CEm = e
l ≤ CIm ≤ u , (5.1)
ou CE (resp. CI) est une matrice rectangulaire de taille nE× n (resp. nI× n) repr´esentant
la jacobienne de cE (resp. cI) et m est le vecteur contenant les param`etres de vitesse et d’interface du sous-sol (cf. section2.3pour la d´efinition de m).
D´efinition 5.1.2 On appelle MC := {m ∈ M : CEm = e, l ≤ CIm ≤ u} l’ensemble
des mod`eles m admissibles (les mod`eles de MC sont solutions des ´equations
d’admissi-bilit´e (5.1))
D´efinition 5.1.3 On dit que les contraintes (5.1) sont compatibles si MC 6= ∅.
D´efinition 5.1.4 Pour les contraintes d’in´egalit´e, on dit que ci, i ∈ I est active en m si
ci(m) = li ou ci(m) = ui et on note
I0(m) := {i ∈ I : ci(m) = li ou ci(m) = ui}
l’ensemble des indices des contraintes d’in´egalit´e actives en m.
5.2 Mod´elisation des contraintes en tomographie de
r´eflexion
Au cours de cette section on va tout d’abord mettre en ´evidence l’ensemble des contraintes que l’on souhaite appliquer au mod`ele de sous-sol de la tomographie. Puis, on va montrer que ces contraintes sont bien lin´eaires (une hypoth`ese requise par les al-gorithme mis en œuvre). Et enfin, on va s’int´eresser `a leur nombre et `a la structure des matrices CE et CIqui les caract´erisent.
On donne ci-dessous la liste des contraintes que l’on souhaite appliquer en un point donn´e de coordonn´ees X = (x, y, z) (X2D = (˜x, ˜y) avec (˜x, ˜y) = (x, y) ou (x, z) ou (y, z)) du mod`ele de sous-sol (on rappelle que Virepr´esente la vitesse de la couche i et Zi la position de l’interface i3) :
3Notons que Zi peut ˆetre explicite en x, y ou z. Cependant, dans la plupart des cas Zi exprime la profondeur de l’interface i (i.e. Ziest explicite en z)
1. Sur les param`etres de vitesse :
la vitesse de couche
Vi(X) = e ´egalit´e
Vi(X) − Vj(X) = e ´egalit´e couplant deux vitesses
l ≤ Vi(X) ≤ u in´egalit´e
l ≤ Vi(X) − Vj(X) ≤ u in´egalit´e couplant deux vitesses le gradient de vitesse dans la direction w (w = x, y ou z)
∇wVi(X) = e ´egalit´e
∇wVi(X) − ∇wVj(X) = e ´egalit´e couplant deux vitesses
l ≤ ∇wVi(X) ≤ u in´egalit´e
l ≤ ∇wVi(X) − ∇wVj(X) ≤ u in´egalit´e couplant deux vitesses
la d´eriv´ee seconde de la vitesse suivant les directions v et w (v et w = x, y ou z) ∇2
vwVi(X) = e ´egalit´e
∇2
vwVi(X) − ∇2
vwVj(X) = e ´egalit´e couplant deux vitesses
l ≤ ∇2vwVi(X) ≤ u in´egalit´e
l ≤ ∇2
vwVi(X) − ∇2
vwVj(X) ≤ u in´egalit´e couplant deux vitesses
2. Sur les param`etres d’interface :
la profondeur d’une interface
Zi(X2D) = e ´egalit´e
Zi(X2D) − Zj(X2D) = e ´egalit´e couplant deux interfaces
l ≤ Vi(X2D) ≤ u in´egalit´e
l ≤ ViVi(X2D) − Vj(X2D) ≤ u in´egalit´e couplant deux interfaces
la pente d’une interface dans la direction w (w = ˜x ou ˜y) ∇wZi(X2D) = e ´egalit´e
∇wZi(X2D) − ∇wZj(X2D) = e ´egalit´e couplant deux interfaces
l ≤ ∇wZi(X2D) ≤ u in´egalit´e
l ≤ ∇wZi(X2D) − ∇wZj(X2D) ≤ u in´egalit´e couplant deux interfaces la d´eriv´ee seconde d’une interface suivant les directions v et w (v et w = ˜x ou ˜y)
∇2
vwZi(X2D) = e ´egalit´e
∇2
vwZi(X2D) − ∇2
vwZj(X2D) = e ´egalit´e couplant deux interfaces
l ≤ ∇2vwZi(X2D) ≤ u in´egalit´e
l ≤ ∇2
vwZi(X2D) − ∇2
Section 5.2 113
Les fonctions Z et V , de part leur d´efinition, ne sont lin´eaires que par rapport aux param`etres du mod`ele de sous-sol (les coefficients des fonctions de base B-spline). Ainsi, on ne peut pas vraiment imposer que ces contraintes soient satisfaites sur un ensemble de points continus du sous-sol4. Par exemple, on ne pourra pas exprimer la contrainte d’in´egalit´e telle que l ≤ Zi(X2D) ≤ u pour tout X2D ∈ [xini, xf in] × [yini, yf in]. En fait,
cette contrainte sera “discr´etis´ee” par l ≤ Zi(X2D) ≤ u, pour X2D ∈ {x1, x2, ..., xnx} × {y1, y2, ..., yny} tel que {x1, x2, ..., xnx} ⊂ [xini, xf in] et {y1, y2, ..., yny} ⊂ [yini, yf in].
Il y a alors autant de contraintes que de points (x, y) choisis par la discr´etisation : dans l’exemple pr´ec´edent on d´enombre nx∗ ny contraintes d’in´egalit´e sur Zi.
Le calcul des matrices jacobiennes d’´egalit´e (CE) et d’in´egalit´e (CI) se fait `a partir des relations lin´eaires qui existent entre les grandeurs contraintes (profondeurs d’interface et leurs d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre 2, vitesses de couche et leurs d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre 2) et les param`etres du mod`ele (coefficients des fonctions de bases B-splines). Ces re-lations lin´eaires d´ecoulent de l’expression de la profondeur Z et de la vitesse V par la discr´etisation B-spline (cf. section2.3.2pour les expressions de Z et V ). Ainsi, les termes des matrices jacobiennes CE et CI contiennent uniquement des produits de fonctions de base B-spline et/ou de leurs d´eriv´ees. Comme les fonctions de base B-spline sont non nulles sur seulement 4 intervalles (cf. annexeA), on en d´eduit que les matrices CE et CI
sont creuses. Un stockage de type “morse” (seuls les terme non nuls ainsi que leurs places dans la matrice, la ligne et la colonne auquelles ils appartiennent, sont stock´es) de ces matrices est donc particuli`erement recommand´e.
Nous donnons ci-dessous, `a titre d’exemple, le calcul des termes d’une matrice d’´egalit´e CE qui contraint une interface 2D Zi d’ˆetre `a la profondeur e sur une grille de points r´eguli`ere appartenant `a [xini, xf in] × [yini, yf in] (le calcul des termes matriciels
pour d’autres grandeurs contraintes ne sera pas d´ecrit, mais la g´en´eralisation est facile `a partir des relations lin´eaires figurant dans l’annexeB). On note nx(resp. ny) le nombre de points de la grille dans la direction x (resp. y). Le nombre de points total de la grille est
4La proposition ci-dessous montre que dans le cas particulier d’une contrainte d’´egalit´e discr´etis´ee par un nombre suffisant de points d’application on peut imposer une contrainte sur un ensemble de points continus du sous-sol (la d´emonstration d´ecoule du fait qu’une B-spline cubique a au maximum 4 degr´es de libert´e).
Proposition 5.2.1 Nous consid´erons le cas d’une contrainte d’´egalit´e CE (parmi la liste des contraintes d’´egalit´e lin´eaires possibles) sur V (resp. Z) d’ordre (kx, ky, kz) (resp. (k˜x, k˜y)), avec kx,ky et kz ∈ {0, 1, 2} qui repr´esentent respectivement l’ordre de d´erivation de V dans les directions x,y et z. On suppose
que la “discr´etisation” de cette contrainte est telle que le nombre de points d’application `a l’int´erieur d’un intervalle 3D Ω (resp. 2D) de nœud B-spline d’une vitesse Vi (resp. d’une interface Zi) soit sup´erieur ou ´egal `a (4−kx)∗(4−ky)∗(4−kz) (resp. (4−k˜x)∗(4−ky˜)). Si un mod`ele m ∈ M de sous-sol satisfait cette
contrainte pour tous les points d’application choisis dans Ω, alors cette contrainte est ´egalement satisfaite pour tous les points de Ω.
alors ´egal `a nx∗ ny. Tous les points de cette grille sont repr´esent´es par Xj=0,...,nx∗ny−1 : ∀j ∈ {0, 1, ..., nx∗ ny− 1} Xj = (xj, yj) tel que xj = xini+ xf in−xini nx−1 ∗ (j%nx)
yj = yini+yf in−yini
ny−1 ∗ (j ÷ nx),
(5.2)
avec ÷ qui est l’op´erateur de la division euclidienne enti`ere et % l’op´erateur du reste de la division euclidienne enti`ere. On a donc, pour cet exemple, nx∗ ny contraintes d’´egalit´e qui s’´ecrivent
cj(m) = e ∀j ∈ E := {0, 1, ..., nx∗ ny− 1}.
La ligne j de la matrice CE correspond `a la matrice jacobienne de la contrainte Zi(Xj) = e. Or l’expression de la profondeur d’une interface 2D Zi au point Xj s’´ecrit (voir an-nexeB) : Zi(Xj) = Zi(xj, yj) = NxZi X mx=1 NyZi X my=1 mZi mx,myBmx(xj)Bmy(yj) = (CE)j mVi mZi .
On en d´eduit que (CE)j = [0 (Bmx(xj)Bmy(yj))mx,my] (les premi`eres colonnes de (CE)j
sont nulles car cette contrainte porte uniquement sur les param`etres d’interfaces mZi), et on remarque bien, a posteriori, que les termes de la matrice CE ne s’expriment que par des produits de fonction de base B-spline. De plus, d’apr`es la d´efinition des fonctions de base B-spline (voir annexe A), les B∗(xj) (resp. B∗(yj)) sont nuls sauf pour 4 indices
cons´ecutifs. Ainsi, pour xj compris entre les noeuds de B-spline xlx et xlx+1, i.e. xlx ≤ xj < xlx+1, on peut simplifier l’expression ci-dessus par :
Zi(xj, yj) = lx X mx=lx−3 ly X my=ly−3 mZi mx,myBmx(xj)Bmy(yj).
Cela implique que la matrice (CE)j = [0 (Bmx(xj)Bmy(yj))mx=lx−3,lx,my=ly−3,ly]
poss`ede au maximum 16 ´el´ements non-nuls. Ce calcul conduit aux remarques suivantes : 1. Pour une fonction B-spline 2D (cas par exemple de l’expression des interfaces Zi
ou des vitesses Vi 2D), le nombre maximum de param`etres B-spline intervenant dans la d´efinition d’un point est de 16. Ainsi, les matrices de contrainte d’interface ou de vitesse 2D ont au maximum 16 ´el´ements non-nuls par ligne.
2. Pour une fonction B-spline 3D (cas de l’expression vitesse Vi3D), le nombre maxi-mum de param`etres B-spline intervenant dans la d´efinition d’un point est de 64. Ainsi les matrices de contrainte de vitesse 3D ont au maximum 64 ´el´ements non-nuls par ligne.
3. Comme les contraintes couplant deux interfaces (ou deux vitesses) 2D font inter-venir deux fonctions B-spline 2D distinctes, leurs matrices ont au maximum 32 ´el´ements non nuls par ligne. De mˆeme pour les contraintes couplant deux vitesses 3D : leurs matrices poss`edent au maximum 128 ´el´ements non-nuls par ligne.
Section 5.2 115
4. Tous les ´el´ements d’une matrice de contrainte n’agissant pas sur les param`etres associ´es au type de la contrainte sont nuls. Ainsi, dans le cas de l’exemple ci-dessus ((CE)j = [0 (Bmx(xj)Bmy(yj))mx,my]) tous les ´el´ements de (CE)j agissant sur les param`etres de vitesse mVi sont nuls. On dit aussi que les ´el´ements des matrices de contrainte sont compartiment´es.
5. L’expression des contraintes par des fonctions B-spline cubiques implique que les ´el´ements non-nuls d’une ligne de matrice ont une structure particuli`ere : ils sont dispers´es par paquet successif contenant au plus 4 ´el´ements.
Dans les trois premi`eres remarques, nous observons que le nombre d’´el´ements non-nuls par ligne d’une matrice de contrainte est toujours major´e (quelque soit son type). Les observations pr´ec´edentes d´ebouchent sur les remarques suivantes :
Remarques 5.2.2 Dans nos applications en tomographie de r´eflexion, nous nous
atten-dons `a rencontrer des matrices de contrainte :
• tr`es creuses, • compartiment´ees,
• avec une structure particuli`ere des ´el´ements non-nuls.
Dans les figures 5.1, 5.2, et 5.3 nous avons repr´esent´e les ´el´ements non-nuls de 3 matrices de contraintes d’´egalit´e CE pour le mod`ele de sous-sol (synth´etique) “KARI-NE” (voir annexeDpour plus de d´etails sur ce mod`ele). Nous rappelons que ce mod`ele est constitu´e d’une vitesse 2D (V1) et de 2 interfaces 2D (Z1 et Z2). La vitesse V1 est repr´esent´ee par 40 (10*4) param`etres B-spline (mV1) et les interfaces Z1 et Z2 sont res-pectivement repr´esent´ees par 152 (38*4) et 285 (71*4) param`etres B-spline (mZ1 et mZ2). Un mod`ele “KARINE” m de sous-sol s’exprime alors par m = (mV1, mZ1, mZ2).
Chaque matrice, est obtenue par la “discr´etisation” d’une contrainte sp´ecifique : * Contrainte d’´egalit´e ou d’in´egalit´e sur une vitesse de couche : la matrice de la
fi-gure 5.1 est obtenue par la discr´etisation de la contrainte de vitesse 2D “V1 = e”
(ou “l ≤ V1 ≤ u”). Cette contrainte est appliqu´ee en nx∗ ny ∗ nz = 5 ∗ 2 ∗ 1 = 10
points de discr´etisation.
* Contrainte d’´egalit´e ou d’in´egalit´e sur la profondeur d’une interface : la matrice de la figure5.2 est obtenue par la discr´etisation de la contrainte d’interface 2D “Z2 = e” (ou “l ≤ Z2 ≤ u”). Cette contrainte est appliqu´ee en nx ∗ ny = 4 ∗ 35 = 140
points de discr´etisation.
* Contrainte d’´egalit´e ou d’in´egalit´e sur une ´epaisseur de couche : la matrice de la figure5.3est obtenue par la discr´etisation de la contrainte couplant deux interfaces 2D “Z2 − Z1 = e” (ou “l ≤ Z2 − Z1 ≤ u”). Cette contrainte est appliqu´ee en nx∗ ny = 4 ∗ 35 = 140 points de discr´etisation.
L’observation de ces trois matrices confirme la remarque5.2.2:
1. Ces trois matrices sont tr`es creuses : les ´el´ements non nuls repr´esent´es par des points noirs sont en tr`es faible proportion par rapport aux ´el´ements nuls (zones grises).
Fig. 5.1 ´El´ements non nuls du bloc vitesse de la matrice CEconstruite `a partir de nx∗ny∗nz= 5∗2∗1 = 10 points de discr´etisation : contrainte sur la vitesse V12D du type “V1= e”.
Section 5.2 117
Fig. 5.2 ´El´ements non nuls de la matrice CE construite `a partir de nx∗ ny = 4 ∗ 35 = 140 points de discr´etisation : contraintes sur la profondeur Z2(2D) du type “Z2= e”.
Fig. 5.3 ´El´ements non nuls de la matrice CE construite `a partir de nx∗ ny = 4 ∗ 35 = 140 points de discr´etisation : contraintes sur l’´epaisseur de la couche V1d´elimit´ee par les interfaces Z1et Z2(2D) du type “Z2− Z1= e”.
2. Les ´el´ements non-nuls des matrices de contraintes sont “compartiment´es” : ils ap-partiennent aux colonnes agissant sur les “quantit´es physiques” qui sont contraintes. Par exemple, dans la figure 5.1, o`u on contraint la vitesse de couche V1, les ´el´ements non-nuls appartiennent aux colonnes repr´esentant les param`etres de vitesse mV1. En effet, seules les 40 premi`eres colonnes contiennent des ´el´ements non-nuls. De mˆeme, pour les matrices des figures 5.2, et 5.3 o`u les ´el´ements non nuls appar-tiennent respectivement aux colonnes repr´esentant les param`etres d’interface mZ2 (colonnes 193 `a 476) et aux colonnes repr´esentant les param`etres d’interface mZ1et
mZ2 (colonnes 41 `a 476). Le dernier cas est particulier car les param`etres d’interface de Z1et de Z2 sont coupl´es : c’est le cas des contraintes couplant deux interfaces. 3. Les ´el´ements non nuls de ces trois matrices ont des structures g´eom´etriques
remar-quables : ils forment une ou plusieurs stries obliques parall`eles. Cette particularit´e s’explique tout d’abord par la param´etrisation en B-spline cubique qui limite le nombre de points non nuls par ligne. Et ensuite elle s’explique par les relations qui existent entre 2 lignes successives d’une matrice, relations qui proviennent du choix particulier de la discr´etisation r´eguli`ere des points d’applications des contraintes (voir l’exemple de discr´etisation 2D - x,y - ´equation (5.2)).
Afin d’avoir une id´ee plus pr´ecise de la forme des matrices de contrainte en tomo-graphie de r´eflexion nous avons illustr´e, dans les figures 5.4 et 5.5, les contraintes de l’exemple sur donn´ees r´eelles KIMASI (voir section 4.2 de l’article inclu dans la par-tie III de ce rapport) pour plus d’informations sur cet exemple). Les 3 commentaires ci-dessus sont aussi valables pour les matrices de contraintes du mod`ele KIMASI. Dans la figure5.4 la matrice du haut illustre les contraintes d’in´egalit´e sur les param`etres de vitesse, alors que celle du bas repr´esente les contraintes d’in´egalit´e sur les param`etres d’interface. Ces matrices sont obtenues par la “discr´etisation” d’une contrainte de tomo-graphie sp´ecifique :
* Contraintes sur le gradient vertical de vitesse dans le tertiaire (matrice du haut -bloc en haut `a gauche) : “0.1 ≤ ∇zvtert ≤ 0.3”. Cette contrainte est discr´etis´ee par
nx∗ ny∗ nz = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 points. Comme la vitesse “vtert” est param´etr´ee
par des B-splines 3D, on observe que ce bloc poss`ede plus d’´el´ements non-nuls par ligne (jusqu’`a 64).
* Contraintes sur les variations de vitesses (matrice du haut - bloc en bas `a droite) : ** dans le pal´eoc`ene : “2, 5 ≤ vpal ≤ 4” (contrainte discr´etis´ee par nx∗ ny∗ nz =
15 ∗ 10 ∗ 1 = 150 points),
** dans la craie : “3, 5 ≤ vichalk ≤ 5, 7” (contrainte discr´etis´ee par nx∗ ny∗ nz = 15 ∗ 10 ∗ 1 = 150 points) et “4, 2 ≤ vchalk ≤ 5, 8” (contrainte discr´etis´ee par nx∗ ny ∗ nz = 15 ∗ 10 ∗ 1 = 150 points).
* Contraintes sur les ´epaisseurs de couches (matrice du bas) :
** “tpal ≤ tchalk” (contrainte discr´etis´ee par nx∗ ny = 20 ∗ 20 = 400 points),
Section 5.3 119
Fig. 5.4 ´El´ements non nuls de la matrice d’in´egalit´e C du mod`ele KIMASI : contraintes sur les param`etres de vitesse (en haut), contraintes sur les param`etres d’interface (en bas).
Dans la figure5.5 la matrice illustre les contraintes d’´egalit´e sur les param`etres d’in-terface, dont les caract´eristiques sont :
* Contrainte sur la profondeur d’une interface : position des interfaces “tpal”, “tchalk” et “bchalk” fix´ees ponctuellement grˆace aux mesures (logs) provenant de 6 puits diff´erents.