Pente maximale asymptotique

on obtient−max

σ

logksk

σ,sup

≤C

1

n, qui implique

−logksk

σ

≤ −logksk

σ,sup

+¹

2^log(rgE

ⁿ

⁾≤C

1

n+¹

2^log(rgE

ⁿ

⁾

quel que soitσ∈Σ∞. D’apr`es la proposition 4.1.8, on obtient

b

µ

max

(E

n

)≤ − inf

06=s∈En

1

2^log

X

σ∈Σ∞

ksk

²σ

+¹

2^{log([K:Q] rgE}

ⁿ

^{) +}

log|∆

K

|

2[K:Q]

≤C

1

n+ log(rgE

n

) +^log|∆

K

|

2[K:Q] ^=O(n).

Le th´eor`eme 4.1.1 (voir aussi les remarques 4.1.3 et 4.1.4) conduit `a la convergence

de plusieurs invariants arithm´etiques associ´es auxE

n

.

Th´eor`eme 4.1.14. — Avec les notations ci-dessus,

1) la suite de polygones de Harder-Narasimhan (P

En

/n)

n≥1

converge uniform´ement

vers une fonction concave P

π

L

qui ne d´epend que deL;

2) les suites (µb

max

(E

n

)/n)

n≥1

et (bµ

min

(E

n

)/n)

n≥1

convergent respectivement vers

deux nombres r´eelsµb

π

max

(L)etµb

π

min

(L)qui ne d´ependent que deL;

3) on a

lim

n→+∞

(d+ 1)!

n

d+1

χ(E

n

,(k · k

σ,sup

)) = [K:Q](d+ 1)c

1

(L)

^d

P

L^π

(1).

En particulier, si L est arithm´etiquement ample,P

L^π

(1) = bc

1

(L)

d+1

[K:Q](d+ 1)c

1

(L)

d

.

D´emonstration. — Les lemmes 4.1.7 et 4.1.13 montrent que les fibr´es vectoriels

her-mitiensE

n

satisfont aux conditions du th´eor`eme 4.1.1, on obtient donc 1) et 2). Enfin,

l’´egalit´e lim

n→+∞

χ(E

n

)/nrgE

n

= [K:Q] lim

n→+∞

bµ(E

n

)/n(cf. la remarque 4.1.4infra)

et un r´esultat de Zhang ([38] Theorem 1.4) impliquent 3).

4.2. Pente maximale asymptotique

On garde les notations de §4.1.3. Dans le th´eor`eme 4.1.4 a ´et´e ´etablie l’existence

du polygone asymptotique P

π

L

et des pentes extr´emales asymptotiquesµb

π

max

(L) et

b

µ

π

min

(L). De plus, on a vu que la pente asymptotique µb

π

(L) := P

π

L

(1) est une

g´en´eralisation du nombre d’intersection normalis´e bc

1

(L)

d+1

/[K : Q](d+ 1)c

1

(L)

d

.

Dans cette section, on ´etudie l’interpr´etation g´eom´etrique de la pente maximale

asymptotiqueµb

π

74 CHAPITRE 4. APPLICATIONS

4.2.1. Sur-additivit´e de la pente maximale asymptotique. — On v´erifie que

la fonction µb

π

max

(L) d´efinie dans le th´eor`eme 4.1.14 est sur-additive par rapport `a

L. Dans la suite, siL est un fibr´e vectoriel hermitien surX tel queL

_K

soit ample.

On d´esigne parπ

∗(

L) = (π

∗

^L,(k · k

σ

)

σ:K→C) le

O

K

-module projectifπ

∗

^L muni des

m´etriques de L¨owner associ´ees aux normes k · k

σ,sup

. On rappelle que la m´etrique

k · k

σ

v´erifie les in´egalit´es

(57) ksk

σ

≤ ksk

σ,sup

≤p

rg(π

_∗

L)ksk

σ

.

Par d´efinition,

(58) µb

^π_max

(L) = lim

n→+∞

µb

max

(π

∗(

L

^⊗n

))/n.

Lemme 4.2.1. — SiL

₁

etL

₂

sont deux fibr´es inversibles hermitiens tels queL

_1,K

etL

_2,K

soient amples, alors

b

µ

max

(π

_∗

(L

₁

⊗L

₂

))≥µb

max

(π

_∗

(L

₁

)) +µb

max

(π

_∗

(L

₂

))−¹

2^log[K:Q]

−log(rgπ

∗

^L

1

)−log(rgπ

∗

^L

2

)−^log_[K^|∆_:

^K

^|

Q] ^.

(59)

D´emonstration. — Soient L

1

= L

_1,K

et L

2

= L

_2,K

. On note E

1

= H

0

(X, L

1

),

E

2

=H

0

(X, L

2

) etE=H

0

(X, L

1

⊗L

2

). D’apr`es (56), on a

b

µ

max

(π

_∗

(L

₁

⊗L

₂

))≥ ¹₂[K:Q]−logε(π

_∗

(L

₁

⊗L

₂

)).

Par d´efinition

−logε(π

_∗

(L

₁

⊗L

₂

)) =−¹

2

06=s

^inf

∈E

log X

σ:K→C

ksk

2 σ

≥ −¹

2

06=s

^inf

1∈E1 06=s2∈E2

log X

σ:K→C

ks

1

·s

2

k

2 σ

.

En utilisant la premi`ere in´egalit´e de (57), on obtient

−logε(π

∗(

L

₁

⊗L

₂

))≥ −¹₂ inf

06=s1∈E1 06=s2∈E2

log X

σ:K→C

ks

1

·s

2

k

²σ,sup

≥ −¹₂ inf

06=s1∈E1 06=s2∈E2

log X

σ:K→C

ks

1

k

²σ,sup

· ks

2

k

²σ,sup

≥ −¹₂ inf

06=s1∈E1 06=s2∈E2

log X

σ:K→C

ks

1

k

²σ,sup

+ log X

σ:K→C

ks

2

k

²σ,sup

D’apr`es la seconde in´egalit´e de (57),

−logε(π

∗(

L

₁

⊗L

₂

))≥ −¹₂ inf

06=s1∈E1

log X

σ:K→C

ks

1

k

²σ

−¹₂ inf

06=s2∈E1

log X

σ:K→C

ks

2

k

²σ

−¹₂ log(rgE

1

) + log(rgE

2

)

4.2. PENTE MAXIMALE ASYMPTOTIQUE 75

On en d´eduit (59) en s’appuyant sur (55).

Proposition 4.2.2. — Avec les notations du lemme 4.2.1, on a

(60) µb

^π_max

(L

₁

⊗L

₂

)≥µb

^π_max

(L

₁

) +µb

^π_max

(L

₂

).

D´emonstration. — D’apr`es le lemme 4.2.1, pour tout entier n≥1,

b

µ

max

(π

∗(

L

^⊗n 1

⊗L

^⊗n 2

))≥bµ

max

(π

∗

(L

^⊗n 1

)) +bµ

max

(π

∗(

L

^⊗n 2

))−log[K:Q]

−log(rgπ

∗

^L

1^⊗n

)−log(rgπ

∗

^L

2^⊗n

)−^log_[K^|∆_:

^K

^|

Q]

(61)

Si on divise les deux cˆot´es de (61) parnet passentendre vers l’infini, par passage `a

la limite on obtient (60).

Proposition 4.2.3. — Soient L un fibr´e inversible hermitien sur X tel que L

_K

sont amples, et M un fibr´e inversible hermitien surSpecO

K

. Alors

1) Pour tout entiern≥1,µb

π

max

(L

^⊗n

) =nµb

π max

(L),

2) µb

π

max

(L ⊗π

∗

M) =ddeg(M) +bµ

π max

(L).

D´emonstration. — 1) r´esulte de la d´efinition de µb

^π_max

(·), voir (58).

2) En effet, on aπ

∗((

L ⊗π

∗

(M))

⊗n

) =π

∗(

L

^⊗n

)⊗M

^⊗n

. Par cons´equent,

b

µ

max

(π

∗(

L ⊗π

^∗

(M))

^⊗n

) =bµ

max

(π

∗

(L

^⊗n

)) +nd_deg(M).

Par passage `a la limite on obtientµb

π

max

(L ⊗π

∗

M) =deg(d M) +µb

π max

(L).

4.2.2. Pente maximale asymptotique d’un fibr´e inversible hermitien

quel-conque. — La sur-additivit´e de bµ

π

max

obtenue dans le sous-paragraphe pr´ec´edent

permet d’´etendre le domaine de d´efinition de la fonctionµb

π

max

(L) `a l’espace de tous

les fibr´es inversibles hermitiens sur X. Dans le reste de la section, le symbole Θ

d´esigne l’espace des fibr´es inversibles hermitiensL surX tels que L

_K

soit ample.

D´efinition 4.2.4. — Soient L et L deux fibr´es inversibles hermitiens surX. On

suppose queL ∈Θ. Il existe alors un entier n

0

(L,L)>0 tel que L

K

⊗L

^⊗n

K

soit

ample quel que soitn≥n

0

(L,L). On d´efinit pour tout entiern≥n

0

(L,L),

A

n

(L,L) =µb

π

max

(L ⊗L

^⊗n

)−nµb

π max

(L).

Lemme 4.2.5. — Soient E et F deux O

X

-modules localement libres de rang fini.

Alors tout homomorphisme f : E

_K

→F

_K

se prolonge en un homomorphisme de E

vers F. Si de plus f est injectif, le prolongement peut ˆetre choisi injectif.

D´emonstration. — Soit η : SpecK → SpecO

K

le point g´en´erique. C’est un

mor-phisme plat. Soit X := X

_K

. On d´esigne par p : X → SpecK et q : X → X les

76 CHAPITRE 4. APPLICATIONS

morphismes canoniques, qui s’ins`erent dans un carr´e cart´esien:

X

^q

//

p

X

π

SpecK

_η

//SpecO

K

.

D’apr`es [23] III, 1.4.15, pour toutO

X

-module quasi-coh´erentG, l’homomorphisme

canonique η

^∗

π

∗

^G → p

∗

q

^∗

G est un isomorphisme. Par cons´equent, on a un

isomor-phisme canonique H

0

(X,G

_K

) ∼_{= H}

0

(X,G)

K

. Si E et F sont deux O

X

-modules

localement libres de rang fini, alors Hom

_OX

(E,F) s’identifie `a l’espace des sections

deE

∨

⊗F au-dessus deX. D’autre part,

Hom

_OX

(E

_K

,F

_K

)∼_=H

0

(X,E

_K^∨

⊗F

_K

) =H

0

(X,E

^∨

⊗F)

K

.

Par cons´equent, pour tout homomorphismef :E

_K

→F

_K

, il existe un ´el´ement

non-nula∈ O

K

tel quef se prolonge en un homomorphisme deE

_a

→F

_a

, autrement dit,

l’image de l’homomorphisme compos´e

E −→

^a

E −→q

∗

^E

K

−→q

∗

^F

K

est dansF. On obtient ainsi un homomorphisme deE versF. Cet homomorphisme

est injectif lorsquef est injectif.

Proposition 4.2.6. — Avec les notations de la d´efinition 4.2.4,

1) pour tout L ∈ Θ, la suite (A

n

(L,L))

n≥n0(L,L)

est croissante et converge vers

une limite dans R;

2) siM est un fibr´e inversible hermitien surSpecO

K

,L ∈Θ, alors

A

n

(L,L ⊗π

^∗

M) =A

n

(L,L)

quel que soit n≥n

0

(L,L);

3) siL

K

est ample, alors

b

µ

^π_max

(L) = inf

L∈Θ

lim

n→+∞

A

n

(L,L);

4) pour tout fibr´e inversible hermitien M surSpecO

K

,

d

deg(M) = inf

L∈Θ

lim

n→+∞

A

n

(π

^∗

(M),L).

D´emonstration. — 1) D’apr`es la proposition 4.2.2, pour tout entiern≥n

0

(L,L),

b

µ

π max

(L ⊗L

^⊗(n+1)

)≥µb

π max

(L ⊗L

^⊗n

) +bµ

π max

(L).

DoncA

n+1

(L,L)≥A

n

(L,L).

CommeL

_K

est ample, il existe un entierm≥1 et un homomorphisme injectif de

L

K

vers L

^⊗m

K

qui induit un homomorphisme injectif ϕ :L → L

^⊗m

(cf. le lemme

4.2.5infra). Pour toutn≥n

0

(L,L), l’homomorphismeϕinduit un homomorphisme

injectifϕ

n

:L⊗L

⊗n

→L

⊗(m+n)

. Soitψ

n

:H

0

(X,L

K

⊗L

^⊗n

K

)→H

0

(X,L

^⊗(m+n)

4.2. PENTE MAXIMALE ASYMPTOTIQUE 77

l’homomorphisme injectif des espaces de sections globales correspondant. D’apr`es

l’in´egalit´e de pentes (22), pour tout entieru≥1, on a

b

µ

max

(π

∗(

L

^⊗u

⊗L

^⊗un

))≤bµ

max

(π

∗(

L

^⊗u(n+m)

)) +h(ψ

_n^⊗u

).

Comme ψ

^⊗u

n

provient d’un homomorphisme de O

X

-modules, kψ

^⊗u

n

k

p

≤1 quel que

soitp∈Σ

f

. Siσ:K→Cest un plongement, alors

kψ

_n^⊗u

k

σ

≤ sup

x∈X_σ(C)

kϕ

^⊗_n,K^u

(x)k

σ

= sup

x∈X_σ(C)

kϕ

n,K

(x)k

^uσ

= sup

x∈X_σ(C)

kϕ

K

(x)k

^uσ

.

Par cons´equent,

b

µ

max

(π

∗(

L

^⊗u

⊗L

^⊗un

))≤µb

max

(π

∗(

L

^⊗u(n+m)

)) + ^u

[K:Q]

X

σ:K→C

logkϕ

K

k

σ,sup

.

Par passage `a la limite, on obtient que

b

µ

^π_max

(L ⊗L

^⊗n

)≤bµ

^π_max

(L

^⊗(m+n)

) + ¹

[K:Q]

X

σ:K→C

logkϕ

K

k

σ,sup

.

Autrement dit,

A

n

(L,L)≤mbµ

^π_max

(L) + ¹

[K:Q]

X

σ:K→C

logkϕ

K

k

σ,sup

.

Par cons´equent, la suite (A

n

(L,L))

n≥n0(L,L)

est born´ee sup´erieurement, donc

con-verge dansR.

2) En effet, pour toutn≥n

0

(L,L),

A

n

(L,L⊗π

^∗

(M)) =µb

^πmax

(L ⊗L

^⊗n

⊗π

^∗

(M

^⊗n

))−nbµ

^πmax

(L⊗π

^∗

(M)) =A

n

(L,L).

3) D’apr`es 1), A

n

(L,L) = bµ

π max

(L), donc bµ

π max

(L) ≥ inf

L∈Θ

lim

n→+∞

A

n

(L,L).

D’autre part, pour toutL ∈Θ,

A

n

(L,L)≥bµ

^π_max

(L) +bµ

^π_max

(L

^⊗n

)−nµb

^π_max

(L) =µb

^π_max

(L).

4) En effet, pour toutL ∈Θ,

A

n

(π

^∗

(M),L) =µb

^π_max

(π

^∗

(M)⊗L

^⊗n

)−nµb

^π_max

(L) =_deg(d _M).

D´efinition 4.2.7. — Avec les notations de la proposition 4.2.6, on appelle pente

maximale asymptotique arithm´etiquedeLrelativement `a πla valeur

b

µ

^π_max

(L) := inf

L∈Θ

lim

n→+∞

A

n

(L,L).

La proposition 4.2.6 3) montre que cette fonction g´en´eralise la fonction de la pente

maximale asymptotique, initialement d´efinie sur Θ.

78 CHAPITRE 4. APPLICATIONS

Lemme 4.2.8. — Soient L

₁

et L

₂

deux fibr´es inversibles hermitiens dans Θ. Si

f :L

₁

→L

₂

est un homomorphisme non-nul, on a

(62) bµ

max

(π

_∗

(L

^⊗₁ⁿ

))≤bµ

max

(π

_∗

(L

^⊗₂ⁿ

)) + ¹

[K:Q]

X

σ:K→C

sup

x∈X_σ(C)

logkf

K

(x)k

σ

.

D´emonstration. — Pour tout entier n ≥ 1, on d´esigne par ϕ

n

: H

0

(X

_K

,L

^⊗n

1,K

) →

H

0

(X

_K

,L

^⊗n

2,K

) l’homomorphisme induit parf

^⊗n

. D’apr`es l’in´egalit´e de pentes, on a

b

µ

max

(π

∗(

L

^⊗n 1

))≤µb

max

(π

∗(

L

^⊗n 2

)) + ¹

[K:Q]

X

σ:K→C

logkϕ

n

k

σ

≤µb

max

(π

∗(

L

^⊗n 2

)) + ¹

[K:Q]

X

σ:K→C

n sup

x∈Xσ(C)

logkf

K

(x)k

σ

.

Par passage `a la limite on obtient (62).

La proposition suivante montre que la fonction µb

π

max

prolong´ee pr´eserve les

pro-pri´et´e de la fonction initiale, comme par exemeple la sur-additivit´e.

Proposition 4.2.9. — SoientL,L

1

etL

2

trois fibr´es inversibles hermitiens surX,

M un fibr´e inversible hermitien surSpecO

K

. On a

1) µb

π max

(L

1

⊗ L

2

)≥µb

π max

(L

1

) +bµ

π max

(L

2

);

2) µb

π max

(L

^⊗n

) =nµb

π

max

(L)pour tout entier n≥1;

3) µb

π

max

(L ⊗π

∗

(M)) =µb

π

max

(L) +ddeg(M);

4) sif :L

1

→ L

2

est un homomorphisme non-nul, on a

b

µ

π max

(L

1

)≤µb

π max

(L

2

) + ¹

[K:Q]

X

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

logkf

K

(x)k

σ

.

D´emonstration. — Pour tout fibr´e inversible hermitien L sur X tel que X

_K

soit

ample, et tout entier m suffisamment grand, on a, d’apr`es la proposition 4.2.6 et le

lemme 4.2.8, que

A

2m

(L

1

⊗ L

2

,L)≥A

m

(L

1

,L) +A

m

(L

2

,L),

A

mn

(L

^⊗n

,L) =nA

m

(L,L),

A

m

(L ⊗π

^∗

(M),L) =A

m

(L,L) +_deg(d _M),

A

m

(L

1

,L)≤A

m

(L

2

,L) + ¹

[K:Q]

X

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

logkf

K

(x)k

σ

.

Par passage `a la limite, on obtient les (in)´egalit´es annonc´ees.

4.2.3. Pente maximale asymptotique d’un fibr´e vectoriel hermitien. —

La notion de pente maximale asymptotique peut s’´etendre naturellement pour tout

les fibr´es vectoriels hermitien sur X par passage aux faisceau canonique du fibr´e

projectif, muni des m´etriques de Fubini-Study.

4.2. PENTE MAXIMALE ASYMPTOTIQUE 79

D´efinition 4.2.10. — SoitE un fibr´e vectoriel hermitien surX. On appellepente

maximale asymptotique arithm´etiquerelativement `aπdeE la valeur

b

µ

^π_max

(E) :=µb

^πp_max

(O

E

(1)),

o`up:P(E)→X est le morphisme canonique et o`u les m´etriques surO

E

(1) sont des

m´etriques de Fubini-Study.

Proposition 4.2.11. — Avec les notations de la d´efinition 4.2.10, siE

K

est ample,

alors

b

µ

^π_max

(E) = lim

n→+∞

1

nbµ

max

(π

_∗

(S

ⁿ

E)).

D´emonstration. — Soitrle rang deE. Par d´efinition

b

µ

^π_max

(E) = lim

n→+∞

1

nµb

max

((πp)∗(O

E

(1))).

Pour tout entier n ≥1 et tout σ: K →C, on d´esigne park · k

σ,L2

la m´etrique L

2

surS

n

E

σ,C

par rapport `a la m´etrique de Fubini-Study surO

E

(1)

σ,C, et par

k · k

σ

la

m´etrique produit sym´etrique surS

n

E

σ,C. D’apr`es [7] Lemma 4.3.6, on a la relation

ksk

2 σ

=

_n+r

−1

n

ksk

2 σ,L2

pour toutx∈X

σ

(C) et touts∈x

^∗

(S

n

E). Par cons´equent, on a

b

µ

max

(π

∗(

S

ⁿ

E,(k · k

σ

))) =µb

max

(π

∗(

S

ⁿ

E,(k · k

σ,L2

)))−_2[K¹_:

Q]^log

n+r−1

n

.

Par passage `a la limite on obtient

b

µ

π max

(E) = lim

n→+∞

1

nbµ

max

(π

_∗

(S

n

E)).

4.2.4. Lien avec une condition d’annulation. — La n´egativit´e de la pente

maxi-male asymptotique d’un fibr´e inversible hermitien est li´ee `a l’absence de section globale

effective de certains fibr´es vectoriels hermitiens.

Proposition 4.2.12. — Soit L un fibr´e inversible hermitien sur X.

1) Si bµ

π

max

(L)>0, alors bµ

π

max

(L

^∨

)<0.

2) Si bµ

π

max

(L)<0, alors Ln’a pas de section effective;

3) µb

π

max

(L)≤0, alorsL n’a pas de section strictement effective;

4) siL est arithm´etiquement ample, alors bµ

π

max

(L)>0.

D´emonstration. — 1) Comme µb

π

max

(O

X

) = 0, d’apr`es la proposition 4.2.9 1), on a

b

µ

π max

(L) +µb

π max

(L

^∨

)≤0. Doncbµ

π max

(L)>0 implique µb

π max

(L

^∨

)<0.

2) D’apr`es la remarque 4.1.10,La une section effective si et seulement s’il existe un

homomorphisme non-nulf :O

X

→ Ltel que max

σ:K→C

sup

80 CHAPITRE 4. APPLICATIONS

la proposition 4.2.9 4), siLadmet une section effetive, alorsµb

π

max

(L)≥µb

π

max

(O

X

) =

0.

3) est similaire `a 2).

4) SoitM un fibr´e inversible hermitien sur SpecO

K

tel qued_{deg(M)>0. Comme}

Lest arithm´etiquement ample, il existen≥1 tel queπ

∗

(M

∨

)⊗ L

⊗n

ait une section

effective. Cela implique que

b

µ

^π_max

(π

^∗

(M

^∨

)⊗ L

^⊗n

) =nµb

^π_max

(L)−ddeg(M)≥0.

Doncµb

^π_max

(L)>0.

Lemme 4.2.13. — Soient L un fibr´e inversible hermitien arithm´etiquement

am-ple sur X et L un fibr´e inversible hermitien quelconque sur X. Pour tout ε > 0,

il existe un entier n ≥ 1 et un homomorphisme injectif ϕ : L → L

^⊗n

tel que

max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kϕ

σ,C(

x)k

σ

< ε.

D´emonstration. — On d´emontre d’abord le cas o`u L = O

X

. Comme L est

arithm´etiquement ample, il existe un entier m ≥ 1 tel que L

⊗m

ait une section

strictement effective. Soit ψ : O

X

→ L

^⊗m

l’homomorphisme correspondant `a la

section. D’apr`es la remarque 4.1.10, max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kψ

σ,C(

x)k

σ

<1. Par cons´equent,

il existe un entier p ≥ 1 tel que max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kψ

_σ,^⊗p_C

(x)k

σ

< ε. Autrement dit,

ϕ = ψ

^⊗p

: O

X

→ L

^⊗mp

v´erifie la condition dans l’assertion du lemme. Pour

le cas g´en´eral, comme L est ample, il existe un entier q ≥ 1 et un

homomor-phisme injectif η de L vers L

⊗q

. Soit α = max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kη

σ,C(

x)k

σ

. Soient

φ:O

X

→L

^⊗r

un homomorphisme injectif tel que max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kφ

σ,C(

x)k

σ

< ε/α

et ϕ = η ⊗φ. On a pour tout plongement σ : K → C, sup

x∈Xσ(C)

kϕ

σ,C(

x)k

σ

≤

sup

x∈Xσ(C)

kη

σ,C(

x)k

σ

sup

y∈Xσ(C)

kφ

σ,C(

y)k

σ

< ε.

Lemme 4.2.14. — SoientL un fibr´e inversible hermitien arithm´etiquement ample

sur X et E un fibr´e vectoriel hermitien sur X. Pour tout nombre ε > 0 il existe

deux entiers m, n ≥ 1 et un homomorphisme injectif ϕ : E → (L

^⊗n

)

⊕m

tel que

max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kϕ

σ,C(

x)k

σ

< ε.

D´emonstration. — CommeL est arithm´etiquement ample, le fibr´e inversibleL est

ample, donc il existe deux entiers p, m ≥1 et un homomorphisme injectif ψ : E →

(L

⊗p

)

⊕m

(cf. proposition 1.4.2 infra). Soient α= max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kψ

σ,C(

x)k

σ

et η :

O

X

→L

^⊗q

un homomorphisme injectif tels que max

σ:K→C

sup

4.2. PENTE MAXIMALE ASYMPTOTIQUE 81

queϕ=ψ⊗η:E→(L

⊗(p+q)

)

⊕m

. On a, pour toutσ:K→C, sup

x∈Xσ(C)

kϕ

σ,C(

x)k

σ

<

ε.

Remarque 4.2.15. — Si on combine le lemme 4.2.14 et le lemme 4.1.13, on obtient

que, pour tout fibr´e inversible hermitien Lsur X et tout fibr´e vectorielE surX, il

existe une constanteCtelle que, pour tout entierD≥1, on aitbµ

max

(π

∗(

E ⊗ L

^⊗D

))≤

CD. C’est une g´en´eralisation de la proposition 4.1.13.

D´efinition 4.2.16. — SoitE un fibr´e inversible hermitien surX. On dit queE est

faiblement positif si, pour tout fibr´e inversible hermitienLsurX, il existeλ >0 tel

que, pour tout entier D > λet tout entiern > λD, on aitε(π

∗(

E

^∨⊗n

⊗ L

^⊗D

))>1,

o`uεest la fonction d´efinie dans (54).

Dans la suite, on pr´esente quelques formes ´equivalentes de la condition de positivit´e

faible.

Proposition 4.2.17. — Soit E un fibr´e inversible hermitien sur X. Les conditions

suivantes sont ´equivalentes:

1) pour tout fibr´e inversible hermitien L et tout fibr´e vectoriel hermitien F surX,

il existe λ >0 tel que, pour tout entierD > λ et tout entier n > λD, on ait

ε(π

_∗

(E

^∨⊗n

⊗ L

^⊗D

⊗ F))>1;

2) E est faiblement positif;

3) il existe un fibr´e inversible hermitienL arithm´etiquement ample surX, un

nom-bre λ >0tel que, pour tout entier D > λet tout entier n > λD, on ait

ε(π

∗

(E

^∨⊗n

⊗L

^⊗D

))>1.

D´emonstration. — “1)=⇒2)=⇒3)” sont triviaux.

“3)=⇒1)”: D’apr`es les lemmes 4.2.13 et 4.2.14, il existe trois entiers p, q, r ≥ 1

ainsi que deux homomorphismes injectifs ϕ: F → (L

^⊗p

)

⊕r

et ψ : L → L

^⊗q

tels

que max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kϕ

σ,C(

x)k

σ

<1 et max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kψ

σ,C(

x)k

σ.

<1. Pour tout entier

D≥1, l’homomorphisme injectifφ

D

=ψ

⊗D

⊗ϕdeL

⊗D

⊗Fvers (L

^⊗(Dq+p)

)

⊕r

est tel

que max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kφ

σ,C(

x)k

σ

<1. D’apr`es 3) il existeλ >0 tel que, pour tout entier

D > λet tout entier n > λD, on aitε(π

_∗

(E

^∨⊗n

⊗L

^⊗(Dq+p)

))>1. Par cons´equent,

on a ε(π

_∗

(E

^∨⊗n

⊗L

^⊗(Dq+p)

)

⊕r

) > 1. Comme max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kφ

σ,C(

x)k

σ

< 1, on

obtientε(π

∗(

E

^∨⊗n

⊗ L

^⊗D

⊗ F))>1.

Dans le th´eor`eme qui suit est pr´esent´e un crit`ere de la condition de positivit´e

faible par la n´egativit´e de la pente maximale asymptotique du dual du fibr´e inversible

82 CHAPITRE 4. APPLICATIONS

hermitien. Lorsque la fibre g´en´erique du fibr´e est n´egative, c’est-`a-dire que la positivit´e

verticale est exclue, alors ces deux conditions sont ´equivalentes.

Th´eor`eme 4.2.18. — Soit L unO

X

-module inversible hermitien. Si µb

π

max

(L

^∨

)<

0, alorsL est faiblement positif. La r´eciproque est vraie lorsqueL

∨

K

est ample.

D´emonstration. — “N´ecessit´e”: Commeµb

π

max

(L

^∨

)<0, il existe une constanteε >0

et un fibr´e inversible hermitien L sur X qui est arithm´etiquement ample tels que

A

m

(L

^∨

,L) ≤ −ε pour tout entier m suffisamment grand. En remplacant L par

une puissance convenable on peut supposer queµb

π

max

(L

^∨

⊗L)≤µb

π

max

(L)−ε. Soit

λ > ε

⁻¹

bµ

^π_max

(L) une constante. Pour tout entierD≥1 et tout entiern > λD, on a,

d’apr`es la proposition 4.2.9,

(n−D)µb

π max

(L) +µb

π max

(L

^∨⊗n

⊗L

^⊗D

)≤µb

π max

((L

^∨

⊗L)

^⊗n

)≤n(µb

π max

(L)−ε).

Par cons´equent,

b

µ

^π_max

(L

^⊗n

⊗L

^⊗D

)≤Dµb

^π_max

(L)−nε <0.

DoncL

^∨⊗n

⊗L

^⊗D

n’a pas de section effective.

“Suffisance”: SoitMun fibr´e inversible hermitien sur SpecO

K

tel quedeg(dM)>0.

Il existe une constanteλ >0 tel que, pour tout entierD > λet tout entier n > λD,

on aitε(π

∗(

L

^∨⊗n

)⊗π

∗

(M

^⊗D

))>1, et donc

b

µ

max

(π

∗(

L

^∨⊗n

⊗π

^∗

(M

^⊗D

))) =µb

max

(π

∗(

L

^∨⊗n

)) +Dd_deg(M)

≤ ¹

2^log(rg

^Z

^(π

^∗

⁽L

^∨⊗n

))) +^log|∆

K

|

2[K:Q]^.

(63)

Soit (D

n

)

n≥1

une suite telle que

i) D

n

> λ pour tout entiern≥1;

ii) D

n

< n/λpournsuffisamment grand;

iii) lim

n→+∞

n

D

n

=λ.

D’apr`es (63), pour tout entiern≥1,

1

nµb

max

(π

_∗

(L

^∨⊗n

)) +^D

ⁿ

n deg(dM)≤ ¹

2n^log(rg

^Z

^(π

^∗

⁽L

^∨⊗n

))) + ^log|∆

K

|

2n[K:Q]^.

Par passage `a la limite on obtientµb

π

max

(L

^∨

)≤ −λ

−1

deg(d M)<0.

La condition de positivit´e faible implique (est donc ´equivalente `a) une condition

de coissance exponentielle de la norme du plus petit vecteur.

Proposition 4.2.19. — Soient L et L deux fibr´es inversibles hermitiens sur X.

Si L est faiblement positif, alors il existe deux nombres r´eelsa, λ

′

>0 tels que, pour

tout entierD > λ

′

et tout entier n > λ

′

D, on ait ε(π

∗(

L

^∨⊗n

⊗L

^⊗D

))≥e

an

.

4.2. PENTE MAXIMALE ASYMPTOTIQUE 83

D´emonstration. — D’apr`es le lemme 4.2.13, il suffit de d´emontrer la proposition pour

le cas o`u L et L ⊗L admettent au moins une section effective. Soit M un fibr´e

inversible hermitien sur SpecO

K

tel que deg(d M) > 0. Comme L est faiblement

positif, il existeλ >0 tel que, pour tout entierD > λet tout entiern > λD, on ait

ε(π

∗(

L

^∨⊗n

⊗L

^⊗D

⊗π

^∗

(M)

^⊗D

))>1.

On fixe maitenant deux entiers D

0

> λ et n

0

> λD

0

. Pour tout entier n > 0 on

observe que

ε(π

_∗

(L

^∨⊗nn0

⊗L

^⊗nD0

⊗π

^∗

(M)

^⊗nD0

))>1.

On en d´eduit

b

µ

max

(π

∗(

L

^∨⊗nn0

⊗L

^⊗nD0

))

=µb

max

(π

∗(

L

^∨⊗nn0

⊗L

^⊗nD0

⊗π

^∗

(M)

^⊗nD0

))−nD

0

_deg(d_M)

≤ −nD

0

ddeg(M) +¹

2^log(rg

^Z

^(π

^∗

⁽L

^∨⊗nn0

⊗L

^⊗nD0

))) +^log|∆

K

|

2[K:Q]^.

Par passage `a la limite on obtient

lim

n→+∞

1

nµb

max

(π

∗(

L

^∨nn0

⊗L

^⊗nD0

)) =− lim

n→+∞

1

n^logε(π

^∗(

L

^∨nn0

⊗L

^⊗nD0

))

≤ −D

0

deg(d M).

Par cons´equent, il existe un nombre r´eela >0 et un entier n

1

≥1 tels que

ε(π

∗(

L

^∨nn0

⊗L

^⊗nD0

))≥e

^an

pour tout entier n ≥n

1

. CommeL a une section effective, et comme il existe un

homomorphismeφdeL

^∨

versL tel que max

σ:K→C

sup

x∈X_σ(C)

kφ

σ,C(

x)k

σ

≤1, on obtient

ε(π

∗(

L

^{∨⊗(nn0+l)}

⊗L

^⊗D

))≥e

^an

pour tout entierD

0

≤D≤nD

0

et tout entier 0≤l≤nD

0

−D. On note

λ

0

= max

n

0

,ⁿ

⁰

ⁿ

¹

D

0

, ⁿ

2 0

D

2 0

+ ⁿ

⁰

D

0

Pour tout entier D ≥ D

0

et tout entier m ≥ λ

0

D, on a ε(π

_∗

(L

^∨⊗m

⊗L

^⊗D

)) ≥

e

am/(n0+1)

puisque dans ce cas-l`a, il existe deux entiers n ≥ n

1

et 0 ≤ l < n

0

≤

nD

0

−D tels quem=nn

0

+l.

La proposition 4.2.19 sugg`ere la g´en´eralisation suivante de la condition de positivit´e

faible pour un fibr´e vectoriel hermitien.

D´efinition 4.2.20. — Soit E un fibr´e vectoriel hermitien sur X. On dit que E

est faiblement positifsi, pour tout fibr´e inversible hermitienL surX, il existe deux

nombres r´eelsa, λ >0 tels que, pour tout entierD > λet tout entiern≥λD, on ait

84 CHAPITRE 4. APPLICATIONS

Remarque 4.2.21. — On peut proposer une autre condition en faisant une

g´en´eralisation na¨ıve de la d´efinition 4.2.16 au cas de fibr´e vectoriel hermitien.

Cer-tainement cette condition est plus faible que celle dans la d´efinition 4.2.20. Mais il

n’est pas claire, au moins pour l’auteur, que l’analogue de la proposition 4.2.19 est

encore valable pour le cas de rang>1.

La proposition suivante est un analogue au cas de rang sup´erieure de la proposition

4.2.17.

Proposition 4.2.22. — Les conditions suivantes sont ´equivalentes:

1) pour tout fibr´e inversible hermitienL et tout fibr´e vectoriel hermitienF surX il

existe deux nombres r´eels a, λ >0 tel que, pour tout entierD > λ et tout entier

n≥λD, on ait

ε(π

∗(

S

ⁿ

E

^∨

⊗ L

^⊗D

⊗ F))> e

^an

;

2) E est faiblement positif;

3) il existe un fibr´e inversible hermitien L arithm´etiquement ample sur X, deux

nombresa, λ >0 tels que, pour tout entier D > λet tout entier n≥λD, on ait

ε(π

∗(

S

ⁿ

E

^∨

⊗L

^⊗D

))> e

^an

.

D´emonstration. — “1)=⇒2)=⇒3)” sont triviaux.

“3)=⇒1)”: D’apr`es les lemmes 4.2.13 et 4.2.14, il existe trois entiers p, q, r ≥ 1

ainsi que deux homomorphismes injectifs ϕ: F → (L

^⊗p

)

⊕r

et ψ : L → L

^⊗q

tels

que max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kϕ

σ,C(

x)k

σ

<1 et max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kψ

σ,C(

x)k

σ

<1. Pour tout entier

D≥1, l’homomorphismeφ

D

=ψ

⊗D

⊗ϕdeL

⊗D

⊗Fvers (L

^⊗(Dq+p)

)

⊕r

est injectif, et

max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kφ

D,σ,C(

x)k

σ

<1. D’apr`es 3) il existea, λ >0 tels que, pour tout entier

D > λet tout entiern > λD, on aitε(π

_∗

(S

n

E

^∨

⊗L

^⊗(Dq+p)

))> e

an

. Par cons´equent,

on a ε(π

∗(

S

n

E

^∨

⊗L

^⊗(Dq+p)

)

⊕r

)> e

an

. Comme max

σ:K→C

sup

x∈Xσ(C)

kφ

σ,C(

x)k

σ

<1, on

obtientε(π

∗(

S

n

E

^∨

⊗ L

^⊗D

⊗ F))> e

an

.

Lemme 4.2.23. — Soit p:Y →X un sch´ema projectif et plat sur X tel que Y

_K

soit lisse sur SpecK et ´equidimensionnel de dimension d. Soit de plus L un fibr´e

inversible hermitien sur Y tel que L soit ample relativement `a p et tel que, pour

chaque pointy∈X(C),c

1

(L|

p−1(y)

)soit strictement positive. Alors il existe un fibr´e

inversible hermitien M surX tel queL ⊗p

∗

(M)soit arithm´etiquement ample.

D´emonstration. — CommeX est projectif sur SpecO

K

, il existe un fibr´e inversible

hermitien M

1

tel que M

1

soit ample et tel que c

1

(M

1

) soit strictement positive.

Apr`es avoir tordu L par une puissance tensorielle de p

∗

M

1

on peut supposer que

L soit ample et que c

1

(L) soit strictement positive. Comme L est ample, il existe

une puissance L

⊗n

de L qui est engendr´ee par ses sections au-dessus de Y. Plus

4.2. PENTE MAXIMALE ASYMPTOTIQUE 85

pr´ecis´ement, il existe m sections (s

i

)

1≤i≤m

de L

^⊗n

surY tel que l’homomorphisme

(s

i

)

1≤i≤m

: O

^⊕Y^m

−→ L

^⊗n

soit surjectif. On d´esigne par hla famille des m´etriques

hermitiennes surL

⊗n

qui proviennent par produit tensoriel de celles deL. Sia >0 est

un nombre r´eel, on d´esigne parh

a

la famille des m´etriques hermitiennes surL

⊗n

qui

proviennent de celles deL ⊗p

^∗

(O

X

,(k · k

σ,a

)

σ:K→C), o`

uk1

x

k

σ,a

=aquels que soient

x∈X(C) etσ:K →C. On a la relationks(x)k

σ,a

=a

n

ks(x)k

σ

quelle que soit la

sections deL

⊗n

. Quitte `a choisir una assez petit, on peut supposer les sectionss

i

strictement effective. Cela montre que le fibr´e vectoriel hermitienL⊗p

∗

(O

X

,(k·k

σ,a

))

est arithm´etiquement ample compte tenu de la remarque 4.1.12.

Remarque 4.2.24. — Le lemme 4.2.23 montre en particulier que il existe au moins

un fibr´e inversible arithm´etiquement ample sur X. En effet, comme le morphisme

π:X →SpecO

K

est projectif, il existe un faisceau inversible ampleL surX. Par

cons´equent, pour tout plongement σ de K dans C, L

σ,C

est un faisceau inversible

ample surX

_σ

(C). En rempla¸cantLpar l’une de ses puissances tensorielles on peut

supposer que L soit tr`es ample. On choisit un produit hermitien quelconque sur

V

σ

= H

0

(X

_σ

(C),L

σ,C). L’image r´eciproque de la m´etrique de Fubini-Study par

le plongement canonique de X

_σ

(C) dans P(V

σ

) donne une m´etrique hermitienne

strictement positive sur L

σ,C. Enfin, si on applique le lemme 4.2.23 au morphisme

π : X → SpecO

K

, on obtient l’existence d’un fibr´e inversible hermitien M sur

SpecO

K

tel que π

^∗

M⊗ Lsoit arithm´etiquement ample.

La proposition suivante montre que la condition de positivit´e faible d’un fibr´e

vectoriel hermitienE est ´equivalente `a la mˆeme condition du dual du fibr´e canonique

deP(E

^∨

) muni des m´etriques de Fubini-Study. Ce r´esultat nous permet de ramener

l’´etude de cette condition au cas de fibr´e inversible hermitien.

Proposition 4.2.25. — Soit E un fibr´e vectoriel hermitien surX. On d´esigne par

L le fibr´e inversibleO

E∨

(−1) surP(E

^∨

), muni de les m´etriques duales des m´etriques

de Fubini-Study surO

E∨

(1). Alors E est faiblement positif sur X si et seulement si

L est faiblement positif surP(E

∨

).

D´emonstration. — Soientp:P(E

∨

)→X le morphisme canonique etrle rang deE.

“⇐=”: On suppose queM est unO

X

-module inversible hermitien. CommeL est

faiblement positif, il existe deux nombresa, λ >0 tels que, pour tout entierD > λet

tout entiern > λD, on ait

ε((πp)∗(L

^∨⊗n

⊗p

^∗

(M)

^⊗D

)> e

^an

.

Par cons´equent

ε(π

∗(

S

ⁿ

E

^∨

⊗M

^⊗D

)) =

n+r−1

n

1 2

ε((πp)∗(L

^∨⊗n

⊗p

^∗

(M)

^⊗D

)> e

^an

.

86 CHAPITRE 4. APPLICATIONS

“=⇒”: Le faisceauL

∨

=O

E∨

(1) est ample relativement `ap. De plus, les m´etriques

de Fubini-Study sur L

^∨

sont strictement positives sur les fibres. Par cons´equent,

il existe un fibr´e vectoriel hermitien M sur X tel que L := L

^∨

⊗p

∗

(M) soit

arithm´etiquement ample (cf. lemme 4.2.23infra).

CommeEest faiblement positif, il existe deux nombre r´eelsa, λ >0 tels que, pour

tout entierD > λ et tout entiern > λD, on ait

ε(π

∗(

S

ⁿ

E

^∨

⊗M

^⊗D

))> e

^an

.

Autrement dit,

ε((πp)∗(L

^∨⊗n

⊗p

^∗

(M)

^⊗D

)) =ε((πp)∗(L

^{∨⊗(n−D)}

⊗L

^⊗D

))> e

^an

n+r−1

n

−1 2

.

Soitn

0

∈Ntel que, pour toutn > n

0

, on ait

e

^an

_n+r

−1

n

−1 2

>1.

Soitλ

′

= max(n

0

, λ), alors pour tout entier D > λ

′

et n > λ

′

Don a

Dans le document Convergence des polygones de Harder-Narasimhan (Page 82-95)