Filtration et polygone de Harder-Narasimhan

Remarque 2.1.11. — 1) Dans [14] theorem 1.1, l’auteur a montr´e que

b

µ

max

(E

1

⊗ · · · ⊗E

n

)≤

n

X

i=1

b

µ

max

(E

i

) + log(rgE

i

)

.

Si on applique ce r´esultat `a la famille (E

^∨_i

)

1≤i≤n

, en s’appuyant sur l’´egalit´e

b

µ

max

(E

^∨

) =−bµ

min

(E), on obtient (27).

2) Dans [14], les estimations sont obtenus dans le cadre des fibr´es vectoriels

her-mitiens sur SpecO

K

, mais ces estimations reste valables pour le cas g´en´eral des

fibr´es ad´eliques hermitiens avec le mˆeme terme d’erreur. En effet, il s’agit l`a d’un

argument dans la th´eorie classique des invariants et de l’in´egalit´e de pentes, qui

sont tous les deux valables dans le cadre ad´elique.

2.1.6. Comparaison des fibr´es vectoriels ad´eliques aux fibr´es ad´eliques

her-mitiens. — SoitV un espace vectoriel de rang fini et non-nul surC. Soitr= rg(V).

Les normes sur V se comparent aux normes hermitiennes via l’ellipso¨ıde de Johnet

l’ellipso¨ıde de L¨owner(cf. [19] d´efinition-th´eor`eme 2.4, voir aussi [37] Page 84). Plus

pr´ecis´ement, si k · k est une norme surV, alors il existe deux normes hermitiennes

k · k

John

etk · k

L¨owner

telles que

(28) √¹

rkxk

John

≤ kxk ≤ kxk

John

, et kxk

L¨owner

≤ kxk ≤^√rkxk

L¨owner

quel que soit x ∈ V. On en d´eduit la comparaison suivante des fibr´es vectoriels

ad´eliques aux fibr´es ad´eliques hermitiens :

Proposition 2.1.12. — SoitE un fibr´e vectoriel ad´elique de rangr >0surSpecK.

Il existe deux fibr´es ad´eliques hermitiensE

John

etE

L¨owner

dont les espaces vectoriels

sous-jacents s’identifient tous `aE et tels que,

1) la hauteur de l’application d’identit´e E→E

John

est contenue dans[0,log√

r];

2) la hauteur de l’application d’identit´eE→E

L¨owner

est contenue dans[−log√

r,0].

D´emonstration. — On suppose E = (E,(k · k

v

)). Pour tout p ∈Σ

f

, soient k · k

′

p

=

k·k

′′

p

=k·k

p

. Sivest une place infinie, on notek·k

′

v

=k·k

v,John

etk·k

′′

v

=k·k

v,L¨owner

.

Enfin, soientE

John

= (E,(k · k

^′v

)) etE

L¨owner

= (E,(k · k

^′′v

)). La proposition r´esulte

alors des in´egalit´es dans (28).

2.2. Filtration et polygone de Harder-Narasimhan

Dans cette section, on rappelle d’abord la notion de semi-stabilit´e et celle du

dra-peau de Harder-Narasimhan pour un fibr´e ad´elique hermitien, puis introduit la

filtra-tion de Harder-Narasimhan index´ee parR. Un lien explicite avec la notion classique

est ensuite ´etabli.

30 CHAPITRE 2. FILTRATIONS DE HARDER-NARASIMHAN

2.2.1. Semi-stabilit´e et drapeau de Harder-Narasimhan. — On dit qu’un

fibr´e ad´elique hermitien non-nul E est semi-stable si µb

max

(E) =µb(E), ou de fa¸cont

´equivalente,µb

min

(E) =µb(E).

D’apr`es [19] Proposition 5.3, il n’y a qu’un nombre fini de sous-espaces non-nulsF

deE tel que bµ(F) =µb

max

(E). D’autre part, siF

1

etF

2

sont deux tels sous-espaces,

alors la suite exacte courte

0 //F

1

∩F

2

^//F

1

⊕F

2

^//F

1

+F

2

^//0

implique que

d

deg

_n

(F

1

+F

2

) =_degd

_n

_(F

₁

_{) +deg}d

_n

_(F

₂

_)−degd

_n

_(F

₁

_∩F

₂

₎

≥µb

max

(E)(rgF

1

+ rgF

2

−rg(F

1

∩F

2

)),

et on obtient donc bµ(F

1

+F

2

) =µb

max

(E). Cela montre l’existence d’un plus grand

sous-espace E

des

de E tel que µb(E

des

) = µb

max

(E). Par d´efinition, E

des

est

semi-stable, et E

des

=E si et seulement si E est semi-stable. Si ce n’est pas le cas, on

dit queE

des

est le sous-fibr´e ad´elique hermitien quid´estabiliseE. Par r´ecurrence on

obtient un drapeau deE :

(29) E=E

0

)E

1

)· · ·)E

d

= 0

tel queE

i

/E

i+1

= (E/E

i+1

)

des

quel que soiti∈ {0,· · ·, d−1}. Ce drapeau est appel´e

le drapeau de Harder-Narasimhan de E. Par d´efinition, les sous-quotientsE

i

/E

i+1

sont semi-stables. En outre, si on noteµ

i

=µb(E

i

/E

i+1

), alors on a les (in)´egalit´es :

(30) µb

min

(E) =µ

0

< µ

1

<· · ·< µ

d−1

=µb

max

(E).

Les nombresµ

i

sont appel´es les pentes successives deE.

2.2.2. Filtration de Harder-Narasimhan. — La donn´ee du drapeau de

Harder-Narasimhan (29) et des pentes successives (30) d´eterminent une R-filtration not´ee

F

E

de E telle que F

s^E

E = [

0≤i<d, µi≥s

E

i

(cf. §1.2.1 infra), appel´ee la filtration de

Harder-NarasimhandeE. Par d´efinition, on a

(31) λ

min

(F

^E

) =µb

min

(E) et λ

max

(F

^E

) =bµ

max

(E),

o`uλ

min

etλ

max

sont d´efinies dans (3).

SiE= 0, alors par conventionF

⁰

est l’unique filtration de l’espace nul. Les ´egalit´es

dans (31) sont encore valides.

Proposition 2.2.1. — Pour touts∈R,µb

min

(F

E

s

E)≥s.

D´emonstration. — La proposition est ´evidente siF

E

s

E= 0. Dans la suite, on suppose

queF

E

s

est non-nul, d’o`u l’espaceEest lui-mˆeme non-nul. Soit le drapeau de

Harder-Narasimhan deE comme dans (29). Soiti∈ {0,· · ·, d} tel queF

E

2.2. FILTRATION ET POLYGONE DE HARDER-NARASIMHAN 31

F

E

s

est non-nul,i < d. Le drapeauE

i

)E

i+1

)· · ·)E

d

est le drapeau de

Harder-Narasimhan de E

i

. Doncµb

min

(E

i

) =µ

i

≥s.

Proposition 2.2.2. — SoientE et F deux fibr´es ad´eliques hermitiens. Siϕ:E→

F est une application K-lin´eaire, alorsϕ(E)est contenue dansF

_bµ^F_{min(E)−h(ϕ)}

F.

D´emonstration. — Le cas o`u ϕ= 0 est trivial. On suppose alors que ϕest non-nul.

Soit F = F

0

) F

1

) · · · )F

m

= 0 le drapeau de Harder-Narasimhan de F. Soit

i le plus grand indice dans {0,· · ·, m} tel que ϕ(E) ⊂ F

i

. Comme ϕ est non-nul,

i < m. Soitψl’homomorphisme compos´e E

^ϕ

//F

i

^//F

i

/F

i+1

o`u la derni`ere

fl`eche est la projection canonique. L’homomorphismeψest non-nul car l’image deE

parϕn’est pas contenue dansF

i+1

. Par l’in´egalit´e de pentes (proposition 2.1.9 3)),

on obtient

b

µ

min

(E)≤µb

max

(F

i

/F

i+1

) +h(ϕ) =µb(F

i

/F

i+1

) +h(ϕ).

On en d´eduitF

i

=F

F

b

µ(Fi/Fi+1)

F⊂ F

F

b

µmin(E)−h(ϕ)

F.

Corollaire 2.2.3. — Pour tout fibr´e ad´elique hermitien non-nulE, on a

(32) F

s^E

E= X

06=F⊂E

b

µmin(F)≥s

F.

D´emonstration. — D’une part, la proposition 2.2.2 montre que, si F ⊂ E est un

sous-espace non-nul tel queµb

min

(F)≥s, alorsF est contenu dansF

E

s

E, sachant que

l’application d’inclusion deF dansEest de hauteur negative ou nulle. D’autre part,

la proposition 2.2.1 affirme queµb

min

(F

E

s

E)≥s. Donc F

E

s

E est en fait le plus grand

sous-espaceGdeE tel queµb

min

(G)≥s, d’o`u (32).

La proposition suivante compare les filtrations de Harder-Narasimhan de deux

fibr´es ad´eliques hermitiens.

Proposition 2.2.4. — SoientE etF deux fibr´es ad´eliques hermitiens sur SpecK.

Soit ϕ:E→F une application K-lin´eaire. Alors, pour touts∈R, l’image deF

E

s

E

par ϕest contenu dansF

F

s−h(ϕ)

F. Autrement dit, λ

_FF

(ϕ(x))≥λ

_FE(

x)−h(ϕ)quel

que soit x∈E.

D´emonstration. — D’apr`es la proposition 2.2.1, µb

min

(F

E

s

E) ≥ s. On obtient donc

ϕ(F

E

s

E)⊂ F

F

s−h(ϕ)

F compte tenu de la proposition 2.2.2.

D´efinition 2.2.5. — On d´esigne parν

_E

la mesureν

_FE, appel´ee la

mesure associ´ee

`

aE. SiE est non-nul, alorsν

_E

est une mesure de probabilit´e.

Corollaire 2.2.6. — SiE etE

^′

sont deux fibr´es ad´eliques hermitiens et si ϕ:E→

E

′

est un isomorphisme d’espaces vectoriels surK, alorsτ

_−h(ϕ)

ν

_E′

≻ν

_E

.

32 CHAPITRE 2. FILTRATIONS DE HARDER-NARASIMHAN

D´emonstration. — C’est une cons´equence de la proposition 2.2.4 et du lemme 1.2.6.

2.2.3. Polygone de Harder-Narasimhan. — Etant donn´e un fibr´e ad´elique her-^´

mitien non-nulE, on d´esigne parP

E

la fonction d´efinie sur [0,1] dont le graphe est

l’enveloppe convexe des points_rgF

rgE^,µb(F)

, o`u F parcourt tous les sous-espaces de

E. La fonctionP

E

est un polygone, appel´e lepolygone de Harder-Narasimhan

(nor-malis´e) de E. Si le drapeau de Harder-Narasimhan de E est (29) et si les pentes

successives deE sont comme dans (30), alors les sommets deP

E

sont de coordonn´es

rgEi

rgE

,bµ(E

i

)

, et les pentes de P

E

co¨ıncident avec les µ

i

. On en d´eduit donc la

proposition suivante :

Proposition 2.2.7. — Le polygone de Harder-Narasimhan normalis´e deEco¨ıncide

avec P(ν

_E

), le polygone associ´e `a la mesureν

_E

d´efini dans §1.2.5.

Remarque 2.2.8. — Classiquement le polygone de Harder-Narasimhan deEest par

d´efinition la fonction_Pe

_E

d´efinie sur [0,rgE] dont le graphe est l’enveloppe convexe des

points (rgF,d_deg

_n

_{(F)), o`uFparcourt tous les sous-espaces vectoriels deE. Autrement}

dit, on a la relationP

E

(t) =_Pe

_E

(trgE)/rgE. La version normalis´ee du polygone de

Harder-Narasimhan a deux avantages. Premi`erement, les valeurs de P

E

repr´esente

diff´erentes pentes de E, qui sont plus courrament utilis´ees que les degr´es dans la

m´ethode des pentes. Deuxi`emement, les polygones de Harder-Narasimhan normalis´es

sont tous d´efinis sur le mˆeme intervalle [0,1], cela donne la possibilit´e de comparer les

polygones de diff´erents fibr´es ad´eliques hermitiens. La proposition 2.2.7 nous permet

d’utiliser les mesures `a ´etudier les polygones de Harder-Narasimhan.

Corollaire 2.2.9. — SiE etE

^′

sont deux fibr´es ad´eliques hermitiens et si ϕ:E→

E

^′

est un isomorphisme d’espaces vectoriels surK, alorsP

E

(t)≤ P

E^′

(t)−h(ϕ)t.

D´emonstration. — On aP(τ

₋h(ϕ)

ν

_E′

)≥ P(ν

_E

) compte tenu de la proposition 1.2.7 et

du corollaire 2.2.6. D’apr`es (6),P(τ

₋h(ϕ)

ν

_E′

)(t) =P(ν

_E′

)(t)−h(ϕ)t=P

E^′

(t)−h(ϕ)t.

D’autre part,P(ν

_E

) =P

E

. On obtient doncP

E

(t)≤ P

E^′

(t)−h(ϕ)t.

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