Pertes visqueuses

D’apr`es l’´equation (2.47), la contribution d’origine visqueuse `a l’att´enuation, ˜αvi, est proportionnelle `a ω. Or, sur la Figure 2.17 (b), on observe une variation non monotone de l’att´enuation restante avec la fr´equence : d’abord d´ecroissante, puis qui augmente proportionnellement `a la fr´equence.

Un ´el´ement important qui n’est pas pris en compte dans l’´equation (2.47) (puisque la th´eorie de Rayleigh-Plesset consid`ere un milieu infini) est li´e `a nos conditions exp´erimentales : dans nos mesures la mousse est plac´ee dans un tube, ce qui peut entraˆıner des frictions et donc des pertes au niveau des parois, que l’on note ˜

αwall.

L’att´enuation associ´ee `a l’existence d’une couche limite visqueuse pr`es de la paroi d’un tube, dans lequel se propage une onde plane, est donn´ee par la loi de Kirchhoff (1868) (que l’on retrouve ´egalement dans la r´ef´erence Weston (1953), cette fois en anglais). Cette att´enuation s’´ecrit

˜ αwall= <sup>`v</sup> D <sup>=</sup> r 2η Φρ`D2ω^−1/2, (2.51)

o`u D est le diam`etre du tube et `v la longueur visqueuse, qui d´epend de la viscosit´e η du fluide dans le tube. La d´ependance avec la fr´equence de cette att´enuation en fait un tr`es bon candidat pour expliquer l’att´enuation `a basses fr´equences (en dessous de 1kHz) observ´ee Figure 2.17 (b).

L’existence d’une couche limite visqueuse pr`es d’une paroi, lorsqu’une mousse liquide est insonifi´ee, avait par ailleurs d´ej`a ´et´e relev´ee (Erpelding et al., 2010). Dans ces travaux, un haut parleur ´etait `a l’origine d’une ´emission acoustique dans la gamme 400 Hz - 10 kHz, et la mousse `a raser insonifi´ee ´etant quant `a elle plac´ee dans une cellule avec des parois en verre.

Notons que cette att´enuation est g´en´eralement n´eglig´ee lors de mesures au tube d’imp´edance, car pour des ´echantillons dont le squelette est solide la seule perte dans une couche visqueuse viendrait de l’air. Or la longueur visqueuse pour l’air `a 1 kHz est `v≈ 70 µm, ce qui est tr`es faible devant le diam`etre du tube (le plus souvent 29 mm minimum). Pour la mousse liquide en revanche, cette longueur peut cesser d’ˆetre n´egligeable en fonction de la valeur de la viscosit´e η. Une question essentielle qui se pose est d’ailleurs de d´eterminer quelle valeur de η prendre pour une mousse liquide. D’autant plus que cette viscosit´e peut a priori varier avec la fr´equence (tout comme la vitesse du son et la densit´e effective de la mousse sont d´ependantes de la fr´equence).

La mˆeme question se pose pour la viscosit´e `a consid´erer dans le terme ˜αvi : cette viscosit´e peut ´egalement d´ependre de la fr´equence, et il ne s’agit pas n´ecessairement de la mˆeme viscosit´e que celle intervenant dans les frottements aux parois. On distingue donc ces deux viscosit´es, que l’on appelle respectivement ηwallet ηbub. Avec cette contribution suppl´ementaire et la distinction entre les viscosit´es, on peut r´e´ecrire l’´equation (2.47)

˜ α− ˜αth= ˜αwall+ ˜αvi = s 2ηwall(ω) Φρ`D2 ω^−1/2+^2ηbub(ω) 3P0 ω . (2.52)

Il convient maintenant de d´eterminer les d´ependances fr´equentielles de ces viscosit´es.

La d´ependance fr´equentielle de ηwallqui permet d’ajuster au mieux la partie basses fr´equences des r´esultats exp´erimentaux est trouv´ee en ω−1/2. Cela conduit `a une d´ependance fr´equentielle de l’att´enuation r´eduite en ω−3/4. On ´ecrit ainsi cette viscosit´e sous la forme ηwall(ω) = η∗

wall

p

ω∗/ω, o`u ω∗ = 2π× 1 kHz est une fr´equence de r´ef´erence.

Concernant ηbub, le comportement en fr´equence de l’att´enuation ˜α− ˜αth `a plus hautes fr´equences sugg`ere une relation lin´eaire, et donc une viscosit´e ηbubfinalement ind´ependante de la fr´equence.

Cela permet de r´e´ecrire l’´equation (2.52) sous la forme suivante

˜ α− ˜αth= s 2η∗ wall √ ω∗ Φρ`D2 ω^−3/4+^2ηbub 3P0 ω . (2.53)

On utilise cette ´equation (2.53) pour ajuster les donn´ees exp´erimentales, comme celles de la Figure 2.17 (b), avec comme param`etres ajustables les deux viscosit´es η^∗_wallet ηbub.

2.3.6.1 Friction aux parois du tube et viscosit´e effective de la mousse

Nous commen¸cons par pr´esenter les r´esultats de la premi`ere, associ´ee aux pertes par frottements aux parois. La Figure 2.18 donne les valeurs de η<sup>∗</sup><sub>wall</sub>pour toutes nos mesures, et plus seulement pour les quatre mousses utilis´ees en exemple. Le niveau de gris des symboles repr´esente la fraction de liquide (plus le gris est fonc´e, plus la mousse est humide) : ce param`etre ne semble pas avoir d’influence sur la viscosit´e η^∗_wall. On observe en revanche une diminution de cette viscosit´e lorsque le rayon R des bulles augmente.

Fig. 2.18 – Figure tir´ee de Pierre et al. (2017). Viscosit´e associ´ee aux pertes dues aux frottements contre les parois du tube. Chaque point correspond `a une mesure sur une mousse. Le gradient du niveau de gris traduit la fraction de liquide : plus le symbole est gris fonc´e, plus la mousse est humide. Les diff´erents symboles correspondent quant `a eux `a des natures de gaz diff´erentes (voir Table 2.2). La ligne repr´esente une loi ph´enom´enologique pour la viscosit´e obtenue par rh´eologie (´equation (2.54)), sans param`etre ajustable (trac´ee ici `a f = 1 kHz).

On a ´egalement trac´e sur la Figure 2.18 une loi ph´enom´enologique donnant la viscosit´e d’une mousse, obtenue par mesures de rh´eologie (entre 1 et 100 Hz) (Costa et al., 2013) :

ηmousse= A s 1 + _R ref R 2 ω^−1/2, (2.54)

avec A = 10.3 Pa.s1/2 et Rref= 52 µm. Nous l’avons trac´ee Figure 2.18 `a 1 kHz. Nos mesures exp´erimentales sont en tr`es bon accord avec cette loi ph´enom´enologique. Cela indique que les mesures rh´eologiques de-meurent valides dans la gamme du kHz, ce qui avait d´ej`a ´et´e observ´e (jusqu’`a 1.3 kHz) pour des mousses `a raser par Wintzenrieth et al. (2014) (qui ´etudiaient la propagation d’ondes de cisaillement dans les mousses). Pour aller un peu plus loin et s’assurer de la validit´e de l’´equation (2.54) dans nos mesures au tube

d’imp´edance, nous avons ´egalement fait des exp´eriences dans le tube de plus grand diam`etre. L’id´ee est de comparer l’att´enuation de deux mousses similaires (ayant Φ` et R quasiment identiques), mesur´ees dans le tube de petit diam`etre (D = 29 mm) pour l’une et dans celui de plus grand diam`etre (D = 100 mm) pour l’autre. Nous avons r´ealis´e cette exp´erience pour deux mousses diff´erentes. Les r´esultats sont pr´esent´es Table 2.3. D R PI Φ` α˜ α˜− ˜αwall (mm) (µm) (%) (%) 100 32 40 10 0.22 0.13 29 33 24 10.5 0.51 0.13 100 20 35 16 0.19 0.09 29 22 35 19 0.48 0.09

Table 2.3 – Att´enuation acoustique totale et att´enuation sans la contribution thermique, pour les mousses liquides PFH, mesur´ees `a 0.5 kHz dans les deux tubes d’imp´edance de diam`etre diff´erent.

On constate que l’att´enuation r´eduite brute est plus importante dans le tube de petit diam`etre. On lui soustrait l’att´enuation li´ee aux frottements contre les parois du tube, calcul´ee grˆace aux ´equations (2.51) et (2.54) : ˜ αwall= <sup>ω</sup> −3/4 D s 2Ap 1 + (Rref/R)2 Φ`ρ` , (2.55)

toujours avec les valeurs A = 10.3 Pa.s1/2 et Rref= 52 µm.

L’att´enuation intrins`eque (puisqu’elle ne d´epend plus de nos conditions exp´erimentales) de la mousse ainsi d´eduite, ˜α− ˜αwall, est bien identique quel que soit le diam`etre du tube utilis´e.

Cela clˆot notre ´etude des pertes li´ees aux frottements contre les parois du tube. Les r´esultats de nos mesures sont correctement pr´edits par la loi de Kirchhoff (´equation (2.51)), en consid´erant une viscosit´e effective de la mousse donn´ee par une loi ph´enom´enologique, obtenue par des mesures rh´eologiques (´equation (2.54)). Il reste d´esormais `a identifier l’autre viscosit´e intervenant ´equation (2.53) pour les pertes visqueuses in-trins`eques : ηbub.

2.3.6.2 Pertes `a l’´echelle locale et loi ph´enom´enologique

Nous rappelons que l’´equation (2.53) est utilis´ee pour ajuster nos donn´ees exp´erimentales, avec comme param`etres ajustables η∗

wall et ηbub (un seul fit sur l’ensemble de la courbe permet d’extraire ces deux param`etres `a la fois). Nous venons de voir les r´esultats pour la premi`ere viscosit´e, et allons d´esormais pr´esenter ceux de la seconde, associ´ee `a la dissipation

˜

αvi= ^2ηbub 3P0

ω . (2.56)

D´ependance en R

A nouveau, nous pr´esentons les r´esultats pour toutes nos mesures, sur des mousses de diff´erentes nature de gaz, rayon des bulles et fraction de liquide. Les valeurs de ηbub ainsi obtenues sont pr´esent´ees Figure 2.19. Commen¸cons par noter que ces valeurs sont de l’ordre du Pa.s, soit trois ordres de grandeur plus importantes que celle de l’eau. La viscosit´e qui intervient ici ne peut donc pas ˆetre celle de la phase liquide de la mousse. L’influence du rayon des bulles sur cette viscosit´e est d´ej`a visible Figure 2.19 : la viscosit´e augmente lorsque le rayon augmente. Nous y reviendrons un peu plus tard pour d´eterminer la bonne loi de puissance reliant ηbub `a R.

Fig. 2.19 – Figure tir´ee de Pierre et al. (2017). Viscosit´e li´ee `a une att´enuation visqueuse dans la mousse, introduite d’apr`es la propagation dans un liquide bulleux. Les deux groupes de mesures encadr´es en bleu et rouge correspondent `a des mousses ayant mˆeme nature de gaz (on ´elimine juste le point ayant un symbole carr´e dans l’encadr´e rose) et mˆeme taille de bulles (respectivement environ 20 µm et 30 µm), mais des fractions de liquide diff´erentes. Ils sont utilis´es Figure 2.20 pour mieux voir l’influence de Φ` sur cette viscosit´e. D´ependance en Φ`

Pour mieux voir l’influence de la fraction de liquide sur cette viscosit´e on isole deux groupes de mesures. Chacun correspond `a des mousses ayant mˆeme nature de gaz (“PFH”), et (quasiment) mˆeme rayon de bulles : R ≈ 20 µm pour un groupe (encadr´e en bleu) et R ≈ 30 µm pour le second (encadr´e en rose). Au sein d’un mˆeme groupe, seule la fraction de liquide change. ηbub en fonction de Φ` est ainsi trac´e pour ces deux groupes, Figure 2.20.

Il est difficile de voir une tendance claire : ηbub pourrait ˆetre ind´ependant de la fraction de liquide, ou aug-menter tr`es l´eg`erement avec.

Dans les deux cas, cela ne correspond pas `a une viscosit´e qui avait ´et´e propos´ee par Goldfarb et al. (1997). Dans ces travaux les auteurs consid`erent que lors de l’oscillation d’une bulle au sein d’une mousse li-quide, celle-ci entraˆıne un d´eplacement dans les canaux liquides. En utilisant une loi de Darcy pour d´ecrire l’´ecoulement, ils obtiennent une viscosit´e effective de la mousse de la forme

ηcanal' ηeau  1 + ⁷¹ Φ`  . (2.57)

La d´ependance en 1/Φ` de cette viscosit´e ne co¨ıncide pas avec les valeurs que nous obtenons exp´erimentalement pour notre viscosit´e ηbub. L’expression (2.57) est ´egalement trac´ee Figure 2.20, et nos points ne suivent pas du tout la tendance qu’elle pr´edit.

D´ependance en nature du gaz

Pour nos quatre mousses ayant servi d’exemple tout au long de cette partie, nous tra¸cons aussi ˜αvi = ˜

α− ˜αth− ˜αwall. Cela permet de mettre en ´evidence le rˆole jou´e par la nature du gaz sur cette att´enuation, Figure 2.21.

0 5 10 15 20 25 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Fig. 2.20 – Figure tir´ee de Pierre et al. (2017). Viscosit´e li´ee `a une att´enuation visqueuse dans la mousse, introduite d’apr`es la propagation dans un liquide bulleux, cette fois en fonction de la fraction de liquide. Les symboles bleus et roses correspondant `a des mousses ayant mˆeme nature de gaz (“PFH”) et mˆeme taille de bulles, respectivement R≈ 20 µm et R ≈ 30 µm, mais des fractions de liquide diff´erentes. La ligne correspond `a la viscosit´e pr´edite par l’´equation (2.57), pour laquelle une d´ependance en 1/Φ` est attendue.

qui d´epend de ηbub. On extrait cette valeur de viscosit´e pour chacune des quatre mousses, et on la trace en fonction de l’inverse de la densit´e du gaz 1/ρg(insert de la Figure 2.21) : on trouve ainsi une d´ependance en 1/√ρg de cette viscosit´e.

Bilan et loi ph´enom´enologique

Maintenant que le rˆole de la densit´e du gaz a ´et´e vu, on peut multiplier ηbubparp

ρg/ρ0(avec ρ0la densit´e de l’air), afin que les r´esultats pour des mousses de natures de gaz diff´erentes se rejoignent. On trace alors cette grandeur en fonction du rayon des bulles, Figure 2.22, de sorte `a mieux voir l’influence de ce param`etre. Notons que puisque l’influence de la fraction de liquide n’a pas ´et´e clairement ´elucid´ee, on se limite ici `a des fractions interm´ediaires (entre 7 et 15%).

L’augmentation de la viscosit´e avec R apparaˆıt ainsi compatible avec une loi de puissance en R2.

Puisque cette viscosit´e ηbub d´epend lin´eairement de la fr´equence, on remarque qu’on trouve ainsi une d´ependance en ωR2. La dissipation associ´ee `a cette viscosit´e, ˜αvi, a bien sˆur la mˆeme d´ependance. Comme nous l’´evoquions dans la partie sur les pertes thermiques, une att´enuation en ωR<sup>2</sup> avait d´ej`a ´et´e relev´ee dans de pr´ec´edentes ´etudes, et associ´ee `a des pertes thermiques. Nous avons montr´e ici que ces seules pertes thermiques ne suffisaient pas `a expliquer toute l’att´enuation du son par une mousse liquide. Une autre source de dissipation, dont nous venons de voir la d´ependance tour `a tour pour la taille des bulles, la fraction de liquide et la nature du gaz, est ´egalement `a consid´erer (sans oublier dans le cas pr´esent des pertes li´ees `a notre dispositif exp´erimental). Il s’av`ere que cette att´enuation montre aussi une d´ependance en ωR2. Grˆace `a nos mesures exp´erimentales sur des mousses de composition et de structure diff´erentes, nous avons pu extraire des valeurs de la viscosit´e pour diff´erents jeux de param`etres (R, Φ`et nature du gaz) et finalement

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 He Air _mix PFH

Fig. 2.21 – Figure tir´ee de Pierre et al. (2017). Att´enuation r´eduite ˜αvi = ˜α− ˜αth− ˜αwall en fonction de la fr´equence pour les quatre mousses s´electionn´ees. Les trais plein correspondent `a l’´equation (2.53) avec comme param`etres ajustables η∗

wall et ηbub. Ici la pente de ˜αvi avec la fr´equence d´epend de la valeur de la viscosit´e ηbub. En insert on pr´esente les valeurs de cette viscosit´e en fonction de 1/ρg, ρg´etant la densit´e du gaz, afin de mettre en ´evidence la d´ependance avec la nature du gaz.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Fig. 2.22 – Figure tir´ee de Pierre et al. (2017). Viscosit´e en fonction du rayon des bulles : une tendance en R2 semble se d´egager, la ligne noire correspondant `a (R/50 µm)2× 0.6 Pa.s.

obtenir une loi ph´enom´enologique pour l’att´enuation ˜αvi: ˜ αvi' 0.025_ω^ω_∗  _R R∗ 2_Φ ` Φ∗ ar_ρ 0 ρ ^{, (2.58)}

avec les valeurs R^∗ = 50 µm, ω^∗= 2π× 1 kHz, Φ∗

` = 10%, et un exposant a≥ 0 concernant la d´ependance avec la fraction de liquide (qui d’apr`es nos exp´eriences ne vaudrait sans doute pas plus que 1).

L’origine de cette dissipation demeure toutefois inconnue. En particulier, la d´ependance de cette att´enuation avec la densit´e du gaz laisse `a penser que le m´ecanisme en jeu est peut-ˆetre diff´erent de celui invoqu´e au d´epart pour introduire cette att´enuation. Dans notre mod´elisation, elle provenait en effet de l’´ecoulement g´en´er´e dans le liquide par les bulles durant leurs oscillations.

Une ´etude plus approfondie, sans doute `a la fois exp´erimentale et th´eorique, serait n´ecessaire pour bien comprendre ce dernier terme d’att´enuation dans la mousse liquide (qui s’ajoute `a la contribution thermique et `a celle li´ee au dispositif exp´erimental).

L’´etude de l’att´enuation des mousses liquides n’a toutefois pas ´et´e men´ee plus en profondeur au cours de ma th`ese. Les capacit´es de ces mousses `a att´enuer le son nous ont en effet amen´e `a explorer des mousses solides (donc stables), ayant toutefois de fines membranes solides (l’´equivalent des films de savon), afin de combiner les propri´et´es des mousses liquides et solides. Cela sera l’objet du cinqui`eme chapitre de ce manuscrit. Une piste pour expliquer l’att´enuation par une mousse liquide est cependant men´ee, via l’´etude de la dissi-pation par une membrane unique. Cette membrane est soit un film de savon, soit une membrane plastique ´elastique, de sorte `a ´etudier la dissipation par des types de membranes qui peuvent se rencontrer dans les mousses liquides et les mousses solides. Cette ´etude fera l’objet du prochain chapitre.