Dans la derni`ere section de ce chapitre, nous ´etablissons quelques liens entre les propri´et´es acoustiques des mousses solides et celles des milieux ´etudi´es lors des pr´ec´edents chapitres : les mousses liquides et les mem-branes uniques.
Un lien entre les mousses solides et les mousses liquides a justement ´et´e mis en ´evidence grˆace aux mesures sur les mousses solides tremp´ees. Il s’agit d’une mousse qui est justement interm´ediaire aux deux autres : entre une mousse liquide avec des membranes liquides, et une mousse solide avec des membranes solides, nous avons explor´e le cas d’une mousse solide avec des membranes liquides. Cette situation interm´ediaire a montr´e des comportements semblables `a ceux des mousses liquides : l’´evolution de la densit´e effective avec la fr´equence est comparable `a celle pour les mousses liquides, et l’on retrouve en particulier une partie r´eelle de ρeff qui devient n´egative.
Il s’agit d’un r´esultat tr`es prometteur, qui montre que l’on peut avoir les mˆemes ph´enom`enes qu’une mousse liquide avec une mousse dont le squelette est solide, mˆeme si pour l’instant ce r´esultat n’a ´et´e obtenu que pour des membranes qui, elles, sont liquides.
Nous avons ´egalement vu que dans nos exp´eriences, la propagation acoustique dans les mousses solides avec membranes pouvait ˆetre bien d´ecrite par le r´egime de Kann, initialement obtenu pour les mousses liquides. On peut voir ce r´egime comme la propagation de l’onde dans un air alourdi par la pr´esence des membranes, leur contribution modifiant donc la densit´e effective.
Enfin, nous pouvons ´egalement ´etablir un lien entre les r´esultats des mousses solides avec membranes et notre ´etude des membranes uniques, pr´esent´ee au Chapitre 3. En effet, nous revenons maintenant sur le param`etre de dissipation σm introduit ´equation (5.36) et dont on obtient les valeurs en le laissant comme param`etre ajustable de notre analyse.
Il est possible d’´etablir un lien entre ce terme de dissipation pour les mousses solides et le terme de dissipation b introduit pour les membranes uniques, puisque pour ces deux syst`emes nous avons introduit de mani`ere analogue des termes de dissipation visqueuse.
Nous rappelons ici ce qui a ´et´e fait dans le Chapitre 3, Section 3.2.3, lorsque nous avons ajout´e un terme de dissipation visqueuse en bh ˙ui o`u u est le d´eplacement de la membrane. Nous avons ainsi pu ´ecrire l’´equation (3.14), que nous reprenons ici avec nos notations
ω2ρmehui = ∆P [1 − H(qR)] −πRjωb2hui , (5.38) o`u ρmest la densit´e de la membrane, e son ´epaisseur et R son rayon, la fonctionH est un rapport de fonctions de Bessel qui traduit les ondes capillaires (de nombre d’onde q) `a la surface de la membrane, et ∆P est le diff´erentiel de pression qui excite la membrane. On peut r´e´ecrire la relation pr´ec´edente sous la forme
hui ρm+ j b ωπR2e e = ∆P ω2 [1− H(qa)] . (5.39)
On peut ainsi rapprocher le terme ρm+ jb/(ωπR2e) de celui de l’´equation (5.36), ρm+ jσm/ω.
Nous allons ainsi calculer un σb d’apr`es la valeur de b issue des exp´eriences sur une membrane unique, et le comparer `a son ´equivalent σm issu des exp´eriences sur les mousses solides membranaires.
Les exp´eriences r´ealis´es sur les membranes uniques ´elastiques (de Mylar) ont ´et´e faites sur des membranes de grandes dimensions, le plus souvent de rayon Rt= 14.5 mm de diam`etre. Pour ˆetre en mesure de comparer avec nos exp´eriences sur les mousses solides, o`u le rayon R des membranes est d´esormais compris entre 0.1 et 1 mm, il convient d’´ecrire b(R), le param`etre de dissipation normalis´e par la taille de la membrane
b(R) = b R Rt
, (5.40)
cette ´ecriture ´etant possible parce que nous avons trouv´e exp´erimentalement que b est proportionnel `a R. `
A pr´esent nous pouvons ´ecrire le σb´equivalent `a b σb= b(R)
πR2e = b
πRtR e. (5.41)
Si l’on effectue le calcul pour la mousse de 25 PPI, l’´epaisseur des membranes est d’environ 2 µm pour cette mousse (d’apr`es la mesure au spectrom`etre). `A cette ´epaisseur l`a, d’apr`es nos exp´eriences sur les membranes de Mylar, b est de l’ordre de 6×10−3kg/s. La mousse de 25 PPI a des membranes de 0.53 mm de rayon. Cela nous permet de calculer σb et l’on obtient 12× 107Pa.s/m2. σmissu de notre fit pour l’analyse des mousses solides (Figure 5.25(a)) est quant `a lui ´egal `a 1.5× 107Pa.s/m2 : cela repr´esente un facteur 8 d’´ecart, ce qui n’est pas n´egligeable.
Si on calcule σb pour la mousse de 8 PPI, les membranes sont d’environ 4 µm d’´epaisseur (d’apr`es le spec-trom`etre et l’´epaisseur d´eduite du fit). Les exp´eriences sur les membranes de Mylar donnent b = 12×10−3kg/s pour cette ´epaisseur. Par ailleurs le rayon des membranes de cette mousse est de 1.6 mm. Le calcul donne cette fois σb = 4.1× 107Pa.s/m2, `a comparer `a σm= 3.3× 107Pa.s/m2. Cette fois l’ordre de grandeur est tout `a fait comparable et les valeurs sont tr`es proches.
On parvient ainsi `a trouver un ordre de grandeur relativement comparable entre le terme de dissipation pour les mousses solides, et celui issu des exp´eriences sur les membranes uniques. L’accord est plus satisfaisant pour les mousses ayant des larges pores, pour lesquelles on se rapproche un peu plus des conditions exp´erimentales des mesures sur les membranes uniques, o`u les membranes sont justement de grandes dimensions.
Cela constitue un premier ´el´ement de rapprochement entre les mesures sur les membranes uniques et les capacit´es d’une mousse solide membranaire `a dissiper l’´energie acoustique. Il reste bien sˆur encore du chemin `a parcourir pour relier les ph´enom`enes qui se produisent `a l’´echelle d’un constituant ´el´ementaire de la mousse, aux propri´et´es macroscopiques de la mousse. Cette ´etude apporte sa brique de contribution.
Pour clore ce chapitre et avant d’en arriver `a la Conclusion, nous proposons de revenir un bref instant sur la question de l’interpr´etation de la propagation acoustique au sein d’une mousse membranaire. Nous avons vu que la plupart des ´etudes consacr´ees `a ces mat´eriaux consid`erent les membranes rigides et immo-biles, tandis que nos pr´ec´edentes ´etudes sur les mousses liquides nous incitent `a penser que la vibration des membranes est essentielle pour d´ecrire la r´eponse de ces milieux `a une sollicitation acoustique. Toutefois le stade actuel de notre mod´elisation, avec l’approche des membranes vibrantes, ne donne pas des r´esultats qui soient meilleurs que ceux des approches o`u les membranes sont immobiles pour pr´edire les propri´et´es des mousses membranaires. Les deux visions semblent parvenir, par des approches diff´erentes, `a capturer la r´eponse acoustique d’une mousse solide avec des membranes.
Nous souhaitons donc terminer en soulignant les points qui tendent `a indiquer que la vibration des mem-branes peut survenir dans ces milieux, et qu’elle est alors importante `a consid´erer.
Nous mentionnons donc `a nouveau les travaux de Venegas et Boutin (2017) sur les mat´eriaux perm´eo-´elastiques, dont le d´eveloppement th´eorique et les simulations montrent que les deux ph´enom`enes peuvent exister : propagation de l’air dans le r´eseau connect´e, via les ouvertures, mais aussi vibration des membranes. Notre approche inspir´ee des mousses liquides permet de capturer la r´eponse des mousses solides mem-branaires de mani`ere satisfaisante, tout en consid´erant que la propagation se fait uniquement `a travers elle (on ne prend pas encore en compte la pr´esence d’ouverture dans les membranes). En particulier la densit´e effective de ces mat´eriaux peut tr`es bien s’expliquer par un r´egime d´ej`a ´etabli pour les mousses liquides, celui de Kann, que l’on peut voir comme la propagation dans un air alourdi par la pr´esence des membranes. Les exp´eriences pass´ees sur une membrane unique ont bien montr´e qu’une transmission `a travers la membrane ´etait possible. Dans ces exp´eriences la membrane occupe en effet tout le diam`etre du tube d’imp´edance, il n’y a pas de passage dans l’air possible pour la transmission de l’onde acoustique, qui se fait exclusivement au travers de la vibration de la membrane. Les membranes utilis´ees dans ces exp´eriences sont par ailleurs des membranes de Mylar, un polymer PET assez proche du polyur´ethane, et les ´epaisseurs des membranes sont comparables dans ces exp´eriences et dans les mousses. On peut donc consid´erer que si l’onde acoustique est capable de faire vibrer la membrane dans le tube d’imp´edance, elle doit pouvoir faire de mˆeme sur les membranes similaires d’une mousse.
Les r´esultats de notre analyse sur le terme de dissipation peuvent conduire `a un ordre de grandeur compa-rable `a celui issu des exp´eriences sur les membranes uniques. Si la dissipation par une membrane peut se relier `a celle par une mousse solide membranaire, c’est alors que les membranes jouent le mˆeme rˆole dissipatif en transmettant la vibration.
Enfin, les exp´eriences interm´ediaires sur les mousses tremp´ees sont aussi ´eclairantes. Avec ces mat´eriaux on retrouve une densit´e effective n´egative, qui ne peut s’expliquer que par la pr´esence des membranes. Il serait impossible de pr´edire le comportement observ´e pour ce type de mousses avec les approches qui consid`erent les membranes rigides et immobiles. Mˆeme si la densit´e effective n´egative n’a pas ´et´e atteinte pour les mousses enti`erement solides, nous n’en sommes peut-ˆetre pas si loin et le rˆole que jouent les mem-branes serait identique `a celui dans les mousses tremp´ees. Les memmem-branes solides manqueraient seulement des bonnes propri´et´es pour aller jusqu’`a atteindre un ph´enom`ene de r´esonance, ce que nous ne manquerons pas d’´evoquer `a nouveau au prochain Chapitre, dans les perspectives.
Conclusions et perspectives
Nous revenons maintenant sur les principaux r´esultats obtenus au cours de la th`ese et sur les perspectives qui s’en d´egagent.
L’´etude exp´erimentale, dans la gamme de l’audible, des propri´et´es acoustiques de mousses liquides a montr´e leurs diff´erents m´ecanismes de dissipation du son. Contrairement `a ce qui avait ´et´e invoqu´e dans de pr´ec´edentes ´etudes, nous avons mis en ´evidence le fait que toute la dissipation ne peut pas s’expliquer par des effets ther-miques. D’autres pertes `a l’´echelle locale de la mousse, d’origine visqueuses, sont ´egalement `a prendre en compte (en plus de celles qui peuvent ˆetre li´ees aux conditions exp´erimentales, comme des frottements aux parois). Comprendre l’origine exacte de cette source d’att´enuation intrins`eque constitue l’une des perspec-tives de travail sur les mousses liquides.
De mani`ere assez surprenante, ce terme de dissipation qui reste `a explorer s’av`ere ˆetre d’un ordre de gran-deur comparable `a celui introduit de mani`ere ph´enom´enologique pour les mesures ultrasonores. Cela semble sugg´erer qu’un m´ecanisme similaire de dissipation dans les mousses liquides serait `a l’œuvre sur une tr`es large gamme de fr´equences.
Notre ´etude s’est ´egalement port´ee sur un constituant ´el´ementaire de la mousse : la membrane. Nous avons ainsi ´etudi´e `a l’´echelle locale la r´eponse acoustique d’une membrane unique, film de savon d’une part en lien avec les mousses liquides, et membrane ´elastique d’autre part pour le cas des mousses solides. Ces exp´eriences ont montr´e qu’une seule membrane ´etait d´ej`a source de dissipation acoustique. Nous avons quantifi´e cette derni`ere en fonction des caract´eristiques exp´erimentales, avec l’effet de la fr´equence, et de celles de la mem-brane, comme son ´epaisseur, son rayon et sa nature mˆeme. Un premier travail de mod´elisation a permis de capturer certaines des tendances observ´ees exp´erimentalement, et donne ´egalement des ordres de grandeur satisfaisants, mais il reste `a am´eliorer. Une piste envisag´ee serait d’explorer maintenant la vibration d’une membrane dans un milieu confin´e (comme un tube d’imp´edance) grˆace `a des simulations num´eriques. Inspir´es par les propri´et´es prometteuses des mousses liquides pour r´eduire le bruit, nous avons aussi ´etudi´e des mousses solides de polyur´ethane ayant des membranes. Nous avons r´ealis´e une comparaison syst´ematique entre ces mousses membranaires et des mousses `a la structure identique mais sans membranes. Nos r´esultats ont mis en ´evidence une am´elioration des performances acoustiques des mousses, aussi bien en absorption qu’en transmission, en pr´esence des membranes. Celles-ci ont un impact sur la densit´e effective de la mousse, que nous avons cherch´e `a comprendre. Nous avons pour cela suivi deux approches diff´erentes. D’une part, nous avons mis en œuvre des m´ethodes existantes qui permettent de pr´edire les propri´et´es de la mousse tout en consid´erant les membranes comme rigides et immobiles, avec une propagation se faisant exclusivement dans l’air, au sein des ouvertures dans les membranes. D’autre part, nous nous sommes appuy´es sur nos pr´ec´edents travaux sur les mousses liquides afin de proposer une approche originale dans laquelle la propa-gation est transmise au travers de la vibration des membranes. Cette approche permet bien de capturer le comportement effectif de la mousse, en particulier les effets sur la densit´e li´es aux membranes, moyennant l’introduction de deux param`etres ajustables, l’un de dissipation et l’autre d’´elasticit´e. Comprendre ces deux termes sera une ´etape n´ecessaire `a l’´elaboration d’un mod`ele moins ph´enom´enologique.
Une description plus compl`ete de la propagation au sein d’une mousse avec membranes serait ´egalement accomplie en combinant les deux approches pr´ec´edentes, c’est-`a-dire en consid´erant `a la fois la propagation
dans l’air via les ouvertures des membranes et en tenant ´egalement compte de la vibration des membranes. Les d´eveloppements th´eorique et num´erique de Venegas et Boutin (2017) d´edi´es aux mat´eriaux perm´eo-´elastiques, bien qu’ils ne puissent pas s’appliquer de mani`ere imm´ediate `a nos mat´eriaux, seraient un appui pr´ecieux.
Pour s’inscrire dans cette approche, les simulations num´eriques d´ej`a men´ees `a partir de la microstructure de la mousse, qui r´esolvent l’´ecoulement au sein du milieu, pourraient aussi ˆetre am´elior´ees de mani`ere `a laisser les membranes libres de vibrer.
Enfin, nous avons conduit une ´etude exploratoire sur des mousses interm´ediaires aux mousses liquides et aux mousses solides membranaires : des mousses solides aux membranes liquides. Grˆace `a celles-ci nous avons pu retrouver exp´erimentalement le ph´enom`ene de densit´e effective n´egative qui se produit dans les mousses liquides. Cela nous conforte dans la perspective d’obtenir de tels effets pour des mousses enti`erement solides, pour peu que l’on soit en mesure de fabriquer des mousses dont le squelette solide et tout particuli`erement les membranes aient les bonnes propri´et´es. Il faudrait en effet que les membranes soient suffisamment souples et d´eformables pour atteindre des ph´enom`enes de r´esonance. Ce travail de fabrication des mousses solides men´e en collaboration avec des physico-chimistes est d’ailleurs au cœur d’un projet de collaboration entre plusieurs laboratoires.
En attendant de fabriquer en laboratoire ces ´echantillons de mousse, il est toujours possible de compl´eter l’´etude actuelle sur les mousses solides `a notre disposition. De la mˆeme mani`ere que les mousses liquides ont ´et´e ´etudi´ees dans la gamme de l’audible et dans le domaine ultrasonore, l’´etude d´edi´ee aux mousses solides membranaires peut aussi ˆetre compl´et´ee par des mesures ultrasonores. Ce travail a d´ej`a d´ebut´e et se poursuivra, en collaboration avec l’Institut Jean Le Rond d’Alembert.
Pour mieux comprendre la propagation acoustique dans les mousses, les liens entre l’´etude d’une mem-brane unique et mˆeme plus g´en´eralement les ´etudes d´edi´ees aux constituants ´el´ementaires, et les propri´et´es macroscopiques de la mousse demeurent `a ´etablir. La th`ese y a apport´e sa brique de contribution, mais l’´edifice global en requiert encore d’autres.
Une perspective `a plus long terme serait ´egalement de pouvoir ´etablir un mod`ele g´en´eral des mousses, ca-pable de capturer `a la fois le comportement acoustique des mousses liquides et celui des mousses solides membranaires. Une fois un mod`ele obtenu pour ces derni`eres, il s’agirait donc de l’unifier `a celui des mousses liquides. L’unification des lois de la gravitation et de la physique quantique n’aurait alors pas le monopole de la “Th´eorie du Tout”, mais partagerait la vedette avec une “Th´eorie de Toute Mousse”. J’esp`ere sinc`erement que cette th´eorie verra le jour (si possible avec ce nom-l`a), et que j’y aurai, `a mon ´echelle, contribu´e.
Annexe A
Film de savon dansant
Lors du Chapitre 3, nous avons ´etudi´e la vibration d’une membrane unique dans le tube d’imp´edance, soumise `
a une sollicitation acoustique. Ce travail a inspir´e une exp´erience qui lui est proche, et qui constitue un pas de cˆot´e vers les interactions Arts et Sciences : le “film de savon dansant”. Son principe ressemble fortement au dispositif exp´erimental d´ecrit pendant la th`ese, avec `a l’une des extr´emit´es d’un tube un haut parleur, et `a l’autre extr´emit´e un film de savon. Le film, vertical, arbore une succession de franges color´ees dues aux interf´erences lumineuses et au drainage gravitaire du film qui entraˆıne un gradient d’´epaisseur. Plutˆot que d’´emettre un bruit blanc, on utilise le haut-parleur comme source de musique, `a des amplitudes relativement ´elev´ees. Le film de savon se met alors en vibration et danse au rythme de la musique, ses irisations allant jusqu’`a se m´elanger dans des vortex color´es.
Le caract`ere esth´etique de l’œuvre en fait un bon m´edium pour traiter d’un sujet scientifique, `a partir d’un objet qui n’est pas purement scientifique, mais ici ´egalement artistique. Cette exp´erience est d’une grande richesse pour pr´esenter divers ph´enom`enes physiques, qu’il s’agisse d’optique et d’interf´erences lumineuses, d’acoustique et de fr´equences de r´esonances, ou encore de la physico-chimie d’un film de savon. En plus de ces fondamentaux, elle peut ˆetre une mani`ere d’introduire le sujet de cette th`ese et d’aborder ensuite l’acoustique des mousses.
Facile `a transporter et `a mettre en œuvre, l’exp´erience du film de savon dansant peut ˆetre utilis´ee comme exp´erience de d´emonstration lors d’une fˆete de la science, d’un enseignement, ou d’un expos´e grand public dans un centre de sciences. En plus d’avoir d´ej`a ´et´e pr´esent´ee dans diff´erents contextes (acad´emique, artistique ou de culture scientifique), elle a fait l’objet d’une publication, que l’on reproduit ici :
Gaulon C., Derec C., Combriat T., Marmottant P. et Elias F. (2017). Sound and vision : visualization of music with a soap film. European Journal of Physics, 38(4) :045804
Sound and Vision: Visualization of music with a
soap film
C. Gaulon1, C. Derec1, T. Combriat2, P. Marmottant2 and F. Elias1,3
1Laboratoire Mati`ere et Syst`emes Complexes UMR 7057, Universit´e Paris Diderot, Sorbonne Paris Cit´e, CNRS, F-75205 Paris, France
2Laboratoire Interdisciplinaire de Physique LIPhy, Universit´e Grenoble Alpes and CNRS UMR 5588
3Sorbonne Universit´es, UPMC Univ Paris 06, 4 place Jussieu, 75252 PARIS cedex 05, France
E-mail: florence.elias@univ-paris-diderot.fr Accepted for publication in European Journal of Physics
Abstract. A vertical soap film, freely suspended at the end of a tube, is vibrated by a sound wave that propagates in the tube. If the sound wave is a piece of music,