présente une dépendance anormale vis-à-vis de la vitesse.

Cet effet n’est cependant sensible que lorsque la vitesse hydrodynamique se rap­

proche de la vitesse microscopique des particules et n’est décelable que dans certains

cas particuliers [Hayot 1987 B, Kadanoff et al. 1987]. Lorsque la vitesse est faible

{u < c),

P = pc]; (5.41)

ce résultat correspond à la forme habituelle de l’équation de compressibilité du gaz

parfait,

- (^) = A (5-42)

P \dPJu=o pci

où Cj est la vitesse du son. Les coefficients i/, ^ et P, apparaissent respectivement

comme la viscosité de cisaillement, la viscosité de volume et le coefficient de diffusion

du modèle de gaz sur réseau. Notons que chacun de ces coefficients de transport est

composé de deux parties. Le premier terme dépend des règles de collision et est pro­

portionnel à un coefficient phénoménologique provenant d’une relation constitutive

entre un flux de particules et le gradient correspondant (voir les relations (1.5.12)

et (1.5.14)). Ce terme correspond à la dissipation des inhomogénéités par les col­

lisions. Le second terme est indépendant des règles de collision et représente une

contribution négative au coefficient de transport*. La présence de ce second terme

est liée à la nature discrète du temps et de l’espace dans les modèles de gaz sur

les collisions ne se produisent qu’après un temps de propagation et à une

reseau

distance égale à un lien de réseau, ce qm tend à amplifier les inhomogénéités du

système et donc à abaisser la valeur du coefficient dissipatif.

Dans la limite de l’hydrodynamique linéaire, c’est-à-dire si nous considérons des

perturbations de masse et de vitesse de la forme^

P= Po + p' , p' = o{e)

*11 est possible de montrer par différentes méthodes [Frisch et al. 1987, Hénon 1987] que le co­ efficient de transport total est toujours positif. En particulier, dans le formalisme de Green-Kubo (voir ci-après la section 6.e), la partie propagative d’un coefficient de transport apparaît comme la moitié de la valeur à l’origine de la fonction d’autocorrélation du flux correspondant.

0-5. Les équations hydrodynamiques 57

U = o(6)

9 = 00 +0' , 0' = o(() , (5.43)

nous pouvons réduire le système (I.5.32)-(I.5.34) aux équations suivantes (en ne

considérant que les termes dominants lorsque t tend vers zéro)

àtp' + poV • U = 0 (5.44)

PodfU + c]Vp' = po (5.45)

dt0' = DsV^0' (5.46)

où les coefficients i/, C et D, sont évalués à la densité po et à la concentration 0

q

.

Un tel régime correspond à la propagation et l’amortissement des perturbations de

densité et de vitesse sous forme d’ondes sonores ; ces fluctuations d’amplitude o(c)

et d’extension spatiale 0{e~^) se propagent à la vitesse c, et sont amorties sur des

temps d’ordre e“^. De même, les perturbations de concentration sur des échelles

obéissent à une équation de diffusion classique et se dissipent sur des temps d’ordre

Dans cette limite, les gaz sur réseaux se comportent donc exactement comme

des fluides ordinaires.

L’équation (1.5.33) diffère de l’équation de Navier-Stokes par la présence des ter­

mes d’ordre supérieur en u et t, par la dépendance de la pression vis-à-vis de la

vitesse et par le facteur g{p) multipliant le terme d’advection u-Vu. Le facteur g{p)

est la manifestation macroscopique de la non-invariance Galiléenne au niveau micro­

scopique due au réseau et à la vitesse finie des particules. H est cependant possible

de l’éliminer par changement d’échelle de temps dans la limite du fluide incompres­

sible. Cette limite correspond à une valeur petite du nombre de Mach A4 = u/c,,

c’est-à-dire que la vitesse hydrodynamique u est suffisamment faible vis-à-vis de la

vitesse du son c, ; ceci permet d’imposer la condition

^ = dtp+u-Vp = 0 (5.47)

qui signifie que la densité du fluide reste constante au cours de son déplacement ;

les variations de densité sont alors négligées dans tous les termes autres que le

terme de pression dans les équations (I.5.32)-(I.5.33) [Batchelor 1967]. Nous avons

obtenu ces équations dans la limite u •< c de manière à pouvoir utiliser la forme

explicite des populations d’équilibre à basse vitesse (1.4.28) et à pouvoir expliciter les

perturbations en utilisant l’invariance par rapport au groupe Q. Nous imposons

donc que la vitesse u soit d’ordre 0(e) et nous remplaçons la densité p par la densité

constante po sauf dans le terme de pression où nous gardons les fluctuations p'. Nous

nous plaçons sur une échelle de temps 0(e~^) (ce qui inclut les effets dissipatifs) et

nous remettons à l’écheUe le temps et la viscosité par le facteur g(po)- En introduisant

les variables

r = € ^Ti, i = e ^ ^i'

g(poV ^{u = tu ,}

nous voyons que tous les termes sont O(e^) dans l’équation (1.5.32) et O(e^) dans

l’équation (1.5.33), les termes supplémentaires étant d’ordre 0(e‘*). Il s’en suit qu’à

l’ordre des termes dominants (lorsque e —>■ 0), nous avons

Vi • u' = 0 - (5.49)

dt>u' + u' • Viu' = -ViP' + i/'Vfu' , (5.50)

où Vi représente le gradient par rapport à la coordonnée spatiale ri. Les équa­

tions (1.5.49) et (1.5.50) sont exactement les équations de Navier-Stokes du fluide

incompressible. Elles ont été obtenues dans la limite des temps longs et des grandes

échelles spatiales, ce qui a pour effet de faire disparaître l’influence du réseau. Elles

impliquent de plus que la vitesse hydrodynamique soit faible vis-à-vis de la vitesse

du son {u/cg « l/A). La mise à l’échelle (1.5.48) requiert que la densité moyenne par

lien d = po/b soit inférieure à 1/2 sous peine de devoir renverser le sens du temps et

le signe de la viscosité (cf. (1.5.35)).

Nous n’avons pas inclus dans les équations de Navier-Stokes (I.5.49)-(I.5.50)

l’équation pour la concentration 0 car il n’est pas possible d’obtenir un système

possédant l’invariance Galiléenne à la fois pour p, pu et p0. En effet, si nous con­

sidérons le système (I.5.32)-(I.5.34), nous voyons que les équations pour p et p6

sont invariantes par une transformation de Galilée, c’est-à-dire que ces deux gran­

deurs sont advectées avec la vitesse u. Par contre, l’équation (1.5.33) montre que le

moment est advecté à la vitesse p(p)u qui est en général différente de u. La limite

incompressible rend la densité uniforme et indépendante du temps, ce qui permet de

remettre le temps à l’échelle et de faire disparaître le facteur g{p) dans l’équation du

moment. Dans le czis d’un système comprenant plusieurs espèces, le moment et la

concentration sont advectés à des vitesses différentes et il n’est pas possible d’obtenir

un système satisfaisant à l’invariance Galiléenne à la fois pour u et pour 0. La seide

solution dans ce cas est d’ajuster p(p) à la valeur 1 en contrôlant les paramètres du

modèle.

Si b = bm, c’est-à-dire si le modèle ne comporte pas de particules immobiles, il est

évident à partir de la définition (1.5.35) que p(p) < 1 quelle que soit la densité (et

quelle que soit la dimension de l’espace). Il apparaît donc qu’une approche possible

pour obtenir g{p) = 1 à une densité d particulière est d’augmenter le nombre br de

particules immobiles permises par le modèle. Par exemple, dans le cas d’un modèle

FHP bidimensionnel pour lequel bm = 6, il est nécessaire d’introduire br = 18 par­

ticules au repos afin d’obtenir g{p) = 1 pour une densité p = 8 (correspondant à

une densité par lien d = 1/3). Une telle méthode a été utilisée par Gunstensen

et Rothman pour simuler des écoulements à plusieurs constituants [Gunstensen

1988], mais présente l’inconvénient d’exiger un grand nombre de bits pour coder

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