Alg`ebres gradu´ees quasi-filtr´ees et pseudo-filtr´ees

d´efinition

ν

_F(n)

= ¹

rgB

n

X

|α|=n

δ

α1b1+···+αmbm

, T

1 n

ν

_F(n)

= ¹

rgB

n

X

y∈1 nNm∩∆m

ϕ

b∗(

δ

y

).

On en d´eduit donc que la suite de mesures (T

1

n

ν

_F(n)

)

n≥1

converge vaguement versν

b

.

3.2. Alg`ebres gradu´ees quasi-filtr´ees et pseudo-filtr´ees

Dans la section pr´ec´edente, en utilisant la m´ethode des s´eries de Poincar´e on a pu

´etablir un th´eor`eme de convergence (le th´eor`eme 3.1.8) pour les alg`ebres bigradu´ees.

En fait, le mˆeme r´esultat est aussi vrai pour une alg`ebre gradu´ee munie des filtrations

dont l’alg`ebre bigradu´ee associ´ee est de type fini.

Soit B = L

n≥0

B

n

une alg`ebre gradu´ee de type fini sur k. On suppose que

chaque espace vectoriel B

n

est muni d’une R-filtration d´ecroissante F

(n)

telle que

le support de ν

_F(n)

est contenu dans N(c’est-`a-dire que les points de saut sont des

entiers positifs) et que l’alg`ebreBsoit filtr´ee pour les filtrationsF

(n)

, c’est-`a-dire que

F

s⁽ⁿ⁾

B

n

F

t^(n′)

B

n′

⊂ F

s+t^(n+n′)

B

n+n′

quels que soient (n, n

^′

)∈ N

2

et (s, t)∈ R

2

. Pour

tout entier d, soit Be

n,d

le sous-quotient F

d⁽ⁿ⁾

B

n

/F

d+1⁽ⁿ⁾

B

n

. Alors la somme directe

e

B =L

n,d

_Be

_n,d

_{forme une alg`ebre bigradu´ee surk, o`u le produit de deux ´el´ements}

[x]∈B

n,d

et [y]∈B

n′,d′

est la classe dexy dansF

d+d⁽ⁿ⁺ⁿ′^′)

B

n+n′

/F

d+d⁽ⁿ⁺ⁿ′+1^′)

B

n+n′

. Soit

P ∈Z[[X, Y]] la s´erie telle que

P(X, Y) = X

(n,d)∈N2

rg

_k

(Be

n,d

)X

n

Y

d

.

Il s’av`ere que la mesure dilat´ee T

1

n

ν

_F(n)

associ´ee `a la filtration F

(n)

co¨ıncide avec

ν

n,P

. Dans le cas o`u Be est une alg`ebre de type fini sur k, cette observation nous

permet d’appliquer le th´eor`eme 3.1.8 pour d´emontrer la convergence desT

1

n

ν

_F(n)

et

pour calculer la limite.

Cependant, il est tr`es rare que la nouvelle alg`ebre Be soit de type fini. On peut

consid´erer un exemple simple o`uB=k[X] est l’alg`ebre des polynˆomes `a une variable.

Soit (a

n

)

n≥0

une suite d’entiers dansNtelle que

(41) a

0

= 0, 0≤a

n

≤n, a

n+n′

< a

n

+a

n′

quel que soit (n, n

^′

)∈Z

²_>0

.

On suppose que B est usuellement gradu´ee et que la filtrationF

(n)

de l’espacekX

n

admet un seul point de saut enn−a

n

. L’alg`ebreB est filtr´ee car

λ

_F(n+n′₎

(X

^n+n′

) = (n+n

^′

)−a

n+n′

≥(n−a

n

)+ (n

^′

−a

n′

) =λ

_F(n)

(X

ⁿ

)+λ

_F(n′₎

(X

^n′

),

o`u les fonctions λ sont d´efinies dans (2). L’alg`ebre bigradu´ee Be s’identifie `a

k[T

1

,· · ·, T

n

,· · ·], o`u le bidegr´e deT

n

est (n, a

n

), modulo l’id´eal homog`ene engendr´e

par les ´el´ements de la formeT

n

T

n′

. Ce n’est pas une alg`ebre de type fini. Par ailleurs,

la mesure associ´ee `a F

(n)

est la mesure de Dirac δ

an. La condition (41) combin´ee

48 CHAPITRE 3. CONVERGENCE DES POLYGONES

avec le corollaire 1.3.3 montre que la suite (a

n

/n)

n≥1

converge dansR. Cela montre

effectivement que les mesuresT

1

n

δ

an

=δ

an/n

convergent vaguement vers une mesure

de Dirac lorsquentend vers l’infini.

Cet exemple sugg`ere que la convergence vague des mesures associ´ees `a une alg`ebre

gradu´ee munie des filtrations devrait v´erifier sous une hypoth`ese assez faible sur la

croissance des filtrations. La formalisation de cette observation conduit `a deux notions

similaires —alg`ebre gradu´ee quasi-filtr´eeetalg`ebre gradu´ee pseudo-filtr´ee— qui sont

importantes dans la deuxi`eme strat´egie `a ´etudier la convergence des polygones que

l’on pr´esentera dans les sections qui suivent.

On fixe dans cette section une application f : N→ R

_≥0

et une alg`ebre gradu´ee

B = L

n≥0

B

n

qui est de type fini sur k, o`u chaque espace vectoriel B

n

est muni

d’uneR-filtration d´ecroissanteF

(n)

.

3.2.1. Alg`ebre gradu´ee quasi-filtr´ee. —

D´efinition 3.2.1. — On dit que l’alg`ebre gradu´ee B est f-quasi-filtr´ee s’il existe

un entier n

0

> 0 tel que, pour tout entier r > 0, tout (n

i

)

1≤i≤r

∈ Z

^r_≥n0

et tout

(s

i

)

1≤i≤r

∈R

^r

, on ait

r

Y

i=1

F

⁽ⁿi) si

B

ni

⊂ F

S^(N)

B

N

, o`u N =

r

X

i=1

n

i

et S=

r

X

i=1

(s

i

−f(n

i

)).

Une alg`ebre gradu´ee 0-quasi-filtr´ee s’appelle aussi une alg`ebre gradu´ee filtr´ee, o`u le

symbole 0 d´esigne la fonction constante deNversR

≥0

qui prend valeur 0.

L’alg`ebre gradu´eeB estf-quasi-filtr´ee si et seulement s’il existe un entier n

0

>0

tel que, pour tous les ´el´ements homog`enesx

1

,· · · , x

r

de degr´en

1

,· · ·, n

r

dansN

_≥n0

respectivement, en posantx=x

1

x

2

· · ·x

r

et N=n

1

+· · ·+n

r

, on ait

λ

_F(N)

(x)≥

r

X

i=1

λ

_F(ni)

(x

i

)−f(n

i

)

.

Exemple 3.2.2. — On consid`ere un exemple o`u l’alg`ebre B est l’alg`ebre k[X] des

polynˆome `a une variable, munie de la graduation usuelle. Pour tout entiern≥1 soit

a

n

= λ

_F(n)

(X

n

). Alors cette alg`ebre gradu´ee estf-quasi-filtr´ee si et seulement s’il

existe un entiern

0

>0 tel que, pour toute suite finien

1

,· · · , n

r

d’entiers≥n

0

, on ait

a

n1+···+nr

≥

r

X

i=1

a

ni

−f(n

i

)

.

D’apr`es le corollaire 1.3.2, la suite (a

n

/n)

n≥1

converge pourvu que a

n

=O(n) (n→

∞) et que lim

n→+∞

f(n)/n= 0.

Remarque 3.2.3. — On suppose que l’alg`ebre gradu´eeB est f-quasi-filt´ee. Alors

pour toute fonction g qui domine f, c’est-`a-dire telle queg(n)≥f(n) quel que soit

3.2. ALG`EBRES GRADU ´EES QUASI-FILTR ´EES ET PSEUDO-FILTR ´EES 49

n∈N, l’alg`ebreB estg-quasi-filtr´ee. En outre, pour toute sous-alg`ebreAengendr´ee

par des ´el´ements homog`enes,A est aussif-quasi-filtr´ee.

On pr´esente au-dessous un r´esultat de convergence. Bien que sa d´emonstration est

´el´ementaire, elle contient d´ej`a des id´ees importantes de la preuve de la convergence

des polygone.

Proposition 3.2.4. — On suppose que

1) l’alg`ebre gradu´eeB est int`egre etf-quasi-filtr´ee, etB

n

6= 0pourn assez grand,

2) lim

n→+∞

f(n)/n= 0,

3) il existe α >0 tel queλ

max

(F

(n)

)≤αnpour tout entiern≥1.

Alors la suite (λ

max

(F

(n)

)/n)

n≥1

converge dans R, o`u l’application λ

max

est d´efinie

dans (3).

D´emonstration. — Soit n

0

∈ Z

>0

comme dans la d´efinition 3.2.1. Pour tout entier

n ≥ 1, soit x

n

un ´el´ement non-nul dans B

n

tel que λ

_F(n)

(x

n

) = λ

max

(F

(n)

). On

suppose quer ≥1 et un entier et quen

1

,· · ·, n

r

sont des ´el´ements dans Z

≥n0

. On

noteN =n

1

+· · ·+n

r

. L’alg`ebreB´etant int`egre, le produitx

n1

· · ·x

nr

est non-nul.

CommeB estf-quasi-filtr´ee, on a

λ

max

(F

^(N)

)≥λ

_F(N)

(x

n1

· · ·x

nr

)≥

r

X

i=1

λ

_F(ni)

(x

ni)

−f(n

i

)

=

r

X

i=1

λ

max

(F

⁽ⁿi)

)−f(n

i

)

.

Par cons´equent, la suite (λ

max

(F

(n)

))

n≥1

v´erifie les conditions du corollaire 1.3.2.

Donc elle converge dans R.

Remarque 3.2.5. — On verra dans la remarque 3.4.4 que l’´enonc´e de la proposition

3.2.4 n’est pas n´ecessairement vrai si l’alg`ebreB n’est pas int`egre.

Proposition 3.2.6. — On suppose que

1) l’alg`ebre gradu´ee B est f-quasi-filtr´ee, B

n

6= 0 pour n assez grand, et B

n

B

m

=

B

n+m

pournet massez grands,

2) lim

n→+∞

f(n)/n= 0,

3) il existe α >0 tel queλ

min

(F

(n)

)≤αnpour tout entiern≥1.

Alors la suite (λ

min

(F

(n)

)/n)

n≥1

converge dans R, o`u l’application λ

min

est d´efinie

dans (3).

D´emonstration. — Soitn

0

∈Z

>0

comme dans la d´efinition 3.2.1. Quitte `a agrandir

n

0

, on peut supposer que B

n

B

m

= B

n+m

d`es que n et m sont tous sup´erieurs ou

´egaux `an

0

. Soientn

1

,· · · , n

r

des entiers arbitraires dansZ

≥n0

etN =n

1

+· · ·+n

r

.

Soit W = {b

1

· · ·b

r

| ∀i, b

i

∈ B

ni

}. Comme B

N

= B

n1

· · ·B

nr

, l’espace B

N

est

50 CHAPITRE 3. CONVERGENCE DES POLYGONES

engendr´e comme groupe additif parW. Si a

1

,· · ·, a

m

sont des ´el´ements dans W, on

a λ

_F(N)

(a

1

+· · ·+a

m

) ≥ min

1≤i≤m

(λ

_F(N)

(a

i

)). On en d´eduit l’existence d’un ´el´ement

y ∈W tel queλ

_F(N)

(y) =λ

min

(F

(N)

). On suppose que y =c

1

· · ·c

r

avec c

i

∈B

ni

.

Alors

λ

min

(F

^(N)

) =λ

_F(N)

(y)≥

r

X

i=1

λ

_F(ni)

(c

i

)−f(n

i

)

≥

r

X

i=1

λ

min

(F

⁽ⁿi)

)−f(n

i

)

.

D’apr`es le corollaire 1.3.2, la suite (λ

min

(F

(n)

)/n)

n≥1

converge dansR.

Remarque 3.2.7. — L’assertion de la proposition 3.2.6 n’est pas n´ecessairement

vraie si la condition “B

n+m

= B

n

B

m

pour n, m assez grands” n’est pas satisfaite.

On consid`ere l’alg`ebre de polynˆomesB =k[X, Y] qui est gradu´ee de sorte queX soit

homog`ene de degr´e 1 etY soit homog`ene de degr´e 2. Dans ce cas-l`aB

n

est engendr´e

comme un espace vectoriel sur k pare

n

:= (X

ⁿ

, X

ⁿ⁻²

Y,· · ·, Y

^n/2

) si nest pair et

pare

n

:= (X

n

, X

n−2

Y,· · ·, XY

(n−1)/2

) si nest impaire. Pour tout entiern≥1, on

munit l’espaceB

n

une filtrationF

(n)

telle que

1) la basee

n

soit compatible `a F

(n)

;

2) sinest impair, pour touta∈e

n

, λ

_F(n)

(a) = 0;

3) sinest pair, pour touta∈e

n

autre queY

n/2

,λ

_F(n)

(a) = 0, etλ

_F(n)

(Y

n/2

) =−n.

On v´erifie que l’alg`ebreBest filtr´ee. D’abord, pour tout ´el´ementQ∈B

n

,λ

_F(n)

(Q) =

0 siQest divisible parX etλ

_F(n)

(Q) =−nsinon. On suppose queP∈B

n

etQ∈B

m

sont deux ´el´ements non-nuls. Si l’un des P et Q est divisible parX, alors il en est

de mˆeme de P Q. Par cons´equent, λ

_F(n+m)

(P Q) = 0 ≥λ

_F(n)

(P) +λ

_F(n)

(Q); sinon

λ

_F(n+m)

(P Q) =−(n+m) =λ

_F(n)

(P) +λ

_F(m)

(Q). Donc la relationλ

_F(n+m)

(P Q)≥

λ

_F(n)

(P) +λ

_F(n)

(Q) est toujours v´erifi´ee. On en d´eduit par r´ecurrence que l’alg`ebre

gradu´eeBest filtr´ee. Cependant,λ

min

(F

(n)

) est ´egal `a 0 sinest impair et est ´egal `a

−nsinest pair. Donc la convergence de (λ

min

(F

(n)

)/n)

n≥1

n’est pas v´erifi´ee.

Bien que les hypoth`eses alg´ebriques dans les propositions 3.2.4 et 3.2.6 sont

l´eg`erement diff´erentes, les preuves utilise une mˆeme technique — les suites presques

sur-additives — discut´ee dans§1.3, qui jouera un rˆole important dans l’´etude de la

convergence des polygones.

3.2.2. Alg`ebre gradu´ee pseudo-filtr´ee. — On pr´esente une variante de la

no-tion d’alg`ebre gradu´ee quasi-filtr´ee — celle d’alg`ebre gradu´ee pseudo-filtr´ee. Cette

notion demande des conditions alg´ebriques plus faibles. Ceci permet de simplifier

dans certains cas la v´erification des conditions.

D´efinition 3.2.8. — On dit que l’alg`ebre gradu´eeB est f-pseudo-filtr´ees’il existe

un entier n

0

>0 tel que, pour tout couple d’entiers (m, n)∈Z

2

≥n0

, tout (s, t)∈R

2

,

on ait (F

s^(m)

B

m

)(F

t⁽ⁿ⁾

B

n

)⊂ F

s+t^(m+n)

B

m+n

.

3.3. CONVERGENCE DES MESURES : CAS D’ALG `EBRE DE POLYN ˆOMES 51

Une alg`ebre gradu´ee 0-pseudo-filtr´ee est exactement une alg`ebre gradu´ee filtr´ee.

En outre, l’alg`ebre gradu´eeB est pseudo-filtr´ee si et seulement s’il existe un entier

n

0

>0 tel que, pour tous les ´el´ements homog`enesxety deB de degr´esmetndans

Z

≥n0

respectivement, on aitλ

_F(m+n)

(xy)≥λ

_F(m)

(x) +λ

_F(n)

(y)−f(m)−f(n).

On pr´esente dans le contexe des alg`ebres gradu´ees pseudo-filtr´ees les r´esultats de

convergence des suites (λ

max

(F

(n)

)/n)

n≥1

et (λ

min

(F

(n)

)/n) en s’imposant d’une

condition de croissante lente de f qui est plus forte que l’annulation de la limite

lim

n→+∞

f(n)/n. Au lieu d’utiliser le corollaire 1.3.2, on fait appel au corollaire 1.3.6.

Comme les d´emonstrations sont tr`es similiares que celles des propositions 3.2.4 et

3.2.6, on laisse les lecteurs le soin de les compl´eter.

Proposition 3.2.9. — On suppose que

1) l’alg`ebre gradu´eeB est int`egre etf-pseudo-filtr´ee, etB

n

6= 0 pournassez grand,

2) la fonction f est croissante et X

α≥0

f(2

^α

)/2

^α

<+∞,

3) il existe α >0 tel queλ

max

(F

(n)

)≤αnpour tout entiern≥1.

Alors la suite (λ

max

(F

(n)

)/n)

n≥1

converge dans R.

Proposition 3.2.10. — On suppose que

1) l’alg`ebre gradu´ee B est f-pseudo-filtr´ee, B

n

6= 0 pour nassez grand, et B

n

B

m

=

B

n+m

pournet massez grands,

2) la fonction f est croissante et X

α≥0

f(2

^α

)/2

^α

<+∞,

3) il existe α >0 tel queλ

min

(F

(n)

)≤αnpour tout entiern≥1.

Alors la suite (λ

min

(F

(n)

)/n)

n≥1

converge dans R.

Dans le document Convergence des polygones de Harder-Narasimhan (Page 56-60)