P´enalisation exacte et globalisation par recherche lin´eaire de la

La m´ethode SQP d´ecrite dans la section 4.2.3 converge si le premier it´er´e (x₁, λ₁)

est assez proche d’un point stationnaire r´egulier (voir th´eor`eme 4.2.4). Comme un tel point n’est g´en´eralement pas disponible dans la plupart des applications, il est n´ecessaire d’utiliser des techniques dites de globalisation d’un algorithme local qui permettent de “forcer” la convergence mˆeme si le point de d´epart est loin d’une solution primale-duale de (P ).

A l’heure actuelle, il existe deux grandes classes de technique de globalisation : * la recherche lin´eaire (RL),

* les r´egions de confiance (RC).

Section 4.2 107

effectu´e lors du passage de l’it´eration x_k `a l’it´eration x<sub>k+1</sub>par l’interm´ediaire d’une fonc-tion auxiliaire dite foncfonc-tion de m´erite. Pour le probl`eme (P ), cette foncfonc-tion auxiliaire, doit non seulement prendre en compte la minimisation effective de f , mais aussi la satisfaction des contraintes. Pour ce faire, les m´ethodes d’optimisation utilisent souvent la fonction de p´enalisation Θ_σ(x) = f (x) + σp(x) comme fonction de m´erite, o`u p est une fonction qui

p´enalise la violation des contraintes (p(x) = 0 si x ∈ X et p(x) > 0 si x /∈ X ) et o`u σ > 0 est le facteur de p´enalisation (voir section4.2.1).

Dans cette section, nous nous int´eressons plus particuli`erement `a la fonction de p´enalisation par norme g´en´erale d´efinie par

Θσ(x) = f (x) + σ||c(x)^#||P, (4.19)

o`u ||.||P est une norme quelconque et .^# : Rm 7→ Rm est la fonction d´efinie par

(v^#)_i = (

v_i if i ∈ E

v⁺_i = max(0, v_i) if i ∈ I ^.

Nous nous limiterons aux r´esultats concernant la technique de globalisation de la m´ethode SQP par la m´ethode de recherche lin´eaire sur la fonction de p´enalisation par norme Θ_σ. Dans cette m´ethode, on g´en`ere une suite de points {(x_k, λ_k)} qui converge

vers une solution primale-duale (x∗, λ∗) de (P ). Cette suite est d´efinie par la formule de

r´ecurrence

(x_k+1, λ_k+1) = (x_k, λ_k) + α_k(d_k, λ^QP_k − λ_k),

o`u (dk, λ^QP_k ) est une solution primale-duale du PQT (4.10) et αk > 0 est le pas de la

RL servant `a faire d´ecroˆıtre la fonction de m´erite Θ<sub>σ</sub> dans la direction d<sub>k</sub> (ce pas est calcul´e par un algorithme de rebroussement). Cette approche est originale car elle utilise la solution du PQT (4.10) pour faire d´ecroˆıtre la fonction de m´erite Θσ et non pas une direction fond´ee sur un sous-gradient de la fonction non diff´erentiable Θ<sub>σ</sub> (ce qui aurait conduit `a un algorithme moins rapide). La proposition suivante, reprise de la proposition 15.1 de [18], est essentielle : elle assure qu’il existe un σ > 0 tel que la direction primale

d_ktrouv´ee par la m´ethode SQP est bien une direction de descente de la fonction de m´erite

Θ_σ en x_k.

Proposition 4.2.7 Si (d_k, λ^QP_k ) satisfait les conditions d’optimalit´e (4.9), alors on a

Θ⁰_σ(x_k; d_k) ≤ ∇f_k^>d_k− σ||c^#_k||_P = −d^>_kM_kd_k+ (λ^QP_k )^>c_k− σ||c^#_k||_P.

Si, en plus, σ > ||λ^QP_k ||_D, alors on a

Θ⁰_σ(x_k; d_k) ≤ −d^>_kM_kd_k.

En conclusion : Θ⁰_σ(x_k; d_k) < 0, si σ > ||λ^QP_k ||_D, si M_kest d´efinie positive, et si x_kn’est

Ainsi, `a chaque it´eration k de l’approche d´ecrite pr´ec´edemment, il faut adapter la valeur de σ pour que d<sub>k</sub>soit bien une direction de descente de la fonction de m´erite Θ<sub>σ</sub> (la fonc-tion Θσ peut changer `a chaque it´eration). Le concept de fonction de p´enalisation exacte (voir d´efinition4.2.1) joue un rˆole important dans la convergence de cette approche : il permet de stabiliser la valeur de σ. Voici ci-dessous une condition suffisante d’exactitude de Θσ reprise de la proposition 14.7 de [18] :

Proposition 4.2.8 Supposons que f et c_E∪I0

∗sont deux fois diff´erentiables en un minimum

local x∗ de (P ) pour lequel la condition n´ecessaire d’optimalit´e (4.2) est satisfaite. En

ce minimum x∗ on suppose ´egalement que la condition suffisante d’optimalit´e du second

ordre faible est respect´ee (cf. th´eor`eme (4.1.15)), et que

σ > sup

λ∗∈Λ∗

||λ∗||_D.

Chapitre 5

Inversion sous contraintes en

tomographie de r´eflexion

Dans ce chapitre, nous traduisons les contraintes g´eophysiques que nous souhai-tons imposer sur le mod`ele de sous-sol en termes math´ematiques. Puis, nous posons le probl`eme inverse avec contraintes de la tomographie de r´eflexion. Enfin, nous d´ecrivons les conditions d’optimalit´e de ce probl`eme d’optimisation.

5.1 Les contraintes : type, nombre, localisation, etc...

Dans toute l’´etude nous nous limitons `a des contraintes lin´eaires. Cette limitation provient des difficult´es suppl´ementaires li´ees `a l’aspect non-lin´eaire des contraintes 1 . Notons que, malgr´e cette limitation de plus en plus d’applications en tomographie de r´eflexion font intervenir des contraintes non-lin´eaires : voir par exemple les travaux de Sinoquet [140] o`u la vitesse est contrainte `a peu varier le long d’une interface (guidage de la vitesse le long de lignes interpolant les interfaces) et les travaux de [27] o`u dans le cas d’une structure faill´ee les points d’impact des rayons doivent ˆetre situ´es sur une partie restreinte d’une interface. Dans la conclusion de ce m´emoire, nous identifierons ces difficult´es et nous donnerons des pistes pour aborder l’inversion sous contraintes non-lin´eaires. Mˆeme si la lin´earit´e des contraintes apporte des simplifications importantes, le probl`eme inverse de la tomographie de r´eflexion avec contraintes reste difficile `a r´esoudre `a cause de leur nombre important (jusqu’`a 10000 contraintes) et des diff´erents types pos-sibles de contraintes :

• Contraintes de nature physique diff´erente :

– sur des param`etres de vitesse et/ou d’interface,

1Si les contraintes sont non-lin´eaires et si l’on applique une approche SQP, alors il n’est pas garanti que le hessien du lagrangien soit semi d´efini positif. En effet, dans le cas de contraintes non-lin´eaires il faut prendre en compte la courbure des contraintes dans le hessien du lagrangien, voir le point 3. de la remarque4.2.2. Dans le cas lin´eaire cette courbure est ´evidemment nulle et on a ∇2

mmL_(PEI) = ∇2 mmf , c’est `a dire que le hessien du lagrangien est au moins semi d´efini positif (voir section2.5.3).

– sur 3 ordres de d´erivation (par exemple une interface peut ˆetre contrainte sur sa profondeur, sa pente et/ou sa courbure)

• Contraintes d’´egalit´e et/ou d’in´egalit´e (valeur fixe du gradient de vitesse en z ;

pro-fondeur minimale d’une interface).

• Contraintes locales et/ou globales (information sur la position d’une interface dans

un puits).

Au vu de la discussion ci-dessus, le probl`eme d’optimisation que l’on veut r´esoudre fait partie de la classe des probl`emes d’optimisation non-lin´eaire avec contraintes lin´eaires d’´egalit´e et d’in´egalit´e. Cette information n’est pas anodine car l’identification de la classe du probl`eme que l’on cherche `a r´esoudre permet le choix d’un algorithme adapt´e. Dans notre cas, la pr´esence de contraintes d’in´egalit´e est un ´el´ement cl´e dans le choix de la future m´ethode d’optimisation. En effet, la pr´esence de contraintes d’in´egalit´e rend le probl`eme beaucoup plus difficile `a r´esoudre que si seules des contraintes d’´egalit´e ´etaient pr´esentes. Ceci est dˆu `a ce qu’il est convenu d’appeler la “combinatoire” des probl`emes avec contraintes d’in´egalit´e et li´e `a la d´etermination des contraintes actives (i.e., nulles) en la solution (voir section 4.1.4). Dans le cas, par exemple, d’un probl`eme avec n_I contraintes d’in´egalit´e du type l ≤ c(m) ≤ u, on d´enombre 3ⁿI choix possibles de contraintes actives (pour chaque contrainte il y a 3 possibilit´es : soit la contrainte est inactive et l < c_i(m) < u, soit elle est active avec c_i(m) = l, soit elle est active avec c_i(m) = u). Ce nombre de combinaisons possibles devient rapidement ´enorme avec n_I

sup´erieur `a quelques unit´es (par exemple pour 10 contraintes d’in´egalit´e on a le choix entre 310 = 59049 combinaisons possibles). Dans nos probl`emes de tomographie, o`u on

doit faire face `a des milliers de contraintes, il est important d’utiliser une m´ethode d’opti-misation efficace pour g´erer cette combinatoire importante.

Nous avons vu pr´ec´edemment qu’il est important de diff´erencier les contraintes d’´egalit´e et d’in´egalit´e par leur traitement algorithmique sp´ecifique. Pour ce faire, nous d´ecrivons les contraintes par les ´equations d’admissibilit´e suivantes :

(

c_i(m) = e_i, i ∈ E l_i ≤ c_i(m) ≤ u_i, i ∈ I,

avec E := {1, ..., nE} et I := {nE + 1, ..., nC}. On note nI = nC − nE le nombre de contraintes d’in´egalit´e. La fonction lin´eaire c_E : Rn → RnE repr´esente les contraintes d’´egalit´e alors que la fonction lin´eaire c_I : Rn → RnI d´ecrit les contraintes d’in´egalit´e. Le vecteur e ∈ RⁿE est le second membre de l’´equation des contraintes d’´egalit´e. Les vecteurs l ∈ ¯_RnI et u ∈ ¯_RnI sont respectivement les bornes inf´erieures et sup´erieures des contraintes d’in´egalit´e2. Remarquons que la formulation des contraintes d’in´egalit´e donn´ee ci-dessus est diff´erente de celle qui est donn´ee dans la partie th´eorique (voir contraintes du probl`eme 4.1). Notons que ces deux formulations sont ´equivalentes, la pr´esence suppl´ementaire des bornes sup´erieures en plus des bornes inf`erieures sur c_idans la formulation ci-dessus permet de coller aux besoins de l’application. De plus, pour les

2On remarquera que dans cette notation les composantes des vecteurs l et u sont num´erot´ees de nE+ 1 `a nC. Ainsi, si on prend par exemple un probl`eme avec nE = 1 et nI = 1, le vecteur l s’´ecrit l = l2(l1

Section 5.2 111

contraintes d’in´egalit´e, on suppose pour chaque contrainte que les bornes inf´erieures et sup´erieures sont strictement compatibles, cela se traduit par l’hypoth`ese suivante :

Hypoth`eses 5.1.1 li < ui, ∀i ∈ I.

Du fait de l’hypoth`ese de lin´earit´e, les jacobiennes des fonctions cE et cI (fonctions lin´eaires) sont ind´ependantes de m. On peut donc ´ecrire les ´equations d’admissibilit´e des contraintes d’´egalit´e et d’in´egalit´e sous la forme du syst`eme matriciel

(

C_Em = e

l ≤ C_Im ≤ u ^{, (5.1)}

ou C_E (resp. C_I) est une matrice rectangulaire de taille n_E× n (resp. n_I× n) repr´esentant

la jacobienne de c_E (resp. c_I) et m est le vecteur contenant les param`etres de vitesse et d’interface du sous-sol (cf. section2.3pour la d´efinition de m).

D´efinition 5.1.2 On appelle MC := {m ∈ M : CEm = e, l ≤ CIm ≤ u} l’ensemble

des mod`eles m admissibles (les mod`eles de M_C sont solutions des ´equations

d’admissi-bilit´e (5.1))

D´efinition 5.1.3 On dit que les contraintes (5.1) sont compatibles si M_C 6= ∅.

D´efinition 5.1.4 Pour les contraintes d’in´egalit´e, on dit que c_i, i ∈ I est active en m si

ci(m) = li ou ci(m) = ui et on note

I⁰(m) := {i ∈ I : c_i(m) = l_i ou c_i(m) = u_i}

l’ensemble des indices des contraintes d’in´egalit´e actives en m.