Le pompage transverse est généralement adapté à la taille du matériau à pomper. Pour notre étude, la surface de pompage est réduite afin d’augmenter la densité d’énergie incidente. Ce choix arbitraire permet de mettre en exergue les phénomènes thermomécaniques induits dans le matériau. Le matériau est un barreau parallélépipédique de 4 𝑚𝑚 𝑥 4 𝑚𝑚 de surface et de 20 𝑚𝑚 de longueur. Le pompage considéré est rectangulaire de hauteur 1 𝑚𝑚 selon la direction (0𝑦), de longueur 10 𝑚𝑚 selon la direction (0𝑧). Le faisceau de pompe est absorbé par le barreau d’épaisseur 4 mm dans la direction (0𝑥) [Figure III-1].
Figure III-1 Géométrie du matériau et du pompage optique représenté par la bande de couleur foncée.
La durée d’impulsion du pompage est de l’ordre de la milliseconde. Pour représenter la distribution du pompage optique et son évolution temporelle, des fonctions supergaussiennes d’ordre 8 sont utilisées. Elles permettent d’imiter la géométrie rectangulaire du pompage et l’impulsion temporelle en « top-hat ». L’absorption de la pompe le long de l’épaisseur du matériau suit la loi d’absorption de Beer-Lambert [Eq. 5]. Nous rappelons que ce n’est pas le cas dans le LG760, dont la surface pompée est dépolie. La source de chaleur est définie par le produit de fonctions analytiques d’une seule variable notées "𝑎𝑛". La source de chaleur s’écrit :
Q0(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑃𝑡ℎ∗ 𝑎𝑛1(𝑥) ∗ 𝑎𝑛2(𝑦) ∗ 𝑎𝑛3(𝑧) ∗ 𝑎𝑛4(𝑡) (106)
Avec 𝑃𝑡ℎ la puissance thermique déposée dans le matériau [Eq. 29, rappelée ici]. 𝑃𝑡ℎ = 𝜂𝐻𝑃𝑎𝑏𝑠
Les fonctions analytiques sont définies par :
𝑎𝑛1(𝑥) = 1 𝑁𝑜𝑟𝑚_𝑥𝛼𝐵𝐿𝑒−𝛼𝐵𝐿(𝑥−𝑥0) 𝑎𝑛3(𝑧) = 1 𝑁𝑜𝑟𝑚_𝑧𝑒 −(𝑧−𝑧𝜎 0 𝑧 ) 8 𝑎𝑛2(𝑦) = 1 𝑁𝑜𝑟𝑚_𝑦𝑒 −(𝑦−𝑦𝜎 0 𝑦 ) 8 𝑎𝑛4(𝑡) = 1 𝑁𝑜𝑟𝑚_𝑡𝑒 −(𝑡−𝑡0 𝜎𝑡 ) 8 (107)
où (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡0) sont les coordonnées centrales des fonctions définies, (𝜎𝑦, 𝜎𝑧, 𝜎𝑡) définissent les largeurs des supergaussiennes et 𝑁𝑜𝑟𝑚_𝑖 avec 𝑖 = (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) les coefficients de normalisation de chacune des fonctions. De cette manière, chaque fonction est centrée en une position (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) sur le matériau, de largeur adaptable et normalisée. En normalisant les
fonctions de la source de chaleur, la valeur de l’énergie déposée dépend uniquement de la puissance thermique déposée 𝑃𝑡ℎ [Eq. 106]. La [Figure III-2] présente une image du modèle
mécanique simplifié du montage expérimental, avec les mâchoires mécaniques de maintien et le barreau au centre.
Le pompage est localisé et légèrement décalé vers le haut avec un profil rectangulaire dans les directions (0𝑦) et (0𝑧) et une absorption de Beer-Lambert dans la direction (0𝑥). Le profil de température représenté [Figure III-2] est obtenu en insérant la source de chaleur Q0(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) [Eq. 106] dans l’équation de la chaleur [Eq. 30].
Figure III-2Reconstruction graphique du montage expérimental sur le logiciel de simulation COMSOL®. Au centre le barreau pompé coupé volontairement à la
moitié sur le schéma afin de visualiser le profil de température à l’intérieur du matériau. De part et d’autre du barreau se trouvent les deux mâchoires mécaniques de maintien, traversées par des cylindres de refroidissement.
L’énergie incidente de pompe est mesurée en sortie des diodes à l’aide d’un calorimètre. Elle est fixée expérimentalement à 1,8 𝐽 et la simulation tient compte des réflexions de Fresnel
(réflexion de 4 % de l’énergie incidente). La durée d’impulsion est celle choisie lors des expériences et est fixée à 3 ms [Chap.
II
, §3.1
].1.3 Maillage spatial et temporel
Maillage spatial
1.3.1
Le maillage spatial permet de définir la discrétisation spatiale des points de calcul, soit les endroits précis du modèle où les calculs sont réalisés. Dans le logiciel de simulation 3D COMSOL, le pas de discrétisation est adaptable. Dans le modèle de la reconstruction du montage expérimental [Figure III-3], les mâchoires de maintien mécanique sont maillées grossièrement tandis que le barreau est maillé très finement. De cette façon, le temps de calcul est optimisé tout en conservant une bonne résolution spatiale dans le barreau.
Figure III-3Visualisation du maillage spatial. En bleu sur le schéma, la zone sur laquelle est définie la source de chaleur.
Les points pour lesquels une solution (thermique et/ou mécanique) est calculée sont représentés par des nœuds (croisement de traits pleins) sur la [Figure III-3]. Le pas de discrétisation spatial dans le barreau est de 100 µ𝑚 à 300 µ𝑚. De cette façon, les fonctions spatiales (voir paragraphe précédent [§
1.2
]) sont représentées sur un nombre de points suffisant pour définir la source de chaleur. Nous avons fait varier le maillage spatial d’une taille de 100 µ𝑚 - 300 µ𝑚 à une taille de 500 µ𝑚 - 800 µ𝑚. Les variations obtenues sont faibles mais non négligeables. Avec un maillage plus grossier, la résolution spatiale dans le barreau simulé est nettement insuffisante et entraine des erreurs sur les amplitudes de biréfringence simulée.Nous privilégions le maillage spatial raffiné de taille [100 µ𝑚 - 300 µ𝑚] qui se rapproche au plus de la résolution spatiale de 80 µ𝑚 de la mesure. Pour un maillage spatial plus fin, les capacités limites de calcul de la machine sont atteintes lors du calcul des contraintes mécaniques. En effet, en chaque point doivent être calculés les six coefficients indépendants du tenseur de contrainte [Eq. 63], correspondant à la résolution de plus d’un million de variables.
Maillage temporel
1.3.2
Le maillage temporel correspond à la discrétisation de l’intervalle de temps sur lequel les calculs thermiques et mécaniques sont réalisés. La discrétisation des temps de calculs doit être adaptée au profil temporel de la pompe défini par la fonction 𝑎𝑛4(𝑡) [Eq. 107] et aux temps expérimentaux [Chap.
II
, §5
].L’impulsion temporelle est de 3 ms, de profil supergaussien défini par la fonction 𝑎𝑛4(𝑡) [Eq.
107], représentée [Figure III-4].
Figure III-4Représentation de l’impulsion temporelle an4(t).Les pentes raides de l’impulsion demandent un grand nombre de points de calculs afin de définir correctement le dépôt de chaleur dans le matériau.
Le nombre de points de calcul est augmenté sur les fronts montant et descendant de la supergaussienne. Chaque front est décrit à l’aide de 15 points temporels successifs, la partie plate de l’impulsion temporelle étant décrite par 5 points temporels. Pour un calcul réalisé sur un nombre de points inférieur, la solution thermique est biaisée car le dépôt de chaleur est inférieur à celui attendu. La configuration du solveur temporel impose un pas de temps
minimal (ici de 50 µs) au début de la résolution. De cette façon, le calcul tient compte des premiers instants de pompage contribuant au dépôt d’énergie. Les solutions sont calculées sur des pas de temps intermédiaires à ceux imposés de sorte à augmenter la résolution temporelle. Enfin, les solutions thermiques et mécaniques sont calculées aux instants correspondants aux temps d’observations expérimentaux, définis un à un : 10 𝑚𝑠, 30 𝑚𝑠, 100 𝑚𝑠, 300 𝑚𝑠 et 1 𝑠 [Chap.