Mise en œuvre de la m´ethode de programmation quadratique successive . 124

qua-dratique successive

Dans cette section, nous allons appliquer la m´ethode SQP `a la r´esolution du probl`eme de tomographie (P_EI) (les r´esultats g´en´eraux concernant cette m´ethode sont d´ecrits `a la

non-Section 6.2 125

Fig. 6.1 Pourcentage du temps CPU pass´e dans le probl`eme direct/solveur sans contrainte

lin´eaire en la r´esolution d’une suite de Probl`emes Quadratiques Tangents (PQT). Lorsque l’on souhaite utiliser une m´ethode SQP, les 2 premi`eres questions `a se poser sont : com-ment d´efinir les probl`emes quadratiques successifs ? Peut-on les r´esoudre (en un temps raisonnable) ? Dans les trois sous-sections suivantes nous donnerons des r´eponses `a ces questions. Dans la derni`ere sous-section nous d´evelopperons notre algorithme SQP local et pr´esenterons ses sp´ecificit´es.

6.2.1 Approximation gauss-newtonienne du Probl`eme Quadratique

Tangent

Dans la section 4.2.3 sur les rappels de la m´ethode SQP, nous avons vu que l’ex-pression du PQT fait intervenir le hessien du lagrangien du probl`eme original (voir ´equation (4.10)). Du fait que notre probl`eme (P_EI) ne fait intervenir que des contraintes

lin´eaires le hessien de ces derni`eres n’intervient pas dans le PQT :

∇2

mmL_(PEI) = ∇²_mmf.

Comme l’approximation gauss-newtonienne H_k calcul´ee dans la partie I est une bonne approximation de ∇²_mmf , elle est aussi une bonne approximation du hessien du

lagran-gien du probl`eme (P<sub>EI</sub>). Ainsi, pour des raisons identiques `a celles d´evelopp´ees `a la

section2.5.3on prendra l’approximation GN de ∇²_mmf : ∇2

mmf (m_k) ≈ H_k := J_k^>J_k+ σ²R,

Les contraintes (5.1) doivent aussi ˆetre exprim´ees en fonction de la perturbation du mod`ele δm en m_k. Pour les contraintes d’´egalit´e on a

cE(mk+ δm) = CE.(mk+ δm),

qui peut se r´ecrire comme

C_E.δm = e_k, (6.1)

o`u e_k = e − C_E.m_k. On obtient, par un calcul similaire,

l_k≤ C_I.δm ≤ u_k, (6.2)

pour les contraintes d’in´egalit´e, avec

(

l_k= l − C_Im_k,

u_k = u − C_Im_k. ^(6.3)

Le Probl`eme Quadratique Tangent (PQT) `a l’it´eration k de Gauss-Newton se formule donc comme la minimisation de l’approximation quadratique F_k de δm 7→ f (m_k+ δm)

soumise aux contraintes lin´eaires (6.1) et (6.2) :

(P QT )_k        min δm∈Rn  F_k(δm) = ¹₂δm^>H_kδm + g^>_kδm^ C_E.δm = e_k l_k ≤ C_I.δm ≤ u_k, (6.4) o`u g<sub>k</sub> = J<sub>k</sub><sup>></sup>(T<sub>k</sub>− Tobs) + σ<sup>2</sup>Rm<sub>k</sub>. D´efinition 6.2.1 On note δM<sub>C</sub>(m<sub>k</sub>) := {δm ∈ M : C<sub>E</sub>.δm = e<sub>k</sub>, l<sub>k</sub> ≤ C<sub>I</sub>.δm ≤ u<sub>k</sub>} l’ensemble des perturbations de mod`ele δm respectant les contraintes d’´egalit´e et

d’in´egalit´e du probl`eme (6.4).

On v´erifie ais´ement que δm ∈ δM_C(m_k) si et seulement si m_k+ δm ∈ M_C. D`es lors on a la relation

δM_C(m_k) = M_C − m_k. (6.5)

En particulier, on a δMC(mk) 6= 0 si et seuleument si MC 6= 0.

Le (P QT )k est un probl`eme convexe (voir d´efinition 4.1.5) car Hk est semi-d´efinie positive. Il sera donc possible d’appliquer une m´ethode de lagrangien augment´e pour le r´esoudre (voir chapitre7).

Section 6.2 127

6.2.2 Existence et unicit´e de la solution du Probl`eme Quadratique

Tangent

Sans les contraintes lin´eaires, le PQT (6.4) est ´equivalent au probl`eme r´egularis´e lin´earis´e (Plin) (cf. (2.16)) de la tomographie de r´eflexion. Nous avons vu `a la sec-tion 2.5.3, l’existence et l’unicit´e du probl`eme lin´earis´e (P_lin). La question ici est de

savoir si ce r´esultat est toujours valable lorsque l’on ajoute des contraintes lin´eaires. On a le r´esultat d’existence et d’unicit´e suivant.

Proposition 6.2.2 On suppose que les contraintes de (PEI) sont compatibles (M_C 6= ∅),

alors (P QT )_ka une solution. Si, en plus, H_kest d´efinie positive alors il existe une et une

seule solution au probl`eme (P QT )_k.

D ´EMONSTRATION. On utilise les 2 arguments suivants.

1) Le probl`eme (P QT )kest r´ealisable car δMC(m_k) 6= ∅ (car M_C 6= ∅).

2) F_k est born´e car

F_k(δm) = ¹ 2||J_kδm + T (m_k) − T^obs||2 2+ ^σ 2 2 ^{(mk+ δm)} >R(m_k+ δm) ≥ 0.

On sait que F_kest une fonction quadratique convexe (H_kest semi-d´efinie positive). Ainsi, par le th´eor`eme 17.1 de [18] il existe une solution au probl`eme (P QT )k. Si on suppose, en plus, que H_k est d´efinie positive alors cette solution est unique car, dans ce

cas, F_kest strictement convexe. ut

6.2.3 Conditions n´ecessaires et suffisantes d’optimalit´e du Probl`eme

Quadratique Tangent

Soit L_{(P QT )k} : Rⁿ× RnE × RnI → R le lagrangien associ´e au probl`eme quadratique

tangent (6.4) d´efini par

L_{(P QT )k}(δm, λ_E, λ_u, λ_l) = F_k(δm)+λ^>_E(C_Eδm−e_k)+λ^>_u(C_Iδm−u_k)−λ^>_l(C_Iδm−l_k),

(6.6) o`u le vecteur µ_E (resp. µ_l et µ_u) est appel´e le multiplicateur de Lagrange associ´e aux contraintes d’´egalit´e (resp. aux contraintes d’in´egalit´e).

Soit cδm_k un minimum de (P QT )_k. Comme F_k est r´eguli`ere (F_k ∈ C∞

de Rn → R) et que les contraintes sont affines (donc qualifi´ees (QC-A) voir la d´efinition 4.1.9

et la proposition 4.1.10), on peut appliquer le th´eor`eme de Karush-Kuhn-Tucker (cf. th´eor`eme 4.1.11). Il existe bλ_E,k ∈ RnE, bλ_l,k ∈ RnI et bλ_u,k ∈ RnI tels que les condi-tions n´ecessaires d’optimalit´e suivantes soient v´erifi´ees :

         (a) ∇F_k( cδm_k) + C_E^>bλ_E,k − C> I(bλ_l,k− bλ_u,k) = 0 (b) C_Eδmc_k = e_k, l_k≤ C_Iδmc_k≤ u_k (c) (bλ_l,k, bλ_u,k) ≥ 0 (d) bλ^>_l,k(C_Iδmc_k− l_k) = 0, bλ^>_u,k(C_Iδmc_k− u_k) = 0. (6.7)

On note bλ_k = (bλ_E,k, bλ_I,k) avec bλ_I,k = bλ_l,k − bλ_u,k. Ces conditions sont aussi suffisante pour avoir l’optimalit´e de cδm_k(voir proposition4.1.13).

6.2.4 Algorithme SQP local

On peut `a pr´esent sch´ematiser l’algorithme local de programmation quadratique suc-cessive que nous utilisons pour r´esoudre le probl`eme non-lin´eaire (P_EI).

Data : Choisir un mod`ele initial m₀.

begin k = 0

´

Evaluer f₀, g₀, J₀par la r´esolution du probl`eme direct (algorithme de trac´e de rayons).

while (5.5) n’est pas satisfaite do ((1)) R´esoudre le (P QT )_k(6.4) :

on obtient une solution primale-duale ( cδm_k, bλ_k).

((2)) Mettre `a jour le mod`ele par :

m_k+1 = m_k+ cδm_k.

((3)) Mettre `a jour les multiplicateurs de Lagrange par :

µ_k+1 = bλ_k.

((4)) ´Evaluer f_k+1, g_k+1, J_k+1 par la r´esolution du probl`eme direct (algorithme de trac´e de rayons).

((5)) Passer `a l’it´eration de Gauss-Newton suivante : k := k + 1.

endw end

Algorithme II.2 Algorithme SQP local appliqu´e `a la r´esolution de (PEI)

Quelques commentaires :

1. Les commentaires de l’algorithme g´en´eralII.1s’appliquent `a cet algorithme. 2. L’algorithmeII.2est un algorithme local. Il ne converge que pour m₀proche d’une

solution locale m de (P_{b EI}) (voir proposition 4.2.4). Si l’on commence `a it´erer `a partir d’un mod`ele initial m₀ “trop ´eloign´e” de la solutionm, il faut alors forcer la_b

convergence en utilisant une m´ethode de globalisation de l’algorithme local . Nous d´evelopperons en d´etail une m´ethode de globalisation dans la section 6.3. Cette m´ethode met `a jour le mod`ele et les multiplicateurs de Lagrange aux ´etapes ((2)) et ((3)) de l’algorithme.

Section 6.3 129

Fig. 6.2 Pourcentage du temps CPU pass´e dans le probl`eme direct/solveur avec contraintes

3. Comme nous l’avons d´ej`a remarqu´e dans la figure6.2, la r´esolution du probl`eme direct `a l’´etape ((4)) de l’algorithme repr´esente plus de 80% du temps total de cal-cul (hors parall´elisation et sans contrainte). La figure 6.2 confirme cette tendance lorsque l’on utilise notre optimiseur avec contraintes. En effet, on remarque que le temps CPU pass´e `a r´esoudre le probl`eme direct reste sup´erieur `a 70% sur l’ensemble des mod`eles de notre biblioth`eque de tomographie (voir annexeD). Il faut rester tr`es prudent sur ces valeurs car le temps pass´e dans l’optimiseur avec contraintes d´epend de beaucoup de param`etres : nombre de contraintes, type des contraintes, activit´e des contraintes en la solution, dimension du probl`eme, etc... Ces valeurs valident notre choix pour la m´ethode SQP.