L’origine du dépôt de chaleur dans les matériaux dopés Nd a été détaillée [§
3
]. Pour caractériser la répartition de chaleur induite par le pompage, le formalisme de la distribution de température est introduit dans le repère du laboratoire (0, 𝑥, 𝑦, 𝑧). À partir de la distribution de température, nous pourrons par la suite calculer les contraintes thermomécaniques, responsables de l’anisotropie induite dans les matériaux. Dans ce paragraphe, les notations et grandeurs spécifiques à l’étude des phénomènes thermiques sont présentées et appliquées dans le cas d’un pompage transverse, inhomogène et mono-coup.Equation de la chaleur cas général
3.3.1
La distribution de température est solution de l’équation de la chaleur, d’expression [Eq. 30] :
ρC𝑃𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜕𝑡 − 𝜅Δ𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = Q0(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (30)
avec ρ la masse volumique [kg.m-3], C
𝑃 la capacité calorifique massique à pression constante
[J.kg-1.K-1], 𝜅 conductivité thermique [W.m-1.K-1] et Q0 la source volumique de chaleur [W.m-3]. Les grandeurs intrinsèques au matériau (ρ, C𝑃, 𝜅) sont supposées homogènes et indépendantes de la température lors du pompage. Le premier terme de cette équation correspond à la variation temporelle de la température, le deuxième terme à la variation spatiale de la température où Δ est l’opérateur Laplacien. Le dernier terme est la source de
chaleur Q0(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). La grandeur 𝜅
ρC𝑃 correspond à la diffusivité thermique (𝑚
2. 𝑠−1.). Cette
équation décrit l’évolution de la température dans un volume donné par conservation de l’énergie déposée et en régime de conduction.
La résolution en régime stationnaire est considérée dans le cas des lasers continus. Dès lors, la distribution de température est indépendante du temps ( 𝜕𝑡𝜕 = 0) et l’équation de la chaleur s’écrit :
Δ𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = −Q0(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜅 (31)
La masse volumique ρ ainsi que la capacité calorifique massique C𝑃 ne sont plus influentes dans le cas des lasers continus. Dans notre configuration d’étude, le dépôt de chaleur est fourni par une seule impulsion laser plus ou moins courte (400 µs, 3 ms). La chaleur se relaxe et le matériau revient à température ambiante. La relaxation de la température est traitée [Chap
III
] dans le cas d’un barreau parallélépipédique de LG760 sous pompage inhomogène transverse.Hypothèses et conditions aux limites
3.3.2
La variation de température au premier instant peut être approchée en supposant que sur un laps de temps infinitésimal la température n’a pas varié spatialement. Dans ce cas, par conservation de l’énergie déposée dans le matériau, la variation de température s’écrit [Eq.
32].
𝛿𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝛿𝑡 =
Q0(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜌 𝐶𝑃 (32)
Avec 𝛿𝑇𝛿𝑡 en 𝐾. 𝑠−1 la variation de température estimée sur un intervalle de temps infinitésimal. Cette hypothèse est valable lorsque le temps de dépôt d’énergie (µs, ms) est bien plus court que le temps de transfert de chaleur (de l’ordre de la seconde [Chap.
III
, §8.2.1
]) sur une distance significative. L’expression [Eq. 32] permet d’estimer la température dans le matériau juste après l’impulsion de pompe. Une application numérique au cas de notre configuration expérimentale est donnée [Chap.III
, §2.2
] afin de vérifier les calculs du modèle de simulation.Le choix des conditions aux limites fixe la température des surfaces inférieure et supérieure du matériau à 𝑇0 = 20°𝐶 .
𝑇(𝑦 = −2 𝑚𝑚) = 𝑇(𝑦 = 2 𝑚𝑚) = 𝑇0 (33)
D’autre part, le transfert de chaleur par conduction est favorisé devant celui en convection. La condition aux limites appliquée sur la surface gauche et droite du matériau [Figure III-1], en contact avec l’air, impose un flux thermique nul dans la direction suivant (0𝑥) :
𝑛⃗ . 𝜅𝛻⃗ 𝑇 = 0 (34)
où 𝑛⃗ est le vecteur normal à la surface, dirigé vers l’extérieur du matériau.
3.4 Relaxation des modes thermiques
L’objectif de ce paragraphe est d’étudier la relaxation de la température 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) dans le cas de notre configuration expérimentale, détaillée dans le chapitre [Chap.
III
]. Pour ce paragraphe nous ne mentionnons que les paramètres utiles à l’étude de la relaxation de température :-la longueur du matériau dans la direction (0𝑦) est notée 𝐿 ∈ [−2𝑚𝑚; 2𝑚𝑚] -le pompage est rectangulaire, d’épaisseur 1 mm dans la direction (0𝑦).
- la relaxation spatiale de température s’effectue dans la direction où la conduction est favorisée, selon la direction (0𝑦).
Pour cette étude, la solution 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) de l’équation de la chaleur [Eq. 30] est définie uniquement avec la variable spatiale 𝑦 et la variable temporelle 𝑡, soit 𝑇(𝑦, 𝑡). La résolution de l’équation de la chaleur s’effectue par séparation des variables [37]. La température s’écrit sous forme d’une série de Fourier :
𝑇(𝑦, 𝑡) = ∑ 𝐷𝑛 sin (𝑛𝜋 𝐿 𝑦) 𝑒 (−𝑡𝜏) 𝑁 𝑛=1 (35)
Avec 𝑛 le numéro du mode thermique et 𝐷𝑛 les coefficients de Fourier définis par l’expression : 𝐷𝑛(𝑓) =1 𝜋∫ 𝑓(𝑦) sin ( 𝑛𝜋 𝐿 𝑦) 𝑑𝑦 2𝜋 0 (36)
La fonction 𝑓 est définie par la condition initiale (𝑡 = 0 ) : 𝑓(𝑦) = 𝑇(𝑦, 𝑡 = 0) = ∑ 𝐷𝑛sin (𝑛𝜋 𝐿 𝑦) 𝑁 𝑛=1 (37)
Le temps caractéristique de décroissance des modes thermiques 𝜏 dépend des paramètres physiques du matériau (𝜌, 𝐶𝑃, 𝜅), définis dans le paragraphe [§ 3.3]. Le temps de vie
caractéristique 𝜏 (𝑠) du mode thermique 𝑛 est défini par l’expression [Eq. 38]:
𝜏 =𝜌𝐶𝑃 𝜅
𝐿2
𝑛2𝜋2 (38)
Ce temps caractéristique détermine la durée de vie de l’harmonique d’ordre 𝑛, constituant la distribution de température 𝑇(𝑦, 𝑡). Il est inversement proportionnel au carré de l’ordre de l’harmonique [Eq. 38]. Plus l’harmonique est d’ordre élevé, plus son temps de vie est court. La [Figure I-24] représente une coupe de la température à la surface d’entrée de la pompe, obtenue par simulation sur le logiciel COMSOL® [Chap.
III
]. Le profil de température est rectangulaire au temps t = 3 ms et devient hyperbolique à partir de t = 10 ms puis sinusoïdal à 𝑡 = 1 𝑠.0
1
2
3
4
20
22
24
26
28
30
32
34
Te
mp
ér
atu
re
(°C)
0y (mm)
3 ms
10 ms
30 ms
100 ms
300 ms
1 s
Figure I-24 Profil de température à la surface d’entrée de la pompe. Cas du LG760 (calcul numérique).
Pour étudier l’évolution temporelle des modes thermiques, le profil rectangulaire de température à 𝑡 = 3 𝑚𝑠 [Figure I-24] est simulé par une fonction supergaussienne de largueur 1 mm, centrée sur l’intervalle [0 𝑚𝑚, 1𝑚𝑚]. La fonction 𝑓 [Eq. 37] est définie par :
𝑓(𝑦) = 𝑒−(𝑦−0,50,4 )
8
(39)
Afin de retrouver la décomposition en série de Fourier des modes thermiques, la fonction spatiale 𝑓 est définie sur un intervalle symétrique avec un pas d’échantillonnage 𝑑𝑦. L’intervalle des fréquences spatiales contient le même nombre de points d’échantillonnage et est défini par [−𝜈𝑚𝑎𝑥; 𝜈𝑚𝑎𝑥] où 𝜈𝑚𝑎𝑥 = 𝜋(𝑁−1)
2
2𝑁 avec 𝑁 le nombre de points
Figure I-25Spectre de la fonction f(y) [Eq. 39]
Les amplitudes des harmoniques [Figure I-25] sont comparées à l’énergie totale correspondant à la somme des amplitudes 𝐷𝑛. Dans notre cas, l’harmonique de fréquence nulle concentre 24 % de l’énergie totale, le premier harmonique 19 %, le second 7 % jusqu’à l’harmonique d’ordre 7 contenant 1 % de l’énergie totale. Par conséquent, les autres modes ont des amplitudes correspondant à moins de 1 % de l’énergie totale.
Pour reconstruire la fonction 𝑓(𝑦) ([Figure I-24], à 3 𝑚𝑠 ), les modes utilisés sont ceux dont l’amplitude 𝐷𝑛 est supérieure à 0,1 % de l’énergie totale :
𝐷𝑛
∑𝑁 𝐷𝑛
𝑛=1
> 0,1 % (40)
Par ce critère, la reconstruire de la fonction 𝑓(𝑦) est réalisée en sommant les 14 premiers modes thermiques [Figure I-26].
Figure I-26Reconstructionde la fonction f(y) [Eq. 39]
L’énergie négligée est estimée à 0,003 %. La reconstruction des modes thermiques nous permet d’estimer que la température 𝑇(𝑦, 𝑡 = 3 𝑚𝑠) [Figure I-24] est composées des harmoniques 𝑛 = 1, . . ,14. En fonction du temps de vie caractéristique de ces harmoniques, la répartition spatiale de la température 𝑇(𝑦, 𝑡) varie d’un profil rectangulaire à un profil parabolique puis sinusoïdal [Figure I-24]. Les temps de vie caractéristiques des harmoniques sont représentés [Figure I-27].
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0,001 0,01 0,1 1 Te mp s de vie c aractér istiqu e du m ode (s)
Numéro du mode thermique
Dans le cas du matériau d’étude LG760, le temps de vie caractéristique [Eq. 38] du mode d’ordre 𝑛 = 14 vaut 2 𝑚𝑠. Par conséquent, à 2 𝑚𝑠, le mode 𝑛 = 14 a une amplitude réduite d’un facteur 1/e et la distribution de température ne correspond déjà plus rigoureusement à une supergaussienne d’ordre 8. L’amplitude du mode 𝑛 = 14 continue à baisser au-delà de 2 𝑚𝑠 mais il reste présent dans la décomposition en série de Fourier de la fonction 𝑓(𝑦). De 3 𝑚𝑠 à 10 𝑚𝑠, les modes d’ordre 14 jusqu’à 7 ont leur amplitude réduite d’un facteur supérieur à 1/e. La température 𝑇(𝑦, 𝑡 = 10 𝑚𝑠) est composée par les modes d’ordre 1 à 7 dont l’amplitude est encore élevée et des modes 8 à 14 dont l’amplitude est négligeable devant celles des autres modes. De 10 𝑚𝑠 à 30 𝑚𝑠, le profil de 𝑇(𝑦, 𝑡 = 30 𝑚𝑠) devient hyperbolique. Enfin, de 30 𝑚𝑠 à 100 𝑚𝑠 les modes 2 et 3 ont leur amplitude réduite d’un facteur 1/e. A partir de 𝑡 = 100 𝑚𝑠, le profil de température 𝑇(𝑦, 𝑡 > 100 𝑚𝑠) est principalement composé du mode 1, sinusoïdal. L’harmonique d’ordre 1 possède un temps de vie caractéristique de 340 𝑚𝑠. Au-delà de 340 𝑚𝑠, le mode d’ordre 1 voit son amplitude baisser d’un facteur supérieur à 1/e. La décomposition en série de Fourier de la fonction 𝑇(𝑦, 𝑡 = 10 𝑚𝑠) conserve l’ensemble des modes mais avec l’amplitude du mode 1 supérieure à celles des 13 autres modes.
Finalement, la température décrite dans le repère du laboratoire, est composée de modes ayant chacun son temps de relaxation. Plus le mode est d’ordre élevé, plus il relaxe rapidement. Pour une source de chaleur dont le profil ne présente pas de fronts raides (gaussienne, sinusoïde...), la relaxation de la température suit une loi en exponentielle décroissante. En revanche, pour une source de chaleur présentant des fronts raides comme ceux de la supergaussienne [Eq. 39], la relaxation de la température n’est plus exponentielle mais possède différents régimes de relaxation, régis par les temps caractéristiques de vie des modes thermiques impliqués.
4 Mécanique des solides continus pour l’étude des contraintes
induites par pompage
Dans cette partie, nous présentons le formalisme utilisé pour calculer les contraintes thermomécaniques induites par le pompage. Dans un premier temps, nous introduisons les notations générales [§
4.1
] avant de présenter les équations de Hooke, permettant de relier les déplacements aux contraintes mécaniques [§4.2
]. Les conditions initiales et aux limites propres au cas expérimental sont développées [§4.3
]. Enfin, le calcul des contraintes limites de fractures du LG760 et du CaF2 sont présentés [§4.4
]. Le formalisme général est présentédans le repère du laboratoire.