Les échantillons de Nd :Lu :CaF2 [Figure II-32] sont orientés tels que l’axe (0𝑧) du
laboratoire (selon la longueur de l’échantillon) soit aligné sur l’orientation cristalline [111]. Cependant, aucune information n’est donnée sur l’orientation des deux autres axes (0𝑥, 0𝑦) du repère du laboratoire. Pour étudier si la position de ces deux autres axes a une influence sur la biréfringence induite, nous introduisons un troisième angle de rotation autour de l’axe (0𝑧), noté 𝜃, pour 𝛼 et 𝛽 fixés [Figure IV-16].
Le schéma de gauche [Figure IV-16] représente le repère du laboratoire (0, 𝑥, 𝑦, 𝑧) orienté par rapport à la maille cristalline à l’aide des angles 𝛼 et 𝛽 (non représentés). Sur le schéma de droite [Figure IV-16], 𝛼 et 𝛽 sont inchangés et le repère du laboratoire est tourné d’un angle 𝜃 > 0 autour de l’axe (0𝑧) du laboratoire.
Figure IV-16 Schéma de rotation de la maille cristalline autour de l’axe (0z).
Pour l’exemple, (0z) est orienté parallèle à la direction [111] de la maille cristalline.
Les distributions sont calculées pour 𝛼 et 𝛽 fixés [Eq. 110], suivies d’une rotation d’angle 𝜃 autour de l’axe (0𝑧) du laboratoire :
𝑹[0𝑧,𝜃] 𝑹[0𝑦,𝛽] 𝑹[[001],𝛼] = [− 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 0𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 0 0 0 1 ] [ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) 0 − 𝑠𝑖𝑛(𝛽) 0 1 0 𝑠𝑖𝑛(𝛽) 0 𝑐𝑜𝑠(𝛽) ] [ 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 𝑠𝑖𝑛(𝛼) 0 − 𝑠𝑖𝑛(𝛼) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 0 0 0 1 ] (121)
Les contraintes dans le repère de la maille cristalline se calculent avec l’expression suivante :
𝝈(0,𝑋,𝑌,𝑍)= 𝑹[[001],−𝛼] 𝑹[0𝑦,−𝛽] 𝑹[0𝑧,−𝜃] 𝝈(0,𝑥,𝑦,𝑧) 𝑹[0𝑧,𝜃] 𝑹[0𝑦,𝛽] 𝑹[[001],𝛼] (122)
Dans le cas d’une orientation pour laquelle l’axe (0𝑧) du laboratoire est parallèle à la direction cristalline [111], les angles α et β valent respectivement 45° et 54,7°. La [Figure
IV-17] représente la distribution de biréfringence induite pour α = 45° et β = 54,7° fixés et
𝜃 = [−90°, . . ,90°].
Figure IV-17 Distributions de biréfringence induite dans le Nd :Lu :CaF2 pour différentes
rotations autour de l’axe (0z) orienté suivant [111].
La distribution de biréfringence est 𝜋 périodique en 𝜃. Contrairement au comportement de la biréfringence en fonction de 𝛼 et 𝛽, aucune symétrie n’est obtenue entre les valeurs θ = −90° et θ = 90°. Aucune pente de la distribution de biréfringence n’est observable sur la [Figure
IV-17]. La rotation 𝜃 = [−90°, . . ,90°] induit une légère variation d’amplitude.
Pour étudier l’impact de la rotation 𝜃 pour une orientation cristalline proche de [111], nous représentons la biréfringence induite moyennée sur la surface du barreau [Figure IV-18] pour 𝜃 = [−90°, . . ,90°]. L’angle α est fixé à α = 45° et β varie autour de 54,7°.
Figure IV-18Biréfringence induite moyenne dans le barreau parallélépipédique pompé transversalement en fonction de θ = [−90°, . . ,90°] pour α = 45° et β variant autour de 55°.
Sur l’intervalle 𝜃 = [−90°, . . ,90°], les plus fortes variations d’amplitude vont de ∆𝑛 = 0,03.10−6 à ∆𝑛 = 0,06.10−6 pour 𝛽 = 55,6° [Figure IV-14]. Ce qui signifie que si 𝛽 =
55,6° et que l’angle 𝜃 n’est pas connu, la réduction de biréfringence peut chuter de 4 points, passant de 97 % de réduction à 93 %. La tolérance sur l’angle 𝜃 a donc moins d’importance comparée à celle sur les angles 𝛼 et 𝛽 [Table IV-2]. Ce résultat permet de conclure que l’optimisation de la biréfringence induite est obtenue principalement en alignant l’axe (0𝑧) du laboratoire sur la direction cristalline 𝛼 = 45° et 𝛽 = 55°.
Remarquons que les distributions représentées en annexe [
A
, §2
] et les résultats de la [TableIV-2] et de la [Figure IV-18] sont réalisés à partir des simulations sur le Nd :Lu :CaF2 pour
un coefficient d’absorption𝛼𝐵𝐿= 2,22 𝑐𝑚−1. Dans le cas où le coefficient d’absorption vaut
𝛼𝐵𝐿 = 1,72 𝑐𝑚−1[Chap
II
, §9.2
], les distributions de biréfringence induite sont identiquesd’amplitude légèrement inférieure. L’ensemble des valeurs moyennes de biréfringence [Figure IV-12], [Figure IV-13], [Figure IV-18] diminuent d’une valeur constante et les résultats la [Table IV-2] sur le pourcentage de réduction et la tolérance sur l’angle 𝛽 sont conservés.
4.2 Impact de la rotation de la maille cristalline autour de l’axe (0z) pour
une orientation cristalline aléatoire
L’objectif de ce paragraphe est de retrouver les orientations cristallines des échantillons de Nd :Lu :CaF2 [Figure II-32]. La recherche s’effectue sur les échantillons B37, B38, B48 et
B51. Ces échantillons ont un coefficient d’absorption 𝛼𝐵𝐿= 1,72 𝑐𝑚−1. Pour retrouver les
mêmes distributions de biréfringence induite que celles obtenues en mesure, nous adaptons le coefficient d’absorption 𝛼𝐵𝐿 = 1,72 𝑐𝑚−1 dans les simulations.
Les distributions représentées en annexe [
A
§4
] pour un coefficient d’absorption 𝛼𝐵𝐿= 2,22𝑐𝑚−1 permettent de retrouver les inclinaisons observables sur les échantillons deNd :Lu :CaF2 avec des amplitudes plus élevées.
Nous étudions l’impact de la rotation 𝜃 autour de l’axe (0𝑧) pour une orientation cristalline fixée par les angles 𝛼 et 𝛽, différente de [111]. Dans un premier temps, les cas particuliers sur l’angle 𝛼 et 𝛽 sont traités [§
4.2.1
]. L’ensemble des cas particuliers sont répertoriés dans la [Table IV-3] qui sert de support visuel. Dans un second temps, le cas général est dans le sous paragraphe [§4.2.2
].Cas particuliers
4.2.1
La [Table IV-3] représente l’ensemble des distributions de biréfringence induite pour des valeurs particulières des angles 𝛼 et 𝛽. Les cas particuliers sur l’angle 𝛼 puis sur l’angle 𝛽 sont traités dans cet ordre. En revanche, dans la [Table IV-3], les distributions de biréfringence induite sont affichées dans l’ordre des 𝛼 et 𝛽 croissants.
𝜽 = −𝟗𝟎 𝜽 = −𝟑𝟎° 𝜽 = 𝟎° 𝜽 = 𝟑𝟎° 𝜽 = 𝟗𝟎° 𝜶 = 𝟎°, 𝜷 = 𝟎° 𝜶 = 𝟎°, 𝜷 = 𝟓𝟎° 𝜶 = 𝟒𝟓° 𝜷 = 𝟑𝟎° 𝜶 = 𝟔𝟎° 𝜷 = 𝟎°
Table IV-3 Distributions de biréfringence induite dans le Nd :Lu :CaF2 pour
(α, β) fixés et θ ∈ [−π2;π2]. Support visuel des cas particuliers.
Dans le cas particulier où 𝛼 = 0° [Table IV-3], la rotation 𝜃 = [−90°, 90°] opère une symétrie inversée sur la distribution de biréfringence induite entre 𝜃 = [−90°, 0°] et 𝜃 = [0°, 90°]. Dans ce cas particulier, la distribution de biréfringence induite est 𝜋 - périodique en 𝜃 et est symétriquement inversée entre θ = [−90°, 0°] et θ = [0°, 90°]. Contrairement au comportement que la distribution en 𝛼 [Table IV-1], il n’y a pas d’inversion de l’inclinaison de la distribution entre θ = [0°, 45°] et θ = [45°, 90°].
La symétrie inversée entre θ = [−90°, 0°] et θ = [0°, 90°] est aussi obtenue dans le cas particulier où 𝛼 = 45° [Table IV-3]. Le cas particulier α = 90°, semblable au cas particulier α = 0°, n’est pas représenté.
Dans le cas particulier où 𝛽 = 0°, la rotation 𝜃 = [−90°, 90°] joue le même rôle que la rotation 𝛼 = [−90°, 90°] puisqu’il s’agit d’une rotation autour de l’axe (0𝑧) dans les deux cas. Pour 𝛽 = 0° et 𝛼 = [−90°, 90°], la distribution [Table IV-1] est décalée en 𝜃 de la valeur prise par 𝛼. Le cas 𝛽 = 0° et 𝛼 = 60° est représenté [Table IV-3].
Le cas particulier 𝛽 = 90°, semblable au cas particulier 𝛽 = 0°, n’est pas représenté.
Cas général
4.2.2
A l’exception des cas particuliers précédemment énoncés, le comportement de la distribution de biréfringence induite en fonction de la rotation 𝜃 pour 𝛼 = [0°, 90°] et 𝛽 = [0°, 90°] est différente. La distribution reste toujours 𝜋 périodique en 𝜃 mais ne présente plus de symétrie sur les intervalles 𝜃 = [−90°, 0°] et 𝜃 = [0°, 90°]. Un exemple est représenté [Figure IV-19] pour 𝛼 = 40° et 𝛽 = 70°.
Figure IV-19 Cas général, exemple avec α = 40° et β = 70°. Distributions de biréfringence induite en fonction de θ = [−90°, 90°].
Dans le cas général, la distribution de biréfringence induite varie sur tout l’intervalle θ = [−90°, 90°].
Cependant, une redondance apparait entre les distributions où 0° < α < 45° et 45° < α < 90°. Pour une valeur δ = [0°, 90°] les distributions obtenues avec α = 90° − δ sont de symétrie opposée aux distribution obtenues avec α = 0° + δ. Un exemple est représenté [Table IV-4] pour α = 40° et α = 50°, soit δ = 40°. L’angle 𝛽 est fixé arbitrairement à 40° pour l’exemple.
𝜽 = −𝟗𝟎 𝜽 = −𝟒𝟎° 𝜽 = 𝟎° 𝜽 = 𝟒𝟎° 𝜽 = 𝟗𝟎° 𝜶 = 𝟒𝟎°, 𝜷 = 𝟒𝟎° 𝜶 = 𝟓𝟎°, 𝜷 = 𝟒𝟎°
Table IV-4 Cas général. Distributions de biréfringence induite en fonction de
θ = [−90°, 90°].
Les distributions pour 𝛼 = 0° + 𝛿 [Table IV-4] et pour 𝜃 = [0°, 90°] sont de symétrie opposée aux distributions obtenues avec 𝛼 = 90° − 𝛿 [Table IV-4] et 𝜃 = [−90°, 0°].
La [Table IV-4] permet d’observer que les distributions de biréfringence obtenues pour 𝛼 = 40°, 𝛽 = 40° [Table IV-4, première ligne] sont identiques à la distribution obtenues pour 𝛼 = 50°, 𝛽 = 40° [Table IV-4, seconde ligne], décalée en 𝜃. Il n’est donc pas nécessaire d’observer les distributions de biréfringence sur l’intervalle 𝛼 = [45°, 90°]. L’ajout d’un troisième angle de rotation amène des redondances dans la répartition des contraintes induites sur la maille cristalline.
Les angles d’orientation de la maille cristalline 𝛼, 𝛽, 𝜃 et leurs intervalles d’étude sont donc fixés à 𝛼 = [0°, 45°], 𝛽 = [0°, 90°] et 𝜃 = [−90°, 90°].