Interaction coulombienne directe, d’´echange et ´echange ef-

Dans une boˆıte quantique, le confinement des porteurs tend `a rendre plus important les effets de leur interaction coulombienne. L’interaction coulombienne importante entre l’´electron et le trou impliqu´es dans la transition fondamentale modifie la description que nous en avons donn´e pr´ec´edemment et lui conf`ere une structure fine.

De mani`ere g´en´erale, l’interaction coulombienne entre deux particules indis- cernables, des ´electrons de charge (−e) dans le vide par exemple, se trouvant dans

les ´etats ψ et φ, se compose d’un terme direct Jdirect et d’un terme d’´echange Jechange´ donn´es par

Jdirect= e2 4πε0 Z Z |ψ(−→r1)|2|φ(−→r2)|2 |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.16) et Jechange´ = e2 4πε0 Z Z ψ∗₍₋→_r 1)φ∗(−→r2)ψ(−→r2)φ(−→r1) |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.17) Le terme d’´echange est une cons´equence de l’indiscernabilit´e des ´electrons, ou formellement du postulat d’antisymm´etrisation des fonctions d’onde pour les fermions [118, 119].

Dans notre cas, celui d’une paire ´electron-trou dans une boˆıte quantique de semiconducteurs, nous sommes en pr´esence d’un syst`eme `a N ´electrons indiscernables : un dans un ´etat de conduction et N −1 dans des ´etats de valence. Cette paire ´electron-trou peut ˆetre form´ee `a partir de l’´etat fondamental φ0, o`u tous les ´electrons occupent tous les ´etats de valence, en d´etruisant un ´electron dans un ´etat de valence v et en en cr´eant un dans un ´etat de conduction c. En utilisant le formalisme de la seconde quantification, l’´etat de cette paire s’´ecrit :

| φvci = c+ccv | φ0i (4.2.18) Nous nous int´eressons `a l’action de l’interaction coulombienne au sein du syst`eme `a N ´electrons d´ecrit par un ´etat de paire ´electron-trou et cherchons `a savoir dans quelle mesure cette interaction est capable de coupler deux ´etats de paire | φv′_c′i et | φ_vci. Il nous faut donc calculer les termes suivants :

hφvc| Hc| φv′_c′i (4.2.19) o`u Hc correspond `a l’interaction de Coulomb effective ´electron-´electron te- nant compte des ph´enom`enes d’´ecrantage par l’introduction d’une constante di´electrique effective ε [62] : Hc= 1 4πε e2 r (4.2.20)

En seconde quantification, l’op´erateur Hc, qui est une somme d’op´erateurs `a deux particules impliquant chacun les ´electrons deux `a deux, s’´ecrit [118] :

Hc= 1 2 X α,β,γ,δ hγδαβc+γc+δcβcα (4.2.21) o`u : hγδαβ = e2 4πǫ Z Z _ψ∗ γ(−→r1)ψ∗δ(−→r2)ψα(−→r2)ψβ(−→r1) |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.22)

L’´el´ement de matrice qui nous int´eresse s’´ecrit donc `a l’aide de ce formalisme : hφvc | Hc | φv′_c′i = hφ₀ | c+_vc_c| 1 2 X α,β,γ,δ hγδαβc+γc+δcβcα | c+c′c_v′ | φ₀i (4.2.23) pour le calcul duquel on peut distinguer trois cas.

Premier cas : v 6= v′ _{et c 6= c}′_.

Lisons l’´el´ement de matrice pr´ec´edent de la droite vers la gauche : l’´etat de d´epart est | φ0i, auquel on enl`eve d’abord un ´electron dans l’´etat v’ et on ajoute ensuite un ´electron dans l’´etat c’. Puisque nous allons projeter `a la fin `a gauche sur | φ0i, il faut que la suite des op´erations fasse r´eapparaˆıtre un ´electron dans v’ et fasse disparaˆıtre celui qui est arriv´e dans c’, sinon le r´esultat de la projection est z´ero. Or puisque v 6= v′ _{et c 6= c}′_{, les op´erateurs c}+

v et cc ne peuvent pas r´ealiser cette op´eration. C’est donc le groupe d’op´erateurs c+

γc+δcβcα qui doit s’en charger et il doit en mˆeme temps d´etruire un ´electron dans l’´etat v puisqu’il va ensuite ˆetre recr´eer par l’action de c+

v et cr´eer un ´electron dans l’´etat c puisqu’il sera ensuite d´etruit pas l’action de cc.

Finalement, dans le cas v 6= v′ _{et c 6= c}′_{, les seuls termes non nuls dans} l’´el´ement de matrice pr´ec´edent sont ceux pour lesquels [{(α, β) = (c′_{, v) ou} (α, β) = (v, c′_{)} et {(γ, δ) = (c, v}′_{) ou (γ, δ) = (v}′_{, c)}] et nous obtenons quatre} termes :

Les deux termes correspondant `a [(α, β) = (c′_{, v) et (γ, δ) = (c, v}′_{)] et} [(α, β) = (v, c′_{) et (γ, δ) = (v}′_{, c)] sortent avec un signe + car ils s’´ecrivent :}

hφ0 | c+vcc| 1 2hcv′c′vc + cc+v′cvcc′ + 1 2hv′cvc′c + v′c+_ccc′c_v | c+ c′cv′ | φ₀i (4.2.24) ou encore hφ0 | c+vcc| 1 2hcv′c′vc + cc+v′c_vc_c′ + 1 2hv′cvc′c + cc+v′c_vc_c′ | c+ c′c_v′ | φ₀i (4.2.25) puisque [ci, c+j ]+ = δij.

Ils correspondent `a des processus d’´echange pour les paires d’´electrons (c’,v) et (c,v’) : on d´etruit l’´electron dans l’´etat v pour le recr´eer dans l’´etat c et parall`element on d´etruit l’´electron dans l’´etat c’ pour le recr´eer dans l’´etat v’ (voir figure 4.2.4). Les deux termes hcv′_c′_v et h_v′_cvc′ sont ´egaux (ils correspondent au mˆeme processus) et donnent donc la mˆeme contribution `a l’´el´ement de matrice. Les deux termes correspondant `a [(α, β) = (c′_{, v) et (γ, δ) = (v}′_{, c)] et} [(α, β) = (v, c′_{) et (γ, δ) = (c, v}′_{)] viennent avec un signe - car ils s’´ecrivent :}

hφ0 | c+vcc| 1 2hv′cc′vc + v′c+_ccvcc′ + 1 2hcv′vc′c + cc+v′cc′c_v | c+ c′cv′ | φ₀i (4.2.26)

Ils correspondent `a des processus directs entre les paires d’´electrons (c’,v) et (c,v’) : on d´etruit l’´electron dans l’´etat v pour le recr´eer dans l’´etat v’ et parall´element d´etruit l’´electron dans l’´etat c’ pour le recr´eer dans l’´etat c (voir figure 4.2.4). Ici encore hv′_cc′_v=h_cv′_vc′.

C’

C

C’

C

V

V’

V

V’

Fig. _{4.2.4 – Processus coulombiens entre les paires d’´electrons (c’,v) et (c,v’). A} gauche processus direct, `a droite processus d’´echange.

Dans le cas v 6= v′ _{et c 6= c}′_{, on a donc :}

hφvc | HCoulomb | φv′_c′i = h_cv′_c′_v − h_v′_cc′_v (4.2.27) o`u : hcv′_c′_v = e2 4πǫ Z Z ψ∗ c(−→r1)ψv∗′(−→r₂)ψ_c′(−→r₂)ψ_v(−→r₁) |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.28) est le terme d’´echange qui existerait entre deux paires d’´electrons (c’,v) et (c,v’) et : hv′_cc′_v = e2 4πǫ Z Z ψ∗ v′(−→r1)ψ∗c(−→r2)ψc′(−→r₂)ψ_v(−→r₁) |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.29) est le terme de Coulomb direct entre ces deux mˆemes paires d’´electrons (c’,v) et (c,v’).

Alors qu’´electron et trou ne sont pas des fermions indiscernables, l’interaction coulombienne entre deux ´etats de paire ´electron-trou comprend un terme direct et un terme d’´echange qui s’´ecrivent `a partir des termes directs et d’´echange entre 2 ´electrons dans les ´etats ψc et ψv. C’est en ce sens que l’on parlera plus tard d’interaction d’´echange ´electron-trou.

Deuxi`eme cas : v = v′ _{et c = c}′_.

Dans ce cas, les termes du cas pr´ec´edent sont toujours pr´esents mais il vient s’en ajouter d’autres car les quatre op´erateurs c+

γc+δcβcαdans l’´el´ement de matrice 4.2.23 ne sont plus oblig´es de d´etruire l’´electron dans c’ pour le recr´eer dans v’ : les op´erateurs c+

vcc tout `a gauche s’en chargent puisque v = v′ et c = c′. Ce changement par rapport au cas pr´ec´edent am`ene l’apparition des termes

[(α, β) = (vi, vj) et {(γ, δ) = (vi, vj) ou (γ, δ) = (vj, vi)}] o`u vi 6= vj, vi 6= v et vj 6= v qui comprennent tous les processus directs et d’´echange concernant deux ´electrons dans deux ´etats de valence vi et vj qui n’ont pas ´et´e concern´es lors de la cr´eation de l’exciton. La contribution des termes additionnels est :

X vi,vj i<j vi6=v vj 6=v hvjvivjvi− hvivjvjvi (4.2.30)

qu’on peut r´e´ecrire :

(X vi,vj i<j vi6=c vj 6=c hvjvivjvi− hvivjvjvi) − ( X vi vi6=v vi6=c hvivviv− hvviviv) + ( X vi vi6=v vi6=c hvicvic− hcvivic) (4.2.31)

Le premier terme de cette expression comprend tous les processus coulombiens `a deux ´electrons dans l’´etat fondamental φ0, c’est l’´energie propre coulombienne des N ´electrons qui forment cet ´etat. On peut l’´ecrire :

hφ0 | Hc| φ0i (4.2.32)

et on la consid´erera nulle par convention d’´energie.

Le deuxi`eme terme de l’expression comprend tous les processus coulombiens `a deux ´electrons impliquant l’´electron dans l’´etat de valence v et un autre ´electron dans un autre ´etat de valence. Ce terme est ce qu’on pourrait appeler l’´energie coulombienne de l’´electron dans l’´etat v interagissant avec les N −1 autres au sein du syst`eme `a N ´electrons dans l’´etat φ0. On notera cette ´energie ǫv, elle apparait avec un signe moins dans notre ´el´ement de matrice puisqu’il n’y a pas d’´electron dans l’´etat v dans |φvci.

Le troisi`eme terme correspond `a tous les processus coulombiens entre l’´electron dans l’´etat de conduction et les N − 1 ´electrons restant dans les ´etats de valence dans l’´etat φvc. C’est encore une fois une ´energie de renormalisation coulombienne, cette fois pour l’´electron de conduction, que l’on note ǫc. Elle apparait avec un signe +, puisque l’´electron de conduction c est pr´esent dans l’´etat |φvci.

Finalement, dans le cas v = v′ _{et c = c}′_{, nous retrouvons l’´el´ement de matrice} ´ecrit dans [120].

hφvc | HCoulomb | φvci = ǫc− ǫv+ hcvcv− hvccv (4.2.33) Troisi`eme cas : [v 6= v′ _{et c = c}′_{] ou [v = v}′ _{et c 6= c}′_].

Notons d’abord que ce cas est peu pr´esent dans la litt´erature sur les excitons [120, 121, 122]. En effet dans le massif, les ´etats ´electroniques `a une particule `a partir desquels on construit les excitons |φvci sont les ´etats de Bloch. Ces

excitons ont donc un vecteur d’onde−→k =−→kc−−→kv et l’interaction coulombienne est incapable de coupler deux excitons de vecteur d’onde diff´erent, |φvci et |φv′_ci par exemple, `a cause de l’invariance par translation [120]. Dans les boˆıtes quantiques, o`u l’invariance par translation est bris´ee, ces termes sont a priori non nuls.

Les deux sous-cas [v 6= v′ _{et c = c}′_{] ou [v = v}′ _{et c 6= c}′_{] sont un peu similaires.} Regardons le sous-cas [v 6= v′ _{et c = c}′_{]. Les termes non nuls qui apparaissent} dans l’´el´ement de matrice correspondent aux s´equences d’op´erateurs suivantes :

c+_v′c+_cc_vc_c, c+_v′c+_cc_cc_v, c+_cc+_v′c_cc_v, c+_cc+_v′c_vc_c, (4.2.34) qui donnent toujours les termes :

hcv′_cv− h_v′_ccv (4.2.35)

mais aussi toutes les s´equences d’op´erateurs :

c+_v′c+_vic_vc_vi, c+_v′c+_vic_vic_v, c+_vic+_v′c_vic_v, c+_vic+_v′c_vc_vi, (4.2.36) pour {vi 6= c} et {vi 6= v} et {vi 6= v′} qui donnent les termes :

X

vi6=c vi6=v vi6=v′

hviv′_viv− h_v′_viviv (4.2.37)

Ces derniers termes correspondent aux processus coulombiens `a deux ´electrons impliquant un ´electron dans l’´etat v ou v’ et un ´electron dans un ´etat de valence vi diff´erent de v et v’.

Pour le sous-cas [v 6= v′ _{et c = c}′_{], on a donc au final un ´el´ement de matrice} qui vaut : hφvc | Hc | φv′_ci = h_cv′_cv− h_v′_ccv + X vi6=c vi6=v vi6=v′

hviv′_viv− h_v′_viviv (4.2.38)

De la mˆeme fa¸con pour le sous-cas [v = v′ _{et c 6= c}′_{], l’´el´ement de matrice} vaut : hφvc | Hc | φvc′i = h_cvc′_v− h_vcc′_v+ X vi6=c vi6=c′ vi6=v hvicvic′ − h_cvivic′ (4.2.39)

Nous voyons que dans les boˆıtes contrairement au cas du massif, pour les cas [v 6= v′ _{et c = c}′_{] ou [v = v}′ _{et c 6= c}′_{], l’interaction coulombienne ´electron-trou ne} se r´eduit pas strictement `a des termes directs et d’´echange entre les ´etats de paire

´electronique (c,v’) (c,v) ou (c,v) (c’,v) impliquant l’´etat de conduction occup´e et l’´etat de valence vid´e lors de la cr´eation de l’exciton. Il existe en plus des termes impliquant tous les autres ´etats de valence occup´es par des ´electrons.

Dans la litt´erature sur l’interaction d’´echange dans les boˆıtes quantiques, ces termes sont laiss´es de cˆot´e car le calcul du terme d’´echange ´electron-trou est fait `a partir d’une base d’´etats ´electroniques volontairement tronqu´ee. Nous pouvons ici nous demander quelle est l’influence de ces termes dans nos ´etudes sur les boˆıtes quantiques.

Dans ce paragraphe, nous cherchons `a comprendre la structure fine de la transition fondamentale d’une boˆıte, qui implique le premier niveau ´electronique de ”conduction” dans la boˆıte et le premier niveau de trou. Le recouvrement entre les fonctions d’onde de ces deux ´etats est important puisqu’ils ont, `a l’ordre 0, la mˆeme fonction enveloppe de sym´etrie s (voir ´equation 4.2.15). Par contre ces deux fonctions d’onde ´etant tr`es localis´ees dans la boˆıte quantique, elles ont un recouvrement faible avec les fonctions d’onde des ´etats ´electroniques de valence de la couche de mouillage ou de la matrice GaAs : l’interaction coulombienne entre un porteur impliqu´e dans la transition fondamentale et un ´electron de valence de l’environnement de la boˆıte (i.e. de la couche de mouillage ou de la matrice GaAs) est a priori faible.

De plus les autres ´etats li´es de porteurs dans la boˆıte, c’est `a dire ceux qui ne sont pas impliqu´es dans la transition fondamentale, ont des enveloppes de sym´etrie p, d, ... (enveloppe p pour le second ´etat de trou, d pour le troisi`eme...). Le recouvrement entre les fonctions d’onde des porteurs dans ces ´etats et les fonctions d’onde d’enveloppe s des porteurs impliqu´es dans la transition fondamentale est donc plus faible (il est mˆeme id´ealement nul dans cette description simple).

C’est pourquoi pour d´ecrire la structure fine de la transition fondamentale, nous ne consid´ererons que l’interaction coulombienne entre les deux porteurs im- pliqu´es dans la transition fondamentale. Les termes coulombiens suppl´ementaires qui sont apparus dans les cas [v 6= v′ _{et c = c}′_{] ou [v = v}′ _{et c 6= c}′_{] seront} n´eglig´es en premi`ere approche. Par contre nous les garderons en m´emoire comme une source possible de perturbation de la structure fine que nous ´etudierons au chapitre suivant.

Conclusion

Finalement, apr`es avoir n´eglig´e ces termes, l’effet de l’interaction coulom- bienne dans les trois cas que nous avons pass´es en revue se traduit par une inter- action effective ´electron-trou qui s’´ecrit comme l’interaction d’un ´electron dans le premier ´etat de ”conduction” de la boˆıte avec un ´electron fictif qui serait rest´e dans le dernier ´etat de valence. De fa¸con compacte, nous ´ecrivons pour les trois cas :

hφvc | Hc| φv′_c′i = δ_v,v′δ_c,c′(ǫ_c− ǫ_v) + h_cvc′_v − h_vcc′_v (4.2.40) o`u hcv′_c′_v = e2 4πǫ Z Z _ψ∗ c(−→r1)ψ_v∗′(−→r2)ψc′(−→r₂)ψ_v(−→r₁) |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.41) est un terme d’´echange entre deux paires d’´electrons et

hv′_cc′_v = e2 4πǫ Z Z _ψ∗ v′(−→r₁)ψ∗_c(−→r₂)ψ_c′(−→r₂)ψ_v(−→r₁) |−→r1 − −→r2| d−→r1d−→r2 (4.2.42) est un terme direct entre deux paires d’´electrons.

4.2.5

Origine de la structure fine