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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Noullez, A. (1990). Automates de gaz sur réseaux. Aspects théoriques et simulations (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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X)

Université Libre de Bruxelles^

Faculté des Sciences Service de Chimie Physique

AUTOMATES DE GAZ SUR RESEAUX

Aspects théoriques et simulations

Thèse présentée en vue de l'obtention du grade légal de Docteur en Sciences Physiques

Alain Noullez

Novembre 1990

On construit une application unidimensionnelle et la dynamique symbolique de l’attracteur chaotique d’un modèle à trois varia­

bles, au voisinage d’orbites hétéroclines associées à des foyers- cols de Shil’nikov en configuration symétrique.

Alain Noullez.

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

FACULTE DES SCIENCES

L’épreuve publique pour l’obtention du grade légal de Docteur en Sciences de Monsieur NOULLEZ, Alain, Licencié en Sciences, pour le groupe des sciences physiques, aura lieu le :

MARDI 13 NOVEMBRE 1990 A 17 HEURES en la Salle Solvay, Bâtiment N/0, Niveau 5, Campus Plaine, Boulevard du Triomphe à 1050 - Bruxelles.

Monsieur NOULLEZ présentera et défendra publiquement une dissertation originale intitulée :

"Automates de gaz sur réseaux.

Aspects théoriques et simulations”;■

et une thèse annexe intitulée :

"On construit une application unidimensionnelle et la dynamique symbolique de l’attracteur chaotique d’un modèle à trois varia­

bles, au voisinage d’orbites hétéroclines associées à des foyers-

cols de Shil’niKov en configuration symétrique".

Université Libre de Bruxelles Faculté des Sciences Service de Chimie Physique

AUTOMATES DE GAZ SUR RESEAUX

Aspects théoriques et simulations

Thèse présentée en vue de l'obtention du grade légal de Docteur en Sciences Physiques

Alain Noullez

Novembre 1990

Quoi qu’on puisse dire, une thèse n’est jamais un travail complètement personnel et résulte des interactions (positives et négatives) entre un grand nombre de personnes et l’auteur. Je tiens ici à exprimer ma reconnaissance envers les personnes qui ont le plus influencé ce travail.

Jean-Pierre Boon m’a guidé au travers de tous les tours, détours et méandres qui ont jalonné ce travail. Il est impossible d’exprimer en quelques lignes à quel point les années passées dans son groupe ont été enrichissantes, non seulement du point de vue scientifique, mais également sur le plan humain. Je ne peux que le remercier chaleureusement et c’est fort peu pour ce que je lui dois.

Je remercie les professeurs Hya Prigogine et Grégoire Nicolis pour leur accueil au sein d’un service dynamique et foisonnant d’activités. Le professeur Nicolis a toujours témoigné d’un grand intérêt pour ce travail et n’a jamais hésité à me venir en aide pour le mener à bien. Qu’il sache combien je lui en suis reconnaissant.

J’ai été formé aux techniques de simulation des gaz sur réseau par Dominique d’Humières et Pierre Lallemand. Au cours de mes séjours àl’E.N.S., ils m’ont appris toutes les bases de ces systèmes ainsi que les méthodes de calcul qu’ils avaient eux-mêmes développées. Dominique d’Humières m’a aimablement communiqué sa bibliographie sur les gaz sur réseau qui a servi de modèle pour celle présentée dans ce travail. Cette thèse leur doit beaucoup et je les en remercie vivement.

J’ai pu bénéficier à de nombreuses reprises des connaissances de Jean-Pierre Rivet, Uriel Frisch et Michel Hénon, à la fois dans le domaine des gaz sur réseau et pour d’autres questions plus générales. Les discussions que j’ai eues avec eux ont tou­

jours été constructives et du plus grand intérêt. Je leur en suis particulièrement reconnaissant.

Gérard Vichniac, Tom Toffoli et Norm Margolus m’ont accueilli dans leur groupe du M.I.T. et m’ont appris à utiliser leur machine câblée d’automates cellulaires, CAM-6. Ce séjour m’a permis de me rendre compte des possibilités de ces systèmes, mais également m’a permis de rencontrer d’autres chercheurs dans ce domaine, comme Dan Rothman et Gianluigi Zanetti. A tous, un grand merci pour leurs conseils !

J’ai été impressionné par la méthode et la ténacité avec lesquelles Peter Rem et

John Somers démontent les problèmes les plus ardus et leur apportent des solutions

effectives. Chacune de nos rencontres a été pour moi l’occasion d’apprendre de

nouvelles possibilités et de nouvelles techniques. Je les remercie de me les avoir

transmises.

Les contacts que j’ai eus à Bordeaux avec Françoise Argoul et Alain Arneodo ont été particulièrement enrichissants et ont été l’occasion de découvrir des aspects nouveaux de la chimie et de la théorie des systèmes non-linéaires. Je les remercie de leur accueil et de leur amitié.

Comment remercier tous mes amis qui, dans le' service de Chimie Physique ou à l’extérieur, m’ont apporté leur soutien et m’ont permis de venir à bout de cette thèse en m’empêchant de devenir un “chercheur monomaniaque” ? Bernard, David et Michelle, Dimitri, Doris, Miguel et Pascal ont toujours été là pour dissiper tous les problèmes grâce à leur amitié. C’est plus qu’un merci que j’adresse à mes amis du bâtiment, Alain, Anne, Brigitte, Christoph, David, Donal, Florence, Geneviève, Giorgio, Jacques-Alexandre, Malek, Marco, Nicolas, Patrick, Sophia, Tassos, Tomi- nori, Xu, pour leurs encouragements et leur aide. Je remercie également tous les membres des services de Chimie Physique pour le climat amical et chaleureux qui règne dans “l’école de Bruxelles”. Claire, Irène, Mireille, Nadia, Nadine, Pierrot et Sonia m’ont permis de venir à bout de tous les problèmes administratifs et tech­

niques qui se présentaient. Les discussions que j’ai eues avec Christian van den Broeck, Michel Mareschal et Pierre Hubaut ont toujours été l’occasion de découvrir de nouvelles techniques et de nouveaux problèmes. Grâce à Alain et Pierre, cette thèse a pris plus longtemps que prévu, mais j’ai pu explorer d’autres domaines de recherches et partager leur amitié.

L’aspect de cette thèse est dû en grande part au programme et aux définitions de format que j’ai reçues de GeoflF Searby et Christoph Schiller. Toutes les erreurs qui y apparaîtraient sont cependant les miennes.

Durant ce travail, j’ai pu bénéficier pendant trois ans d’une bourse de l’Institut pour l’encouragement de la Recherche Scientifique dans l’Industrie et l’Agriculture.

Pendant deux ans, j’ai été rémunéré grâce à des fonds des Pôles d’Attraction In­

teruniversitaires entre l’Université Libre de Bruxelles et le Limburgs Universitair Centrum.

Finalement, je remercie mes parents et ma famille qui ont dû me supporter et me

soutenir pendant ces années et surtout pendant ces derniers mois.

Symboles et notations i

Introduction 3

I Théorie cinétique des gaz sur réseaux 9

1. Les Modèles de Gaz sur Réseaux... 9

a. Le modèle “HPP”... ii

b. Le modèle “FHP”... 15

c. Le modèle “FCHC”... 20

d. Les modèles “colorés”... 24

2. Propriétés générales des modèles... 29

a. Le réseau ... 30

b. Les particules et leurs vitesses... 30

c. Les règles d’évolution... 33

3. La dynamique microscopique... 35

a. Les équations Booléennes... 35

b. L’équation de Liouville... 39

c. Les grandeurs moyennes... 40

d. L’équation de Boltzmann... 41

4. Les distributions d’équilibre... 43

a. Les solutions d’équilibre uniformes de l’équation de Liouville ... 43

b. Les populations d’équilibre à faible vitesse... 48

5. Les équations hydrodynamiques... 49

a. Le formalisme multi-échelle... 50

b. L’isotropie macroscopique... 54

c. Les équations de Navier-Stokes ... 55

6. Les coefficients de transport... 60

a. Le coefficient de Reynolds ... 60

b. Le formalisme de Boltzmann... 62

c. La méthode de Hénon... 71

d. L’hydrodynamique fluctuante... 74

e. Le formalisme de Green-Kubo... 75

II Techniques de simulation 87

1. Représentation du gaz... 90

2. Calculs d’évolution... 97

a. Réalisation des collisions... 97

b. L’étape de propagation...-... 103

3. Introduction d’obstacles... 108

4. Initialisation du réseau... 112

5. Conditions de bord... 113

6. Réalisation des mesures...116

7. Les machines spécialisées ... 120

III Expériences numériques 129 1. Le comportement hydrodynamique ... 131

a. La soufflerie numérique... 131

b. Ecoulement dans un élargissement brusque...137

c. Formation des couches limite... 139

2. Les phénomènes diffusifs...150

a. Mélange de deux espèces...151

b. Simulations hydrodynamiques à deux espèces...154

c. Marche aléatoire sur réseau... 155

d. Fonction d’autocorrélation des vitesses... 161

e. Les corrélations aux temps longs ... 165

3. L’instabilité de pénétration visqueuse... 174

a. Mécanismes d’instabilités en digitation visqueuse...175

b. Pénétration visqueuse dans les gaz sur réseau... 180

c. Simulation de l’instabilité...182

Perspectives 186

A Calcul itératif des populations d’équilibre 188

B Règles de collision Booléennes 192

C Génération des obstacles 195

D Génération de nombres aléatoires 199

E Transformée de Fourier et fonctions d'autocorrélation 207

Bibliographie 215

bmS

Ci,C

Cs d D Ds A.(iV)

9{p) l M ni,Xi,yi Ni,Xi,Yi P{T,t)

Re Kr,0 e{r,t)

T

u{r,t)

Nombre de vitesses non-nulles, nombre maximum de particules au repos, nombre total de vitesses possibles et nombres de bits par nœud

Vitesse dans la direction i et module des vitesses non-nulles Vitesse du son

Densité moyenne par lien Dimension de l’espace Coefficient de diffusion

Fonction de collision de la direction i évaluée pour l’ensemble des vari­

ables Ni

Facteur de séparation des échelles hydrodynamiques

Viscosité de cisaillement, viscosité cinématique et viscosité de volume Facteur pondérant les termes non-hnéaires de l’équation macroscopique d’évolution du moment

Longueur de la maille élémentaire du réseau Nombre de Mach

Occupation Booléenne totale, pour l’espèce X et pour l’espèce Y d’un lien dans la direction i

Occupation moyenne totale, pour l’espèce X et pour l’espèce Y d’un lien dans la direction i

Pression locale du ga,z

Fonction d’autocorrélation des vitesses et spectre de puissance des vitesses Nombre de Reynolds

Champ de densité moyenne par nœud

Champ de concentration moyenne par nœud de l’espèce X Temps de propagation des particules entre les nœuds Champ de vitesse moyenne par nœud

(x)

[xJ

X

A,V,0

Moyenne d’ensemble de la variable x effectuée sur l’espax:e des phases du système

Plus petit entier supérieur ou égal à x Plus grand entier inférieur ou égal à x Négation logique de x

ET-logique, OU-inclusif et OU-exclusif

I

L

nous observons le comportement d’un milieu continu, nous n’avons accès qu’à des propriétés macroscopiques qui résultent de la réponse globale du très grand nombre de molécules présentes au sein du système considéré. Il est logique d’établir un lien entre le comportement macroscopique et les lois microsco­

piques d’interactions et de déplacement des molécules. La conclusion à première vue étonnante à laquelle on arrive rapidement est que ce comportement dépend fort peu du détail des propriétés microscopiques du milieu concerné. Les molécules d’eau et d’argon sont dissemblables et interagissent de manière différente ; pourtant, aussi bien l’eau que l’argon se comportent à grande échelle comme des fluides qui obéissent à des lois simples décrivant la mécanique des milieux continus. De plus, les réponses de ces deux duides à une contrainte mécanique peuvent être reliées entre elles par une loi de similitude bien définie. Des matériaux solides se comporteront également de manière similaire si les forces extérieures sont beaucoup plus grandes que les forces élastiques dues au potentiel d’interaction entre les molécules du solide.

L’origine de cette similitude de comportement doit être vue dans le nombre énorme de molécules qui sont présentes dans un petit élément de Suide: On pourrait s’attendre à ce que les interactions et les collisions au sein d’un si large ensemble induisent des propriétés macroscopiques extrêmement compliquées ; en fait, les lois statistiques des grands nombres sont d’application et l’on obtient des comportements macroscopiques régis par des règles simples et reproductibles. Il ne faut cependant pas perdre de vue que ces règles ne définissent que le comportement moyen à grande échelle et que des fluctuations (qui apparaissent alors comme du bruit ou comme une variance par rapport à la moyenne) sont toujours présentes.

La Physique Statistique a pour but d’établir les lois générales de comportement des systèmes comprenant un grand nombre de particules, ainsi que les limites de va­

lidité de ces lois ; ces limites peuvent être aussi bien dues à des effets externes (par exemple, un champ imposé) qu’à des caractéristiques intrinsèques du système (par exemple, la forme particulière des molécules). Nous considérerons que les contraintes extérieures ont lieu sur des échelles de temps et d’espace très grandes par rapport aux échelles moléculaires. On peut dès lors faire l’hypothèse d’un état d ’équilibre thermo­

dynamique local, qui ne dépend que des grandeurs physiques conservées au cours des

collisions, toutes les autres variables ayant atteint leur valeur d’équilibre. L’évolution

spatiale et temporelle des grandeurs locales d’équilibre peut alors être déterminée à

partir des relations de conservation qu ’elles doivent satisfaire. La présence d’un grand

nombre de variables indépendantes au niveau microscopique se manifeste cependant par la non-linéarité des équations obtenues. Cette non-linéarité est liée à la création de corrélations entre les molécules du milieu qui peuvent induire un comportement collectif qui se manifeste à l’échelle macroscopique.

Les équations de Navier-Stokes, qui sont les équations de conservation macrosco­

piques au sein d’un milieu continu, sont donc des équations non-linéaires et de ce fait ne peuvent pas être résolues analytiquement en toute généralité. Or, la prévision du comportement d’un milieu fluide sous des conditions diverses est un problème dont les intérêts scientifiques et technologiques sont considérables. Plusieurs schémas d’approximation ont été introduits pour permettre le calcul numérique de la dy­

namique des Suides. Ces schémas sont toujours basés sur une discrétisation des champs continus macroscopiques dans une base de fonctions bien choisies : ainsi les méthodes de différences finies utilisent des fonctions rectangulaires locales, les méthodes d’éléments finis s’appuient sur une interpolation polynomiale des champs, et les méthodes spectrales projettent les différentes grandeurs sur des fonctions périodiques. Toutes ces méthodes ont des champs d’applications définis où elles sont efficaces, mais elles sont complexes à mettre en œuvre et coûteuses en temps de calcul dans le cas de géométries arbitraires. D’autre part, elles se situent à un niveau complètement macroscopique et ignorent la nature moléculaire du flu­

ide. Ces techniques sont donc inadéquates pour explorer les limites de validité de l’hydrodynamique et son émergence à partir de la dynamique microscopique.

Une méthode plus “fondamentaliste” est celle de la dynamique moléculaire où l’on vise à obtenir le comportement global du milieu en suivant les mouvements d’un grand ensemble de molécules. Cette approche des milieux continus est partic­

ulièrement intéressante puisqu’il est possible de définir très précisément les poten­

tiels d’interaction et de mesurer par simulation les propriétés thermodynamiques du milieu (c’est-à-dire l’équation d’état) et les coefficients de transport. De ce point de vue, la dynamique moléculaire a permis des progrès très importants dans la compréhension des liens entre les caractéristiques microscopiques et les grandeurs macroscopiques ; en particulier, le rôle important des fluctuations microscopiques a pu être observé et quantifié. Evidemment, le nombre de molécules simulées sera toujours beaucoup plus petit que le nombre d’Avogadro et les simulations ne pour­

ront être réalisées que pour un petit nombre de configurations initiales compatibles avec les champs continus macroscopiques. Il importe donc de prendre en compte les erreurs d’estimation liées au nombre fini de particules, qui vont s’ajouter aux erreurs numériques liées à la discrétisation du temps nécessaire pour intégrer les équations du mouvement. La difficulté principale limitant les simulations de dy­

namique moléculaire est le temps de calcul nécessaire pour réaliser des simulations à l’échelle hydrodynamique. En effet, le pas de temps de calcul est déterminé par le rapport entre la portée du potentiel d’interaction et la vitesse moyenne des par­

ticules ; ce pas de temps doit aussi être petit par rapport au temps moyen entre

5

collisions. D’autre part, il est nécessaire d’intégrer le système sur des temps hydro­

dynamiques, qui sont beaucoup plus longs que les temps d’interaction, et sur des échelles spatiales beaucoup plus grandes que le libre parcours moyen ou la portée du potentiel d’interaction. Par conséquent, les méthodes de dynamique moléculaire sont le plus souvent limitées à des systèmes de petite taille ne comprenant qu’un nombre limité de particules. Une méthode récente pour réduire le temps de calcul consiste

réaliser de manière probabiliste les collisions au sein de volumes dont la dimension est de l’ordre du libre parcours moyen. Cette méthode, due à Bird, est basée sur une simulation stochastique de l’équation de Boltzmann et elle est donc en principe limitée aux gaz raréfiés. Elle a néanmoins été utilisée avec succès dans un grand nombre de domaines, notamment sous des conditions d’écoulement hypersonique pour lesquelles les équations de l’hydrodynamique ne sont plus valables.

Devant les difficultés que posent la simulation directe des équations hydrodyna­

miques ou la dynamique moléculaire, s’appuyant d’autre part sur l’idée que le détail des interactions microscopiques influence peu le comportement macroscopique, pourquoi ne pas envisager de simplifier la dynamique microscopique de manière à ce que les calculs d’évolution puissent être effectués beaucoup plus aisément et plus rapidement ? Comme nous l’avons déjà signalé, la Mécanique Statistique établit que la forme exacte du potentiel d’interaction n’agit pas directement sur la forme des équations macroscopiques*, mais uniquement sur la valeur des coefficients de transport. Cette idée a été exploitée en dynamique moléculaire : les gaz de sphères dures, dont le potentiel d’interaction se réduit à un cœur répulsif, présentent un comportement macroscopique équivalent

celui d’un fiuide “réaliste”.

Il est possible de simplifier davantage la dynamique en envisageant un monde mi­

croscopique fictif, n’ayant plus de correspondance directe avec les gaz réels. Cette idée de “monde similaire” n ’est pas nouvelle et a été utilisée avec succès dans le do­

maine du calcul analogique. Une masse fixée à l’extrémité d’un ressort présente peu de ressemblance avec un condensateur et une inductance ; or, il existe une analogie entre les grandeurs qui caractérisent l’évolution temporelle de ces deux systèmes et le comportement de l’un des deux s’obtient immédiatement (par une relation de simil­

itude) à partir de celui de l’autre. Nous utiiiserons en général le circuit électronique pour prédire les mouvements du système mécanique car l’évolution de ce dernier se fait sur des échelles de temps beaucoup plus longues que celles régissant son analogue électrique. Nous allons donc construire un milieu analogue

un gaz réel, mais dont l’évolution soit particulièrement rapide sur les outils de calcul dont nous disposons,

à

savoir des ordinateurs travaillant en logique binaire.

Le premier modèle de gaz complètement discret a été introduit par Hardy, de Pazzis et Pomeau en 1973. D’autres modèles de gaz où seule la vitesse appartenait

un ensemble discret avaient été introduits auparavant par Broadwell, Harris, Gatig- nol et d’autres, mais ne présentaient pas encore une simplification maximale. Les

‘Nous ne considérons ici que le cas des systèmes classiques sans degrés de liberté internes.

particules du modèle HPP sont ponctuelles et se déplacent le long des liens d’un réseau carré à deux dimensions avec des vitesses telles qu’elles parcourent toutes un lien du réseau en une unité de temps fixée. De plus, toutes les particules sont synchronisées de telle sorte qu’elles se présentent simultanément sur l’ensemble des nœuds du réseau et qu’elles ne peuvent collisionnef qu’en ces points. Nous pouvons donc restreindre notre attention aux instants où les particules se trouvent sur les nœuds puisque leur déplacement est trivial entre ces points. Nous imposons de plus un principe d’exclusion interdisant à plus d’une particule de se trouver sur le même lien d’un même nœud, ce qui permet de n’avoir qu’un nombre fini de configurations de collisions possibles. Celles-ci peuvent alors être énumérées et construites pour conserver la masse, l’impulsion, l’énergie et préserver le principe d’exclusion. Le principe d’exclusion a également l’avantage de permettre la représentation du gaz sur réseau par un automate cellulaire, puisque les occupations des liens sont alors des grandeurs Booléennes. Un ordinateur peut donc reproduire les règles d’évolution du gaz sur réseau en exécutant une succession d’opérations logiques qui lui feront suivre exactement la dynamique du système, sans aucune erreur numérique. Du point de vue du calcul analogique, un ordinateur ne simule pas un gaz sur réseau, mais est un gaz sur réseau puisque le comportement des bits en mémoire est alors exactement celui des particules sur le réseau.

Les gaz sur réseau obéissent aux lois de conservations habituelles de la physique, mais ne possèdent pas le groupe de symétrie continu du monde réel ; ils ne sont invariants que sous l’action d’un groupe cristallographique discret. Il est apparu rapidement que le groupe du réseau carré du modèle HPP était insuffisant pour assurer l’isotropie du fluide macroscopique. Cette anomalie a été corrigée en 1985 par Frisch, Hasslacher et Pomeau qui ont introduit un modèle de gaz sur réseau triangulaire à deux dimensions : celui-ci se comporte exactement comme un fluide incompressible et obéit aux équations de Navier-Stokes, du moins dans certaines limites. Ce modèle a donné lieu à une activité scientifique intense, visant autant à utiliser le modèle comme une méthode de calcul numérique de l’hydrodynamique que comme un outil d’exploration des bases de la Mécanique Statistique. Ont ensuite été développés des modèles à trois dimensions et à plusieurs espèces de particules.

Notre exposé est organisé en trois parties principales : le premier chapitre débute par une description générale des différents modèles, suivie d’une étude théorique qui, à partir des propriétés générales des modèles, conduit aux équations hydrodyna­

miques macroscopiques en passant par l’équation de Liouville, l’approximation de

Boltzmann et les distributions d’équilibre. L’ensemble de ces calculs est étendu dans

ce travail au cas des modèles à plusieurs espèces incluant des particules au repos. Le

second chapitre est consacré à la réalisation efficace des calculs d’évolution sur des

machines d’architecture courante. Le troisième chapitre présente les résultats des

expériences numériques en hydrodynamique et en mécanique statistique du modèle

de gaz sur réseau FHP. Quelques techniques particulières de calcul sont présentées

7

en appendice. Les gaz sur réseau sont un domaine de recherches récent et nous avons essayé d’inclure une bibliographie complète sur le sujet.

Nous commençons par un exposé des modèles bidimensionnels originaux HPP et FHP, suivis du modèle tridimensionnel FCHC et de la généralisation à plusieurs espèces de tous les modèles de gaz sur réseau. Nous avons construit dans ce tra­

vail deux variantes du modèle FHP initial, qui présentent respectivement la vis­

cosité minimale et la viscosité maximale pour des modèles à sept vitesses. Nous avons également développé un modèle à deux espèces à diffusion limitée qui permet d’obtenir une valeur réduite du coefficient de diffusion. Nous introduisons ensuite l’ensemble des propriétés géométriques et physiques auxquelles doivent satisfaire les modèles de gaz sur réseau. Nous passons ensuite aux équations microdynamiques qui définissent l’évolution à l’échelle de la maille du réseau. Nous présentons d’abord les équations Booléennes décrivant les règles de transition sur les occupations des liens ainsi que les relations de conservation auxquelles elles obéissent. Nous con­

sidérons alors une distribution de probabilité des configurations de l’ensemble des nœuds du réseau, ce qui nous permet de définir des grandeurs moyennes. La relation de conservation de ces probabilités nous fournit l’équation de Liouville du système.

Avec l’hypothèse du chaos moléculaire, nous obtenons une équation de Boltzmann qui est ici une équation aux différences finies pour les populations moyennes par lien. Nous dérivons ensuite les solutions d’équilibre uniforme de l’équation de Liou- ville : ce sont des distributions de Fermi-Dirac dont l’expression est explicite pour les faibles vitesses d’ensemble du gaz. Par un développement multi-échelles, nous arrivons aux équations de conservation macroscopiques : celles-ci se réduisent aux équations de Navier-Stokes et à l’équation de diffusion dans les limites adéquates.

Nous établissons alors le lien entre les règles de collision du modèle et les coeffi­

cients de transport. En particulier, nous développons dans ce travail le calcul du coefficient de diffusion dans l’approximation de Boltzmann et par le formalisme de Green-Kubo.

La description des règles d’évolution des gaz sur réseau dans un language de programmation de haut niveau est très délicate et nécessite une optimisation soignée pour arriver à une adaptation des algorithmes à l’ordinateur concerné. Le deuxième chapitre est entièrement consacré aux différentes techniques qui ont été développées pour accélérer les calculs ainsi qu’aux représentations possibles du réseau en mé­

moire. Nous décrivons également la réalisation des conditions aux bords du réseau,

l’introduction d’obstacles à l’intérieur du domaine de simulation et 1a génération de

l’état initial du réseau ; pour toutes ces extensions des modèles, nous avons développé

des techniques efficaces. Nous présentons ensuite les méthodes de prises de mesure

ainsi qu’une estimation du bruit microscopique sur ces dernières. Nous décrivons

enfin la structure des machines câblées à architecture parallèle qui réalisent les calculs

d’évolution à grande vitesse et qui sont réellement des “calculateurs analogiques de

gaz sur réseau”.

Le troisième chapitre est consacré aux résultats expérimentaux que nous avons obtenus sur des gaz sur réseaux. Nous avons reproduit un grand nombre d’écoule­

ments hydrodynamiques instationnaires pour des valeurs moyennes du nombre de Reynolds afin de vérifier le comportement du gaz au-delà du régime linéaire. Nous avons ensuite procédé à une analyse quantitative de l’écoulement dans un canal à élargissement brusque, ce qui nous a permis de valider les gaz sur réseau comme méthode de simulation numérique de l’hydrodynamique. La formation des couches limite au voisinage d’une paroi a alors été étudiée, à la fois par simulation directe et en utilisant l’équation de Boltzmann sur réseau. Nous nous sommes ensuite tourné vers les systèmes à deux espèces pour lesquels nous avons mesuré le coefficient de diffusion à l’échelle macroscopique en observant le mélange des deux constituants et à l’échelle microscopique en étudiant le déplacement quadratique moyen d’une parti­

cule marquée. Nous nous sommes servis des modèles à deux espèces pour étudier des problèmes hydrodynamiques nécessitant la présence d’un traceur dans l’écoulement.

Nous avons également calculé la fonction d’autocorrélation des vitesses à plusieurs densités et nous l’avons comparée à son expression dans le cadre de l’approximation de Boltzmann. Nous avons ainsi pu mettre en évidence la présence d’une contribution non-exponentielle aux temps longs dans la fonction d’autocorrélation. Enfin, nous nous sommes intéressés à l’instabilité de pénétration visqueuse ; c’est un problème qu’il est pratiquement impossible de simuler par les méthodes hydrodynamiques classiques. En combinant plusieurs techniques que nous avons développées au cours de ce travail, nous avons réalisé la première simulation de ce phénomène dans des gaz sur réseau et nous avons observé l’instabilité dans son régime non-linéaire.

Pour chacun de ces problèmes, les gaz sur réseau sont apparus comme un outil

particulièrement souple et efficace. Nous avons ainsi pu aborder des problèmes

intéressants et complexes en n’utilisant que des moyens de calcul modestes, et

ce pour des situations extrêmenent difficiles—sinon impossibles—à traiter par les

méthodes numériques classiques. Nous espérons par ce travail donner un aperçu

des possibilités—et des limitations—des automates de gaz sur réseau et stimuler

éventuellement l’exploration de nouveaux domaines d’application de ces systèmes.

I THEORIE CINETIQUE DES GAZ SUR RESEAUX

S ’IL est exact que les propriétés globales d’un système physique dépendent très peu du détail des interactions microscopiques au sein de ce système, ces interac­

tions ont cependant des caractéristiques générales liées aux propriétés géométriques de l’espace dans lequel les phénomènes ont lieu ainsi qu’aux lois physiques fonda­

mentales que sont les conservations de la masse, du moment cinétique et de Vénergie.

Les gaz sur réseaux obéissent par construction aux lois de conservation habituelles de la physique. Par contre, la restriction imposée aux particules de ne se déplacer que le long des liens d’un réseau régulier empêche l’invariance de la dynamique par translation ou rotation arbitraires, et ce contrairement aux symétries du monde réel. Il n’apparaît donc pas a priori que le comportement macroscopique des gaz sur réseaux obéira aux équations habituelles d’évolution d’un milieu continu, c’est-à-dire les équations de Navier-Stokes. En effet, le premier modèle de gaz sur réseau proposé par Hardy, de Pazzis et Pomeau [Hardy et Pomeau 1972, Hardy et al. 1973, 1976] a des propriétés dissipatives qui diffèrent de celles de l’hydrodynamique classique. Ce problème a été résolu successivement à deux et trois dimensions respectivement par Frisch, Hasslacher et Pomeau [1986] et par d’Humières, Lallemand et Frisch [1986].

Dans ce chapitre, nous développons la mécanique statistique des gaz sur réseaux en vue d’obtenir les équations dynamiques macroscopiques à partir des règles d’évo­

lution microscopiques de ces systèmes. Notre présentation est basée en grande partie sur l’article général de Frisch, d’Humières, Hasslacher, Lallemand, Pomeau et Rivet [1987] ainsi que sur l’article de d’Humières et Lallemand [1987 A]. Les résultats de ces articles sont étendus ici au cas de modèles incluant des particules immobiles ainsi que des particules marquées. La première extension permet de diminuer la viscosité de ces modèles et donc d’augmenter les valeurs accessibles du nombre de Reynolds, la seconde est nécessaire pour l’étude de systèmes à plusieurs constituants (par exemple, les systèmes réactifs [Clavin et al. 1988]).

1. Les Modèles de Gaz sur Réseaux

L’idée fondamentale des gaz sur réseaux consiste à substituer à la description molé­

culaire une description en termes de pseudo-particules de diamètre nul se déplaçant

selon les liens d’un réseau géométrique avec des vitesses appartenant à un ensemble

discret. L’ensemble des vitesses admises est tel que les particules ne puissent quitter

le réseau et qu’elles soient synchronisées, c’est-à-dire que si toutes les particules

sont initialement sur les nœuds du réseau, il existe un temps donné (le temps de

propagation) au bout duquel toutes les particules seront à nouveau sur des nœuds

du réseau. Les collisions entre particules ne peuvent dans ce cas avoir lieu que sur les nœuds et l’évolution complète de ces systèmes se décompose naturellement en une succession de deux étapes :

• une étape de déplacement (ou propagation) qui dure un temps de propagation au cours duquel chaque particule se déplace d’une distance égale au produit de sa vitesse par le temps de propagation, ce qui l’amène sur un nœud voisin.

• une étape de collision qui est instantanée (les particules ont un volume nul et interagissent comme des points matériels) pendant Iciquelle les particules présentes sur un nœud se redistribuent parmi les directions possibles tout en conservant localement le nombre de particules, l’impulsion totale et l’énergie.

La description d’un gaz sur réseau requiert donc les définitions suivantes :

• la géométrie du réseau, qui détermine l’ensemble des positions possibles pour les particules et implique une discrétisation de l’espace.

• les propriétés physico/chimiques des particules présentes sur le réseau. Dans la plupart des modèles, seule la masse des particules intervient dans la dynamique et, le plus souvent, elle est la même pour toutes les particules. On peut cependant concevoir des modèles incluant des particules de masses différentes [Burges et Zaleski 1987], de type chimique différent [Clavin et al. 1986], ou possédant des propriétés électromagnétiques [Hatori et Montgomery 1987, Chen et al. 1987 B, 1988 A].

• les règles de déplacement entre nœuds du réseau pour chaque type de particule.

L’ensemble de ces règles, combiné à la donnée du temps de propagation et à la géométrie du réseau, détermine les vitesses des particules et leur impulsion.

. les règles de collision, qui doivent conserver les grandeurs physiques locales et uniquement celles-ci pour éviter la création d’invariants non-physiques. La possi­

bilité d’un équilibre thermodynamique est lié à l’existence des collisions et ce sont ces dernières qui vont déterminer l’ensemble des coefficients de transport et donc l’approche vers l’équilibre.

Une simplification supplémentaire est encore utile si l’on désire que les simulations d’évolution d’un gaz sur réseau soient les plus efficaces possibles : un principe d’exclusion est imposé empêchant la présence simultanée de plusieurs particules ayant la même vitesse sur un même lien. Ceci permet de représenter la présence ou l’absence d’une particule sur chaque lien par un seul chiffre binaire (ou bit) ne prenant que les valeurs 0 ou 1. Chaque nœud du réseau n’est ainsi affecté que d’un nombre fini d’états et les opérations de collision peuvent s’effectuer exactement à l’aide d’un petit nombre d’opérations logiques ou par consultation d’une table. Les collisions elles-mêmes sont évidemment choisies de manière à satisfaire le principe d’exclusion en n’introduisant jamais la présence de plus d’une particule sur un lien du réseau. Le fait que les calculs d’évolution soient exacts implique que les simula­

tions de ga^ sur réseaux incluant un principe d’exclusion sont absolument stables et

1. Les Modèles de G

: sur Réseaux 11

ne possèdent pas d'instabilités numériques. De plus, un théorème-H de Boltzmann pour les gaz sur réseaux a été démontré par M. Hénon [Frisch et al. 1987], ce qui implique que toute réalisation particulière (à l’exception d’un ensemble de condi­

tions initiales pathologiques de mesure nulle) d’un gaz sur réseau répondant aux conditions de ce théorème tendra vers un comportement macroscopique universel dans le cadre de l’approximation de Boltzmann.

C’est également le principe d’exclusion qui permet d’utiliser des réseaux d'auto­

mates pour réaliser les simulations des ga^ sur réseaux. En l’absence du principe d’exclusion, les populations de particules sur chaque lien pourraient prendre des valeurs arbitrairement grandes, ce qui nécessiterait l’utilisation de nombres réels pour les représenter en mémoire pendant les simulations et impliquerait de ce fait un coût mémoire beaucoup plus important (typiquement 32 ou 64 fois plus élevé) ainsi que la possibilité d’erreurs d’arrondi au cours des calcids.

Depuis leur apparition en 1972 [Hardy et Pomeau 1972] et suite à la réactualisation du sujet en 1986 [Frisch et al. 1986 A], plusieurs modèles différents de gaz sur réseaux ont été développés. Nous ne présentons ici que les modèles les plus significatifs et leurs variantes que nous avons utilisées au cours de ce travail.

a. Le modèle “HPP”

Le modèle baptisé HPP (à partir des initiales de ses concepteurs Hardy, de Pazzis et Pomeau) constitue la première réalisation d’un gaz sur réseau au sens où nous l’entendons ici*. Ce modèle avait été introduit pour étudier des problèmes fonda­

mentaux de Mécanique Statistique, à savoir l’ergodicité, l’existence et la conver­

gence vers des états d’équilibre, le comportement aux temps longs des fonctions d’autocorrélation temporelles et la divergence possible des coefficients de transport à deux dimensions.

Les particules du gaz HPP circulent sur un réseau carré bidimensionnel de maille unitaire. Toutes les particules sont physiquement indiscernables, ont la même masse (égale à 1 par choix d’unités) et le même module de vitesse (1 si l’on choisit le temps de propagation comme unité de temps). H n’y a dans ce cas que quatre directions possibles de la vitesse, correspondant aux liens de chaque nœud vers ses quatre premiers voisins (fig. 1).

En vertu du principe d’exclusion, chacun des liens d’un nœud ne peut contenir au plus qu’une particule, et il n’existe donc que 2^ = 16 configurations possibles en un nœud. A chacune de ces 16 configurations considérée comme un état pré-coUisionnel peut être associé un état post-collisionnel représentant la nouvelle configuration des particules après qu’eUes aient interagi. Puisque le principe d’exclusion doit être maintenu par les collisions, l’état post-collisionnel doit lui-même être l’une des 16 configurations admises. La définition de la totalité des règles de collision se ramène donc à la définition d’une application dans l’ensemble des configurations. De plus, cette application ne peut échanger que des configurations possédant le même nom-

*Un type différent de gaz de réseau avait été défini auparavant par Widom pour l’étude des phénomènes critiques [Widom 1967].

1 1 1 1 HH ^{w 1 U}

1

>—I— i 1

1

>—!—i 1 1

1 1

»---j— i 1

1 1

»--- i 1 1

1

i — \ — i 1

1

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1 1

i1 1

1

---T “ 1 i --- 1--- i

1

““ T“ “ 1 )--- - --- i

1 1

1 i —1—<

1

4- 1

1 j— i 1

H

hh ■ ^{1 ■} ^ ^{i ' ; 1}

Figure 1: Le réseau carré supportant les particules du modèle HPP et les quatre directions possibles de la vitesse (0-3). La surface d’une cellule élémentaire du réseau est (où l est la longueur de la maille du réseau).

bre de particules et les mêmes composantes de la vitesse totale, puisque la masse et le moment cinétique doivent être conservés par les collisions^. Lorsque toutes ces contraintes sont introduites, on constate qu’ü n’existe que deux configurations pouvant donner lieu à une collision visible^ pour le modèle HPP. Ces deux configu­

rations correspondent à la rencontre de deux et seulement deux particules ayant des vitesses opposées et qui sont défléchies par la collision de 90° vers les deux direc­

tions précédemment inoccupées (fig. 2). Toutes les autres configurations sont laissées inchangées par la phase de collision.

La phase de propagation du modèle HPP se réduit simplement au transfert de chaque particule vers le nœud premier voisin dans la direction de sa vitesse. L’en­

semble des règles d’évolution est invariant par toute symétrie du réseau sous-jacent, c’est-àrdire les rotations de 90° et le renversement de l’une des coordonnées. H s’agit là d’une propriété physiquement raisonnable, mais qui est capitale si l’on désire que le modèle ait un comportement macroscopique correct, c’est-àrdire corresponde aux * *

est à notei que comme toutes les particules ont la même vitesse, l’invariant d’énergie est proportionnel à l’invariant de masse et n’introduit pas de relation de conservation supplémentaire.

Il n’aura donc aucun effet sur l’évolution du système.

*Les particules étant indiscernables, une collision qui ne consiste qu’en un échange de particu­

les sans modifier la configuration ne change pas l’état du système et n’a donc aucun effet sur la dynamique. Les collisions ‘invisibles’’ sont généralement appelées transparentes.

1. Les Modèles de Gaz sur Réseaux ₁₃

Figure 2: L’ensemble des 16 configurations possibles de particules en un nœud

du modèle HPP et l’état post-coUisionnel résultant. Chaque configuration peut

être représentée par un mot de 4 chiffres bineûres, chacun de ces bits indiquant

la présence d’une particule dans l’une des quatre directions du réseau. Deux

configurations seulement sont modifiées par collision dans ce modèle (0101 et

1010 qui sont échangées). Il faut également noter qu’il n’y a que six configurations

réellement différentes si l’on tient compte des symétries du réseau.

Figure 3: Propagation d’ondes sonores dans le gaz HPP simulé sur la machine CAM-6 du MIT. L’état initial a une vitesse moyenne nulle et une densité moyenne uniforme de 2 particules par nœud excepté pour un bloc de 32 x 32 nœuds où la densité est maximede (4 particules pair nœud). L’état du gaz est représenté après 30 et 90 pas de temps. On constate qu’il se forme une onde sonore qui est circulaire, malgré la symétrie carrée du réseau, et qui se propage à la vitesse du son prévue théoriquement l/\/5’ (d’après Margolus, Toffoli et Vichniac [1986]).

lois physiques qui sont laissées invariantes par toute symétrie de l’espace, obtenue par combinaison de translation et de rotation arbitraires et d’une symétrie plane. Nous imposons donc que les lois d’évolution microscopiques soient invariantes par toute symétrie du réseau, ce qui nous garantit que l’évolution macroscopique possédera également cette symétrie, mais ne suffit pas a priori pour assurer que l’évolution macroscopique sera isotrope. L’évolution du système est également identique selon que l’on s’intéresse aux particules ou aux lacunes (absences de particules sur les liens, encore appelées trous). Aussi bien les règles de propagation que les règles de collision sont invariantes par dualité, c’est-à-dire par échange entre particules et trous. Cette propriété n’est pas nécessaire pour obtenir une dynamique correcte, mais assure une symétrie supplémentaire aux lois d’évolution et, par là, aux coefficients de transport qui doivent de ce fait eux-mêmes être invariants par dualité.

Les propriétés macroscopiques du modèle HPP ont été étudiées par ses auteurs aussi bien théoriquement [Hardy et al. 1972, 1973] que par simulation [Hardy et al. 1976]. Des simulations beaucoup plus efficaces ont également été effectuées ulté­

rieurement en utilisant les machines d’automates ceUidaires CAM du MIT (fig. 3)

en vue de tester la possibilité d’utiliser le gaz HPP pour simuler des phénomènes

hydrodynamiques. La conclusion, déjà obtenue par Hardy, de Pazzis et Pomeau, est

que ce modèle ne permet pa£ de simuler des écoulements obéissant aux équations de

Navier-Stokes. En effet, si les phénomènes propagatifs macroscopiques se comportent

de manière isotrope, les équations d’Euler ou de Navier-Stokes que l’on obtient sont

anisotropes. Ceci implique que les équations d’évolution d’un écoulement dépendent

de l’orientation de cet écoulement par rapport aux axes du réseau, ce qui rend le

modèle impropre à simuler des écoulements réels. De plus, un examen attentif des

1. Les Modèles de Gaz sur Réseaux 15

lois d’évolution de ce système montre qu’il existe un grand nombre de quantités conservées autres que la masse et le moment pour des réseaux HPP macroscopiques.

Les plus connus de ces invariants parasites sont la somme sur toute ligne horizontale (resp. verticale) de la composante horizontale (resp. verticale) du moment (d’autres invariants ont été mis en évidence par une analyse approfondie des symétries du réseau [d’Humières et al. 1989]).

On peut également constater que deux particules qui sont sur des nœuds séparés d’une distance de Manhattan* impaire ne pourront jamais se rencontrer et interagir.

Le réseau carré de HPP peut donc se décomposer en deux sous-réseaux indépendants correspondant aux cases noires et blanches d’un échiquier et qui ont des évolutions complètement découplées. Ceci est important si l’on étudie des systèmes présentant des brisures de symétrie spontanées et implique que pour obtenir les grandeurs macroscopiques on effectue des moyennes indépendantes sur les deux sous-systèmes.

L’ensemble des problèmes soulevés par le modèle HPP pour l’étude des phéno­

mènes hydrodynamiques ont conduit à entreprendre des recherches pour trouver un modèle approprié de gaz sur réseau qui ne posséderait pas ces défauts.

b. Le modèle “FHP”

En 1985, U. Frisch, B. Hasslacher et Y. Pomeau observent qu’un gaz défini sur un réseau triangulaire à deux dimensions peut donner heu à un comportement macrosco­

pique régi par les équations de Navier-Stokes isotropes. Ils introduisent sur ce réseau un premier modèle de gaz connu sous le nom de FHP (rebaptisé ultérieurement FHP- I) en définissant des règles de coUision entre particules compatibles avec la géométrie du réseau. Les simulations effectuées par D. d’Humières et P. Lallemand [d’Humières et al. 1985 B, 1985 C, 1986 A] permettent immédiatement de vérifier le comporte­

ment hydrodynamique du modèle. L’impaet de ces travaux est tel qu’ils déclenchent un intérêt considérable dans le monde scientifique qui aujourd’hui encore exploite et développe avec succès la veine du modèle FHP.

Le réseau utilisé par le modèle FHP est un réseau triangulaire à symétrie hexa­

gonale (fig. 4). Toutes les particules qui y circulent ont la même masse et la même vitesse. Comme dans le modèle HPP, la maille du réseau, la masse des particules et le temps de propagation sont choisis comme unités physiques. Dans ce modèle, chaque nœud est connecté à ses six premiers voisins : il existe donc six directions possibles pour des vitesses de module unitaire. La phase propagation est réduite, comme pour le modèle HPP, à un simple transfert entre nœuds adjacents.

La définition des règles de coUision est évidemment plus complexe puisqu’à chaque nœud du réseau on peut associer n’importe laqueUe des 2® = 64 configurations pré- colhsionneUes possibles et qu’il est nécessaire de vérifier lesquels de ces états peuvent donner lieu à des colhsions non-transparentes vérifiant les lois de conservation et satisfaisant le principe d’exclusion. On peut réduire immédiatement la taille du problème en imposant que les règles de colUsion soient invariantes par toutes les

*La distance de Manhattan entre deux points d’un réseau carré peut être vue simplement comme le nombre de liens séparant ces deux nœuds.

Figure 4; Le réseau triangulaire à symétrie hexagonale défini par le modèle FHP.

Six directions de la vitesses alignées le long des liens du réseau sont permises par le modèle (numérotées 0-5 sur la figure). La surface d’une cellule élémentaire du réseau est l^y/T/2 (où l est la longueur de la maille du réseau).

symétries du réseau, qui sont générées à partir de rotations de

/3 et d’une symétrie plane par rapport à un des axes du réseau. Dès lors, il ne faut plus considérer que 13 configurations. Comme pour le modèle HPP, les collisions binaires font intervenir des particules provenant de directions opposées. De telles collisions ont deux états de sortie équivalents sur un réseau triangulaire, ce qui impose de faire un choix entre ces deux configurations. Si les probabilités des deux états de sortie ne sont pas identiques (ce qui est le cas si l’on choisit systématiquement l’une des possibilités), le modèle devient chiral, c’est-à-dire non-invariant par symétrie plane^. Il est donc préférable de donner à chacune des deux configurations la même probabilité d’être réalisée. Dans ce cas, le choix entre les deux résultats de collision peut être effectué de manière réellement probabiliste, en générant un nombre aléatoire pour chaque collision, soit de manière pseudo-aléatoire, en faisant un choix déterministe ne favorisant aucune des alternatives (par exemple, basé sur la parité du pas de temps ou sur un bit supplémentaire lié au nœud que l’on complémente à chaque collision indéterminée).

Si, parmi les règles possibles, on n’admet que de telles collisions binaires à moment total nul, il est facile de vérifier qu’est conservée, en plus de la masse et du moment cinétique, la somme des trois différences entre nombres de particules de directions opposées. La dynamique de ce système conserve donc quatre quantités scalaires.

^Cecd implique qu’un système et son image dans un miroir n’évolueraient pas de manière parallèle, ce qui choque l’intuition physique.

1. Les Modèles de Gaz sur Réseaux 17

ce qui est incorrect pour un système bidimensionnel où l’énergie est trivialement conservée. Le comportement macroscopique d’un tel modèle possédant un invariant parasite est complètement différent de l’hydrodynamique classique, ce qui a été vérifié par simulation [Shimomura 1988]. Pour éliminer cette loi de conservation excédentaire, il est nécessaire d’ajouter d’autres collisions non-transparentes. On constate aisément qu’il n’est pas possible de définir des collisions binaires autres que celles à moment total nul pour un modèle à six vitesses. Le modèle original FHP introduisait pour cette raison des collisions triples symétriques (à moment total nul) qui éliminent l’invariant parasite* (fig. 5a-b).

Les premières simulations effectuées par d’Humières et Lallemand [1985 B, 1985 C]

ont permis de vérifier l’aptitude du modèle à reproduire des comportements hydro­

dynamiques connus, comme la formation d’une allée de von Karman dans l’écou­

lement autour d’un obstacle (fig. 6). Elles ont également été utilisées pour vérifier numériquement les valeurs théoriques prévues pour la vitesse du son et les coefficients de transport de ce ga^. Ces résultats ont permis de valider les résultats théoriques obtenus dans le cadre de l’approximation de Boltzmann, mais ont également mis en évidence une anomalie du modèle, à savoir que la viscosité de volume mesurée par les simulations est négative, alors que la théorie prévoit une valeur nulle. Une viscosité de volume négative est évidemment un résultat non-physique, pour lequel la seule explication trouvée actuellement est que les collisions triples symétriques du modèle ne se produisent pas à une fréquence suffisante pour éliminer efficace­

ment l’invariant parasite des collisions doubles sur des échelles spatiales correspon­

dant aux tailles des simulations [d’Humières et Lallemand 1987 Aj. Pour éliminer ce problème, il est nécessaire d’introduire une population supplémentaire de par­

ticules au repos, identiques aux particules mobiles mais ayant une vitesse nulle*

et qui donc ne se propagent pas entre les étapes de collisions. Ces particules im­

mobiles, souvent appelées centres, peuvent avoir des collisions binaires avec des particules en mouvement (fig. 5c-d) ; ces collisions conservent toutes les grandeurs physiques et vérifient le principe d’exclusion tout en éliminant à elles seules tous les invariants non-physiques. Comme il s’agit de collisions binaires, elles sont efficaces même à faible densité pour éliminer l’invariant parasite du modèle FHP original.

La présence de particules au repos provoque l’apparition d’une viscosité de volume non-nulle (positive !) ; de plus, ce modèle (baptisé FHP-II) permet de réduire forte­

ment la viscosité de cisaillement grâce au nombre plus élevé de collisions efficaces.

Les gaz de réseau présentent en effet un comportement semblable à celui des gaz à faible densité dont la viscosité diminue avec la fréquence de collision. Ceci peut se comprendre en observant que réduire le libre parcours moyen revient à réduire la dif-

*11 est intéressant de remarquer qu’un modèle de gaz sur réseau triangulaire k six vitesses qui n’inclut que les collisions triples symétriques conserve cinq quantités scalaires et présente de ce fait un comportement hydrodynamique tout à fait anormal [Shimomura 1988, d’Humières et al. 1989].

11 est donc nécessaire d’inclure à la fois les collisions doubles et les collisions triples pour n’obtenir que les trois lois de conservation habituelles de la physique.

‘Les particules immobiles doivent cependant avoir une énergie de repos posée égale à l’énergie cinétique des particules mobiles, pour que les collisions conservent l’énergie qui est ici définie comme proportionnelle au nombre de particules.

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m=3 m=2

c. ^ ^ ^ Y ^m=6

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m=12

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m=6

tn=6

Figure 5: L’ensemble des règles de collision non-transparentes pour les difTérents modèles de gaz sur réseau triangulaire. Chaque collision possède une multi­

plicité m indiquant le nombre de manières de la réaliser en utilisant toutes les symétries du réseau. Lorsque deux résultats de collision sont représentés, le choix entre ceux-ci est effectué de manière équiprobable. Le modèle FHP-I inclut les collisions a-b (5 collisions), le modèle FHP-II les colUsions a-f (22 collisions), le modèle FHP-III les collisions a-n (76 collisions) et le modèle FHP-IV les colli­

sions a-1 et uniquement les premières alternatives des collisions g et h (pour un

total de 64 collisions). Le modèle FHP-V n’utiüse que les 12 colUsions c et d.

1. Les Modèles de Gaz sur Réseaux 19

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Figure 6; Ecoulement autour d’une plaque. Carte de flux obtenue après 5000 pas de temps d’évolution d’un réseau triangulaire de 1024 x 512 nœuds initialisé avec une densité moyenne uniforme de 2 particules par nœud et une vitesse moyenne uniforme de 0.5 (en unités de réseau), ce qui correspond à un nombre de Reynolds

« 70. Chaque vecteur représente le flux de masse obtenu par moyenne spatiale sur des blocs de 16 x 16 nœuds. L’écoulement est instationnaire et les tourbillons se détachent alternativement des deux bords de la plaque de manière périodique (d’après d’Humières, Pomeau et Lallemand [1985]).

fusion du moment et donc à diminuer l’interaction entre couches de fluides éloignées.

Pour réduire encore la viscosité, et rendre les règles de collision invariantes par du­

alité particule-trou, il est nécessaire d’introduire des collisions triples asymétriques et des collisions à quatre et cinq particules, ce qui donne le modèle FHP-III lorsque toutes les collisions possibles sont introduites (fig. 5a-n). Une légère modification des règles de collision du modèle FHP-III permet de réduire encore la viscosité de cisaillement, ce qui donne le modèle FHP-IV qui possède la viscosité minimale pour un modèle à sept vitesses^. Nous avons également utilisé dans ce travail une variante des modèles FHP (FHP-V) qui n’inclut que les collisions binaires avec les centres et qui présente l’intérêt de posséder la viscosité maximale pour un modèle à sept vitesses complètement déterministe sans invariant parasite. Nous verrons dans la suite l’intérêt et l’utilisation de ces propriétés des différents modèles.

n est intéressant de remarquer que le modèle FHP aussi bien que le modèle HPP correspondent à des gaz sans fluctuations thermiques puisque l’énergie de toutes les particules est la même, ce qui implique que la densité locale d’énergie est proportion­

*Les règles de collision du modèle FHP-IV maximisent l’interaction entre particules mobiles au détriment des collisions avec les particules au repos, ce qui implique que le gain obtenu sur la viscosité de cisaiUement est compensé par une augmentation de la viscosité de volume. L’utilisation du modèle FHP-IV est donc intéressante pour la simulation d’écoulements incompressibles, ce qui est le cas de la majorité des applications de ces modèles.

nelle à la densité de masse. De tels systèmes ont des chaleurs spécifiques à pression constante et à volume constant égales, c’est-à-dire que leur rapport des chaleurs spécifiques et des compressibilités (isotherme et adiabatique) 7 = Cp/Cv =

est égal à 1.

c. Le modèle “FCHC”

Après que le comportement hydrodynamique des modèles FHP ait été vérifié, il était naturel de chercher à étendre les modèles de gaz sur réseau à trois dimensions. Ceci toutefois pose problème car il n’existe pas de réseau régulier simple suffisamment isotrope à trois dimensions. Les réseaux cristallographiques à trois dimensions les plus symétriques sont les réseaux cubiques (cubique simple, cubique centré et cu­

bique face centrée) et le réseau hexagonal simple. Aucun de ces réseaux ne donne des équations de Navier-Stokes isotropes si l’on choisit comme règles de déplacement uniquement des transferts vers les premiers voisins. Si l’on considère l’ensemble des polyèdres à trois dimensions dont toutes les arêtes ont la même longueur*, on constate que seuls le dodécaèdre et l’icosaèdre possèdent un ensemble de vecteurs générateurs suffisamment isotrope. Un modèle de gaz dont l’ensemble des vitesses correspondrait aux directions principales de ces polyèdres aurait donc un comporte­

ment macroscopique régi par les équations de Navier-Stokes habituelles. H n’est cependant pas possible de tesseller^ l’espace tridimensionnel de manière régulière en se servant uniquement de dodécaèdres ou d’icosaèdres. Un tel ensemble de vitesses ne peut donc être utilisé que pour un modèle de gaz à vitesses discrètes et espace continu (cf. [Gatignol 1975]), mais pas pour un modèle de gaz sur réseaux pour lequel l’ensemble des vitesses doit correspondre aux vecteurs directeurs d’un réseau dont les nœuds constituent l’ensemble des positions possibles des particules.

Deux solutions différentes à ce problème ont été proposées par d’Humières, Lalle­

mand et Frisch [1986]. La première consiste à utiliser un réseau 3-D cubique simple, sur lequel on introduit trois modules de vitesse 0,1 et y/T correspondant respec­

tivement à des particules immobiles, des particules qui se déplacent en un temps de propagation jusqu’aux six premiers voisins d’un nœud et des particules qui se déplacent vers les douze seconds voisins. H est alors possible d’obtenir un comporte­

ment isotrope en ajustant les rapports de populations entre les différents types de particules pour une densité donnée (ceci revient à combiner un réseau cubique simple et un réseau cubique centré dans les bonnes proportions pour obtenir un “réseau”

suffisamment isotrope). Il n’est cependant pas possible par ce procédé d’obtenir que le terme non-linéaire d’advection et le terme de dissipation de l’équation de Navier-Stokes soient simultanément isotropes. De plus, malgré que la présence de trois modules de vitesse laisse supposer que ce modèle puisse simuler des effets ther­

miques, la température est en fait complètement déterminée par la densité si l’on

* A trois dimensions, l’ensemble de ces polyèdres est connu sous le nom de solides platoniciens et ne comprend que cinq éléments qui sont le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre.

*Tesseler l’espace consiste à. le remplir complètement et de manière uniforme avec un ensemble fini de polyèdres.