4.2 Mod´elisation de la structure fine
4.2.5 Origine de la structure fine
La description que nous avons donn´ee pr´ec´edemment de la transition fon- damentale fait appel pour l’instant `a quatre ´etats pour les porteurs dans la boˆıte : deux ´electroniques de ”conduction” et deux de trou lourd. Nous avons vu `a la section pr´ec´edente que pour comprendre l’effet de l’interaction d’´echange sur cette transition, il suffit de s’interesser `a son action au sein des quatre ´etats ´electroniques correspondants : i| ˜S ↓i ⊗ |ξci, i| ˜S ↑i ⊗ |ξci, 1 √ 2|( ˜X + i ˜Y ) ↑i ⊗ |ξvi, 1 √ 2|( ˜X − i ˜Y ) ↓i ⊗ |ξvi, (4.2.43) L’interaction coulombienne ne peut pas transformer un ´electron de spin donn´e en un ´electron de spin diff´erent puisqu’elle ne voit pas ce degr´e interne de libert´e qu’est le spin.
Processus directs :
Dans le processus direct sch´ematis´e dans la partie gauche de la figure 4.2.4, les ´electrons dans les ´etats c et c’ doivent donc avoir le mˆeme spin et il en va de mˆeme pour les ´electrons dans les ´etats v et v’.
Puisque les ´etats c et c’ sont ici `a prendre parmi les 2 ´etats i| ˜S ↓i ⊗ |ξci et i| ˜S ↑i ⊗ |ξci, qui sont de spins oppos´es, c et c’ doivent ˆetre un seul et mˆeme ´etat dans le processus direct, `a savoir i| ˜S ↓i ⊗ |ξci ou i| ˜S ↑i ⊗ |ξci. Pour les mˆemes raisons, dans un processus direct, v et v’ sont un seul et mˆeme ´etat, `a savoir
1 √ 2|( ˜X + i ˜Y ) ↑i ⊗ |ξvi ou 1 √ 2|( ˜X − i ˜Y ) ↓i ⊗ |ξvi.
Finalement, dans le processus direct, nous avons forc´ement (c=c’) et (v=v’). Cela signifie que ce processus n’est capable de coupler un exciton |φvci qu’avec lui-mˆeme.
Dans la base d’´etats de paire ´electron-trou | + 1i, | − 1i, | + 2i, | − 2i, les processus coulombiens directs s’´ecrivent donc sous forme diagonale :
Hdirect = -a 0 0 0 0 -b 0 0 0 0 −c 0 0 0 0 -d (4.2.44) avec a = e 2 4πǫ Z Z R3 |u4−→0(−→r2)|2|ξv(−→r2)|2|u2−→0(−→r1)|2|ξc(−→r1)|2 |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.45) b = e 2 4πǫ Z Z R3 |u3−→0(−→r2)|2|ξv(−→r2)|2|u1−→0(−→r1)|2|ξc(−→r1)|2 |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.46) c = e 2 4πǫ Z Z R3 |u4−→0(−→r2)| 2|ξ v(−→r2)|2|u1−→0(−→r1)|2|ξc(−→r1)|2 |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.47) d = e 2 4πǫ Z Z R3 |u3−→0(−→r2)| 2|ξ v(−→r2)|2|u2−→0(−→r1)|2|ξc(−→r1)|2 |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.48) Or la sym´etrie des 4 fonctions atomiques {ui−→0}i=1..4impose a = b = c = d = γ et finalement :
Hdirect = −γ (4.2.49)
L’interaction directe de Coulomb a pour effet de lier la paire ´electron-trou impliqu´ee dans la transition fondamentale (effet excitonique) et abaisse son ´energie de recombinaison radiative de quelques dizaines de meV [64, 52].
Processus d’´echange :
Le fait que l’interaction coulombienne ne voit pas le degr´e interne de spin des porteurs implique que dans le processus d’´echange repr´esent´e dans la partie droite de la figure 4.2.4, les ´electrons dans les ´etats c’ et v’ doivent avoir le mˆeme spin ainsi que les ´electrons dans les ´etats c et v. Si c′ = i| ˜S ↓i ⊗ |ξ
ci alors v′ = √1
2|( ˜X − i ˜Y ) ↓i ⊗ |ξvi et si c′ = i| ˜S ↑i ⊗ |ξci alors v′ = 1 √
2|( ˜X + i ˜Y ) ↑i ⊗ |ξvi. Au sein des quatre ´etats ´electroniques ´ecrits (´equation 4.2.43), cela signifie que les processus d’´echange d’origine coulombienne ne peuvent op´erer que sur deux couples d’´etats ´electroniques, `a savoir :
£ i| ˜S ↓i⊗|ξci, 1 √ 2|( ˜X−i ˜Y ) ↓i⊗|ξvi ¤ et £ i| ˜S ↑i⊗|ξci, 1 √ 2|( ˜X+i ˜Y ) ↑i⊗|ξvi ¤ (4.2.50) Le premier de ces couples correspond `a l’exciton brillant | + 1i, le second correspond `a | − 1i (voir figure 4.2.5).
+1
+2
-1
-2
Fig. 4.2.5 – La transition fondamentale avec sa d´eg´en´erescence d’ordre 4 repr´esent´ee comme une transition entre ´etats ´electroniques. Les deux transitions du haut sont optiquement autoris´ees et correspondent aux excitons brillants de moment +1 et −1. Les deux autres sont optiquement interdites et correspondent aux excitons noirs +2 et -2.
Nous voyons que les seuls excitons |φvci `a pouvoir ˆetre coupl´es par le biais de l’interaction d’´echange sont les excitons brillants. Les excitons noirs ne sont pas affect´es : dans la base d’´etats de paire ´electron-trou | + 1i, | − 1i, | + 2i, | − 2i, nous pouvons ´ecrire l’interaction d’´echange sous la forme :
H´echange= 1 2 δ ∆ 0 0 ∆ δ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (4.2.51)
La notation | + 1i, | − 1i, | + 2i, | − 2i fait r´ef´erence aux valeurs propres de Jat z agissant sur la partie atomique seulement des ´etats ´electroniques (projection du
moment cin´etique orbital atomique plus le moment cin´etique de spin −→Lat+−→S ) car les r´egles de s´election sont d´efinies par les ´el´ements de matrice ´ecrits au paragraphe 1.4.1 du chapitre I.
Comme l’interaction coulombienne Hc = 4πε1 e 2
r commute avec − →J et J
z, elle ne peut pas coupler des ´etats de J, Jz diff´erents mais cette fois c’est le moment cin´etique total de l’´etat complet (partie atomique+partie enveloppe) qu’il faut consid´erer o`u la partie enveloppe donne une contribution −→Lenv au moment cin´etique orbital :
− →
J = −→Lenv+−→Lat+−→S =−→Lenv+−→Jat (4.2.52) Cette distinction entre la partie atomique et la partie enveloppe des ´etats ´electroniques invite `a s´eparer l’interaction d’´echange que nous ´etudions en sa partie courte port´ee, qui agit `a l’´echelle des fonctions atomiques, et sa partie longue port´ee, qui agit `a l’´echelle des fonctions enveloppes.
Interaction d’´echange courte port´ee
L’interaction d’´echange courte port´ee est par d´efinition celle qui agit `a l’´echelle de la cellule ´el´ementaire, elle ne voit donc que la partie atomique des fonctions d’onde des porteurs dans la boˆıte.
L’interaction de Coulomb ´etant ´egalement invariante par rotation `a l’´echelle de la cellule ´el´ementaire, elle commute avec l’op´erateur de moment cin´etique−→Lat pour la paire ´electron-trou et puisqu’elle ne voit pas le degr´e de libert´e de spin, elle commute aussi avec−→Jat =−→Lat+−→S . Cela implique que les processus d’´echange d’origine coulombienne sont incapables `a l’´echelle de la cellule ´elementaire de coupler deux paires ´electron-trou de moment cin´etique diff´erent. Dans la base d’´etats de paire | + 1i, | − 1i, | + 2i, | − 2i que nous avons introduite plus tˆot, nous pouvons ´ecrire l’action de l’interaction d’´echange courte port´ee Hcp :
Hcp= 1 2 δcp 0 0 0 0 δcp 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (4.2.53) h+1|Hcp|+1i = h−1|Hcp|−1i = e2 4πǫ Z Z u∗ 1−→0(−→r1)u ∗ 4−→0(−→r2)u1−→0(−→r2)u4−→0(−→r1) |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.54) qui n’agit que sur les parties atomiques des ´etats.
Il y a donc une lev´ee de d´eg´en´erescence entre ´etats noirs et ´etats brillants (voir figure 4.2.8). Dans les boˆıtes InAs/GaAs, les ´etats noirs se trouvent environ `a 400 µeV sous les ´etats brillants [94] et 670 µeV dans des boˆıtes II-VI [84].
Interaction d’´echange longue port´ee
L’interaction d’´echange longue port´ee voit, elle, les fonctions d’onde des porteurs `a l’´echelle de leur enveloppe.
Dans le cas d’une boˆıte quantique de sym´etrie D2v invariante par rotation autour de z, les premiers ´etats li´es pour l’´electron et le trou dans la boˆıte sont :
ψc = ξeuc−→0 − i~ m0ǫg (−→pc−→0 ,v−→0.−→∇ξe)uv−→0 ψv = ξhuv−→0 + i~ m0ǫg (−→pv−→0 ,c−→0.−→∇ξh)uc−→0 (4.2.55) pour lesquels−→Lenv = −→0 puisque ξ
e et ξh ont la sym´etrie s. Le moment cin´etique total −→J des ´etats de paire ´electron-trou est alors d´etermin´e par les parties atomiques (c’est `a dire par −→Lat +−→S ) et l’interaction d’´echange longue port´ee ne peut pas coupler les ´etats |+1i et |−1i `a cause de son invariance par rotation. Dans le cas d’une boˆıte quantique de sym´etrie plus r´eduite en revanche, par exemple une boˆıte quantique allong´ee elliptiquement selon un axe, les fonctions d’onde des porteurs dans la boˆıte sont toujours donn´ees par l’´equation 4.2.55 mais `a pr´esent ξe et ξh poss`edent un moment cin´etique enveloppe non nul `a cause de l’anisotropie. Dans ce cas, nous n’avons plus −→Lenv 6=−→0 pour les ´etats ψ
c et ψv. Dans ce cas d’une boˆıte `a sym´etrie r´eduite, l’interaction d’´echange longue port´ee peut coupler les deux ´etats de paire ´electron-trou | + 1i et | − 1i car leur partie enveloppe, si tant est qu’elle poss`ede une composante Lenv
z = ±2
au minimum (sym´etrie d ou plus), peut maintenant compenser la variation de moment cin´etique ∆Jat
z = 2 qui survient au niveau atomique lorsque l’on passe de l’´etat | + 1i `a l’´etat | − 1i. La fa¸con la plus facile de conf´erer cette composante Lenv
z = ±2 `a des enveloppes est de les ´etirer dans une direction du plan (x,y) pour transformer leur base circulaire en ellipse.
Finalement, l’action de l’interaction d’´echange longue port´ee dans une boˆıte `a base circulaire ou elliptique s’´ecrit dans la base | + 1i, | − 1i, | + 2i,| − 2i :
Hlp = 1 2 δlp ∆ 0 0 ∆ δlp 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (4.2.56)
o`u ∆ est appel´e le splitting d’´echange longue port´ee anisotrope : il est nul th´eoriquement dans une boˆıte mod`ele `a base circulaire et devient non nul dans une boˆıte `a sym´etrie plus r´eduite poss´edant par exemple une base elliptique. Les exp´eriences dans les boˆıtes InAs/GaAs r´eelles montrent que ∆ est de l’ordre de quelques dizaines de µeV [85, 93, 94].
Anisotropie du potentiel de confinement
Il faut donc de mani`ere g´en´erale, en plus du m´elange−→k .−→p , une rupture de la sym´etrie s de l’enveloppe pour faire rentrer en jeu l’interaction d’´echange longue port´ee entre les deux ´etats brillants |+1i et |−1i. Une sym´etrie r´eduite au niveau de l’enveloppe apparaˆıt si le potentiel de confinement est anisotrope, ce qui est le cas lorsque la base de la boˆıte est l´eg`erement elliptique comme nous l’avons vu (voir figure 4.2.8), mais aussi lorsque la composition ou le champ de d´eformation au sein de la boˆıte sont eux-mˆemes anisotropes.
Des images synchrotron et STM ont mis en ´evidence un allongement fr´equent des boˆıtes quantiques selon la direction cristallographique [110] (voir figure 4.2.6), assurant d´ej`a que la sym´etrie spatiale des boˆıtes quantiques uniques est souvent bris´ee.
Fig. 4.2.6 – A gauche : image d’une boˆıte unique InAs/GaAs par le synchrotron d’Hambourg. A droite : image STM d’une boˆıte unique [91].
Par ailleurs, mˆeme dans une boˆıte `a forte sym´etrie g´eom´etrique, des effets de contraintes sont responsables d’asym´etries dans le potentiel de confinement. La pr´esence de champs piezo´electriques locaux induits par les composantes de cisaillement du champ de d´eformation au sein de la boˆıte conf`ere aux enveloppes des fonctions d’onde des trous des sym´etries plus faibles que la sym´etrie D2v, nous en avons vu un exemple dans la figure 1.3.4 du chapitre d’introduction [45, 46, 47]. Migliorato s’est int´eress´e `a ce ph´enom`ene en mettant l’accent sur le rˆole d’une composition non-uniforme au sein de la boˆıte [123]. Il a montr´e que, dans la boˆıte, des gradients de concentration d’InAs par rapport `a GaAs donnent naissance `a une densit´e de charge piezo-´electrique plus importante que dans le cas d’une boˆıte d’InAs pur. De tels gradients `a l’int´erieur de la boˆıte (i.e. une composition non-uniforme de la boˆıte) permettent aux termes de contrainte de cisaillement, qui apparaissent aux interfaces InAs/GaAs, de p´en´etrer jusqu’au sein de la boˆıte quantique au lieu de rester localis´es sur ses bords `a l’interface
avec la matrice GaAs environnante, comme dans le cas d’une boˆıte d’InAs pur [124]. Cela donne lieu `a un effet de d´eformation important sur les enveloppes des fonctions d’onde des deux types de porteurs confin´es dans la boˆıte, contrairement `a ce que pr´evoyait Stier dans le cas d’une boˆıte `a composition uniforme en InAs [125], o`u seules les fonctions d’onde des trous ´etaient d´eform´ees l´eg`erement et de fa¸con tr`es localis´ee sur les bords de la boˆıte.
Fig. 4.2.7 – Potentiel piezo-´el´ectrique calcul´e pour une boˆıte `a base carr´ee de composition non-uniforme [124]. Les zones claires (sombres) indiquent les valeurs positives (n´egatives).
Nous reproduisons en figure 4.2.7 le potentiel piezo´electrique que calcule Migliorato pour l’´electron dans une boˆıte quantique mod`ele `a base carr´ee, l’asym´etrie du potentiel de confinement induit par les contraintes et les effets de composition y apparaˆıt nettement. Nous avons vu au chapitre I (figure 1.3.4) que cette asym´etrie est moins marqu´ee dans l’approximation d’une boˆıte `a base circulaire que carr´ee, mais le calcul de Migliorato permet de se faire une image du rˆole des contraintes et des effets de composition sur l’anisotropie du potentiel de confinement dans une boˆıte. Les axes principaux de cette anisotropie sont les axes cristallographiques [1¯10] et [110].
Structure fine de la transition fondamentale impliquant l’exciton lourd Finalement que ce soit `a cause d’une ´elongation g´eom´etrique de la boˆıte dans la direction [110] ou `a cause d’effets de contrainte et de composition, il semble plus cr´edible de consid´erer une boˆıte pr´esentant un potentiel de confinement `a sym´etrie r´eduite poss`edant des axes principaux X et Y qui sont les directions cristallographiques [1¯10] et [110]. L’interaction d’´echange anisotrope `a longue port´ee entre l’´electron et le trou entre donc souvent en jeu, avec ces axes de sym´etrie caract´eristiques.
Dans ce cas les deux ´etats brillants | + 1i ou | − 1i sont coupl´es et leur d´eg´en´erescence est lev´ee : les deux nouveaux ´etats brillants stationnaires sont :
1 √
2(| + 1i + | − 1i) → photons polaris´es 1 √ 2(σ ++ σ−) = X (4.2.57) et 1 √
2(| + 1i − | − 1i) → photons polaris´es 1 √
2(σ +
− σ−) = Y (4.2.58) Ils sont s´epar´es en ´energie du splitting ∆ et ´emettent des photons polaris´es lin´eairement suivant les axes propres X et Y du potentiel de confinement (voir sch´ema des lev´ees de d´eg´enerescence figure 4.2.8), qui sont les axes cristallogra- phique [1¯10] et [110] de l’´echantillon. X X X X Y Y Y Y Transition fondamentale 4 fois dégenérée Etats brillants =+-1JZ Etats noirs JZ=+-2
Pas d'interaction d'échange. Interaction d'échangecourte portée. Interaction d'échangelongue portée.
300 eVm
20 eVm
Fig. 4.2.8 – Sch´ema des lev´ees de d´eg´en´erescence au sein de la transition fondamentale sous l’action de l’interaction d’´echange ´electron-trou.
Interaction d’´echange dans le cadre de l’approche pseudo-potentiel Enfin, mˆeme dans le cas d’une boˆıte de composition uniforme et d’enveloppe de sym´etrie s, la sym´etrie C2v du cristal zinc-blende sous-jacent demeure : le syst`eme boˆıte quantique InAs/GaAs n’a pas la sym´etrie D2v. Cela a ´et´e mis clairement en lumi`ere par le travail du groupe d’Alex Zunger [126, 127], dont l’approche pseudo-potentiel inclut naturellement les sym´etries du cristal ainsi que l’interaction d’´echange, sans faire de distinction entre son action `a longue port´ee et `a courte port´ee sur la partie atomique.
En utilisant les techniques du pseudo-potentiel, Bester a ainsi montr´e que la transition fondamentale d’une boˆıte quantique, mˆeme pour un potentiel de confinement de sym´etrie D2v, poss`ede toujours une structure fine constitu´ee de deux raies de mˆeme intensit´e polaris´ees lin´eairement selon X et Y [126]. Cela est dˆu `a la sym´etrie C2v du cristal sous-jacent, qui se traduit par le fait que la constante di´electrique ε(−→r 1, −→r 2) dans la cellule ´el´ementaire n’est pas invariante par rotation. L’allure qualitative de la structure fine pr´esent´ee en figure 4.2.9 reste valable mˆeme dans ce cas. Pour une boˆıte circulaire, le splitting d’´echange entre ces deux raies est de l’ordre de 4 µeV , que nous pouvons prendre comme valeur de r´ef´erence de l’interaction d’´echange pour une boˆıte id´ealement sym´etrique.
Notre description aboutit donc `a ce stade `a l’existence d’une structure fine au sein de la transition fondamentale : elle est constitu´ee de deux transitions polaris´ees lin´eairement selon [1¯10] et [110] et s´epar´ees par un splitting d’´echange longue port´ee d’une magnitude de quelques 10 µeV (voir figure 4.2.9).
Fig.4.2.9 – Mod´elisation de la structure fine de la photoluminescence d’une boˆıte quantique unique dans le cas de l’exciton lourd : deux raies polaris´ees lin´eairement orthogonales selon [110] et [110] et d’intensit´es proches.