Optimisation du recombineur tout-en-un spatial

Les recombineurs tout-en-un à codage spatial pour 6 ou 8 télescopes (MIRC, VITRUV...) inau-gurent une nouvelle génération d’instruments puisque qu’un tel nombre de faisceaux n’a encore jamais été utilisé. Aucune géométrie utilisée actuellement ne peut être facilement étendue car il est nécessaire d’assurer la séparation des pics franges dans l’espace de Fourier. A partir de simulations Monte-Carlo, Ribak et al. (1988) ont dérivé des géométries permettant de recombiner jusqu’à 30 faisceaux. Le nombre de fréquences nécessaires augmente extrêmement rapidement avec le nombre de faisceaux (fmax > 35 à 8T).

Diminuer ce nombre de fréquences en utilisant des pupilles de sorties redondantes a été proposé initialement par Vakili & Koechlin (1989). L’idée a ensuite été retrouvée de manière indépendante par Denis Mourard pour la proposition VEGA-4T (Mourard et al. 2005). L’astuce de base consiste

0 200 400 0 50 100 0 2 4 −20 −10 0 10 20 ddm λ Franges Dispersees ddm−1 λ −1 DSP

Fig. 5.21 – Codage « spectro-spatial » proposé pour VEGA-4T. Les pupilles de sortie sont alignées et équidistantes, un chemin optique est introduit sur la troisième pupille, qui permet d’incliner certains système de franges dans l’image des franges dispersées (à gauche) et de séparer les 6 pics franges correspondants dans la DSP (à droite). Le pic en 0, 0 correspond aux basses fréquences de l’interférogramme.

à introduire une différence de chemin optique dans certains faisceaux (Figure 5.21). Dans l’image des franges dispersées, les systèmes ayant la même fréquence sont inclinés différemment, ce qui permet de séparer les informations. Néanmoins, nous avons montré que si l’on désire conserver la résolution spectrale, il devient nécessaire de sur-échantillonner le spectre : le nombre de pixels total est conservé mais une partie du codage spatial est convertie en codage « spectral » (LeBouquin et Mourard, communication privée). Cette idée peu connue n’a jamais été mise en pratique, mais pourrait constituer un moyen intéressant de recombiner un grand nombre de télescopes.

Dans cette partie, nous allons plus spécifiquement nous intéresser à la redondance partielle des pupilles de sortie, sans utiliser l’idée de Vakili et Mourard. L’objectif est de trouver des configurations compactes, c’est-à-dire dont les pupilles de sortie sont proches, sans diminuer les performances de l’instrument. Une telle redondance est utilisée dans l’instrument AMBER (Section 3.1.1 et Millour et al. 2004), mais aucune étude quantitative de son influence n’est disponible. Pour y parvenir, nous allons utiliser le formalisme de la Section 5.3.

5.4.1 Pourquoi rapprocher les pupilles ?

La Figure 5.15 schématise la recombinaison tout-en-un à modulation spatiale dans un cas à 3T en optique de volume. Si l’on désire séparer les pics franges dans l’espace des fréquences, on peut exprimer la position xi de la ieme pupille (commençant à i = 0) par :

x_i= P_i . d_pup . D (5.7)

où Pi est une liste d’entiers non - redondants. Par exemple dans les cas 3T et 4T :

Pi = (0, 1, 3) (5.8)

P_i = (0, 1, 4, 6) (5.9)

Les pics franges sont régulièrement espacés dans l’espace de Fourier (voir Figure 5.22). Pour plus de 4T, il n’est plus possible de construire un recombineur satisfaisant cette condition. Ainsi à 8T,

la configuration la plus compacte Pi demande 35 fréquences, dont seulement 28 sont occupées par un pic frange. Comme séparer les pics franges nécessite un minimum de dpup = 2 (Figure 5.15), la distance maximale entre pupille est donc 2 × 35 = 70 fois la taille d’une pupille ! Cela donne aussi un ordre de grandeur de la taille de la lentille nécessaire pour effectuer la recombinaison. On peut facilement imaginer la complexité d’un tel montage en optique de volume. Bien que l’optique intégrée semble être une solution élégante, elle possède des contraintes similaires. Une gamme de 35 angles différents ne peut être obtenue qu’avec un schéma d’égalisation du chemin optique interne compliqué (Figure 5.11).

Contrainte de l’échantillonnage des franges

Les franges à la plus haute fréquence doivent être suffisamment échantillonnées pour éviter la dégradation du SNR causée par la convolution avec la taille physique des pixels du détecteur. Un échantillonnage à 4 pixels par période est souvent retenu. Dans le même temps, pour optimiser la quantité de flux collecté, on enregistre la totalité de la figure de diffraction sur le détecteur (nf ov≥ 2, voir Figure 5.15). Ainsi un recombineur 8T nécessite 4 × 2 × 2 × 35 = 560 pixels par canal spectral, comme estimé dans la Section 5.2.

Rapprocher les pupilles en réduisant le nombre de frange de toutes les bases...

Réduire le nombre de franges par interférogramme dpup correspond à une homothétie du plan pupille sans changer le diamètre (∼ densification). C’est donc une homothétie de l’espace de Fourier sans modification de la largeur des pics franges. Les pics commencent à se recouvrir quand dpup devient inférieur à 2 et le taux de recouvrement est identique pour tous les pics. Finalement, il est impossible d’avoir dpup< 1 car les deux pupilles les plus proches se superposeraient spatialement11. ... ou simplement des fréquences les plus hautes ?

Il suffit simplement de ne déplacer que la troisième pupille et les suivantes (pour conserver une non-redondance partielle, je considère un mouvement homothétique). Cela permet soit d’augmenter la compression par rapport à la limite du paragraphe ci dessus, soit de compresser alors que des contraintes externes empêchent de trop rapprocher les pupilles. Cette transformation se décrit en ajoutant un nouveau paramètre ρcomp appelé facteur de compression. Avec i = 0 pour la première pupille, les nouvelles positions sont définies par :

x_i= (i + (P_i− i).ρcomp) . d_pup. D (5.10)

La fréquence la plus faible n’est pas déplacée (Figure 5.22). La transformation n’est plus parfaitement homothétique, puisque des « trous » sont créés à des positions particulières. La taille de ces trous est indépendante de ρcomp et est toujours égale à dpup, la distance minimum imposée entre les pupilles. Je définis différentes valeurs particulières (Figure 5.22) :

11Ce postula peut être retrouvé soit par des considérations de conservation de l’énergie dans l’interférogramme (le

pic frange ne peut pas recouvrir la fréquence spatiale nulle) ; soit en montrant que lorsque l’on cherche à faire des angles entre ouvertures très faibles, les pupilles diffractent ce qui tend à augmenter la taille de l’enveloppe contenant les franges.

1 2 1 3 2

I

IV III II

Fig. 5.22 – Superposition des pics de Fourier due à un déplacement des pupilles dans le cas 3T avec dpup= 3 (gauche), et dans le cas 4T avec dpup= 2.25(droite). Le facteur de compression est de ρcomp= 1 (I, pas de compression), 2/dpup (II), 1/dpup (III) et 0 (IV, configuration redondante). Entre II et III, les pics sont dits légèrement compressés ; entre III et IV les pics sont dit fortement compressés.

ρ_comp = 1 : (I) les pupilles et le plan de Fourier ne sont pas compressés. Les pics sont aux positions définies par l’Équation (5.7).

ρcomp = 2/dpup : (II) la configuration commence à être partiellement redondante. Les pics se touchent. A partir de cette valeur, la configuration sera dite faiblement compressée.

ρ_comp = 1/d_pup : (III) les limites des pics atteignent la fréquence centrale du (des) pic(s) voisin(s). A partir de cette valeur, la configuration sera dite fortement compressée.

ρ_comp = 0 : (IV) la distance inter-pupille est constante, la configuration est redondante. Dans le plan de Fourier, les pics sont totalement superposés par groupe, séparés de dpup. Il faut alors impérativement utiliser la technique de Vakili & Koechlin (1989).

Bien que la compression autorise de diminuer le nombre de pixels utilisé pour échantillonner les franges, je décide de le garder constant. Les franges sont donc légèrement sur-échantillonnées dans la configuration compressée, ce qui n’a évidemment aucun effet dommageable. D’un point de vue pratique, la compression consiste à déplacer les pupilles de sortie devant une optique d’imagerie fixe dont le grandissement ne change pas (∼ densification).

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 20 40 60 Peak # 1 Peak # 2 Peak # 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 : Fit : Int. : Max : P2VM Visibilité <µ2> Facteur de comp. Position des pics

Facteur de comp. : # 1 : # 2 : # 3 Facteur de comp. SNR avec la P2VM : # 1 : # 2 : # 3

Fig. 5.23 – Gauche : Position (ligne épaisse) et support (région grisée) des 3 pics franges dans le domaine fréquentiel en fonction du taux de compression allant de 1 (pas de compression) à 0.1. La distance minimum entre les pupilles est de dpup = 2.5× la taille des pupilles. Les pics #1 et #2 sont faiblement superposés lorsque ρcomp atteint 0.8 et fortement superposés lorsque ρcomp atteint 0.4. Centre : Visibilité au carré obtenue avec les 4 estimateurs décrits dans la partie Section 5.3 : maximum du pic (Max), intégrale du pic (Integ), ajustement du pic (Fit) et P2VM. Les visibilités carrées des bases #1,#2,#3 sont égales à 0.1, 0.6, 0.8respectivement. L’asymptote horizontale des estimateurs quadratiques à droite est égale à 0.29, moyenne géométrique des bases mélangées. Droite : Rapport signal-à-bruit (SNR) de l’estimateur P2VM pour chaque base en fonction du taux de compression, normalisé par celui obtenu sans compression. Le trait vertical représente la transition entre faible et forte compression pour les pics #1 et #2.

5.4.2 Effet de cette compression...

Il est possible de quantifier l’effet de la compression des pics de Fourier sur les différents estima-teurs grâce aux formules de biais et de SNR dérivées en Section 5.3.2. La Figure 5.23 illustre une des simulations effectuées.

...sur les estimateurs de la visibilité

Intuitivement, les estimateurs basés sur l’analyse de la densité spectrale de puissance (DSP), et d’une manière générale tous les estimateurs quadratiques, ne sont pas capables de retrouver la visibilité de chaque base lorsque les pics de Fourier associés se superposent. En effet, parce que la norme de la somme de deux cohérences complexes n’est pas pas la somme des normes, le passage en quantité quadratique « mélange » les informations de chaque base de manière irréversible. Par exemple, si deux pics en opposition de phase se superposent, les énergies mesurées seront nécessaire-ment sous-évaluées. D’un autre coté, une estimation linéaire n’est pas affectée par la superposition des fréquences car les phases et les visibilités de chaque base sont reconstruites conjointement. ...sur les performances de l’estimation linéaire

Cette étude a été réalisée dans les cas 3T et 4T car ces deux configurations ne font pas apparaître les mêmes phénomènes : les interactions « à 3 pics franges » ne sont pas observables à moins de 4T. Les deux conclusions principales sont les suivantes :

0.0 0.5 1.0 0 10 20 30 0.0 0.5 1.0 10 20 30

Positions des pupilles (xi)

Facteur de comp.

# de largeur de pupille

Facteur de comp. Positions des pics

Facteur de comp. Fréquence spatiale : 4 : 5 : 6 : 12 : 13 : 14 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6

Fig. 5.24 – Effet de la compression de la configuration de pupilles établie par Mozurkewitch (Équa-tion (5.11)) dans un cas à 6T. Le facteur de compression est modulé entre 1 et 0. Bien que le déplacement de pupilles soit quasi-homothétique (gauche), le déplacement des pics franges dans l’espace de Fourier ne l’est pas (droite). Les superpositions néfastes sont marquées par un hexagone, les régions en grisé représentent le moment où les pics concernés commencent à se superposer fortement. Par souci de clarté, l’ensemble des 15 pics n’est pas représenté sur la légende.

1. le signal à bruit est insensible au déplacement en fréquence tant que les pics ne se superposent pas.

2. le signal à bruit d’une base décroît seulement à partir du moment où le pic concerné est fortement superposé à un de ses voisins, et ce, indépendamment du nombre de télescopes. Il est donc possible de compresser le plan pupille d’un facteur ρcomp = 1/d_pup sans affecter les performances de l’inversion par P2VM. Le lecteur intéressé par les détails de cette étude peut se rapporter à l’article en cours de soumission joint à ce travail (Section 5.8, LeBouquin & Tatulli 2006).

5.4.3 Propositions pour un instrument 6T et 8T

Les conclusions précédentes permettent d’optimiser les recombineurs à grand nombre de fais-ceaux. Je me focalise sur les recombineurs 6 et 8T car ils correspondent aux cas de VITRUV pour lesquels le codage spatial semble préconisé. Pour ces deux cas, je dérive un positionnement des pupilles optimal.

Plan pupille optimisé sans compression

Dans un schéma tout-en-un à plus de 4 faisceaux, il est impossible de déterminer théoriquement la configuration non-redondante Pi qui minimise le nombre de fréquences nécessaires : le problème est insoluble de manière analytique et ne peut être attaqué que par des méthodes de « force-brute ». Plusieurs auteurs ont déterminé des configurations optimales pour 6T (Mozurkewitch 1999) :

0 10 20 30 0 20 40 60

Fréquences spatiales Fréquences spatiales

ρ = 1

ρ = 0.5

recombineur 6T recombineur 8T

Fig. 5.25 – Exemple d’optimisation du plan pupille à 6T (gauche) et à 8T (droite). Les pupilles de sortie et le plan de Fourier sont représentés à la même échelle (relation d’autocorrélation). Les positions des pupilles sont calculées avec un taux de compression autorisé de ρcomp= 1(haut, pas de compression) et ρcomp= 0.5 (bas, compression maximale sans perte de SNR). La sous-figure en haut à gauche correspond donc à la configuration de Mozurkewitch (1999) donnée par l’Équation (5.11). La distance minimum entre les pupilles est de deux fois la taille d’une pupille (dpup= 2). La distance inter-pupille maximale nécessaire (et donc la fréquence maximale utilisée) est réduite d’un facteur 0.58 et 0.55 dans les cas 6- et 8T respectivement. qui demande 17 fréquences pour 15 bases. A 8T, j’ai trouvé une solution ne faisant intervenir « que » 35 fréquences (pour 26 bases) :

P_i = (0, 1, 8, 20, 22, 25, 31, 35) (5.12)

Comme le maximum de Pi est plus grand que le nombre de bases, certaines fréquences ne sont pas occupées (Figure 5.25).

Plan pupille optimisée avec compression

La Figure 5.24 montre le résultat de la compression de l’Équation (5.10) sur la configuration à 6T de Mozurkewitch. A la différence des cas 3T et 4T, certains pics se rapprochent plus vite que d’autres. Des bases particulières deviennent ainsi complètement redondantes avant que la compression maxi-male ne soit atteinte. Ces positions sont marquées d’un hexagone sur la figure. Pour éviter de dégra-der le SNR sur ces bases, il est nécessaire de stopper la compression à ρcomp= 1/dpup = 0.75. Avec une telle valeur, d’autres pics ne sont que faiblement compressés car la compression se « concentre » sur certaines bases, notamment #12-#13 et #4-#5. A partir de cette constatation, on peut supposer que d’autres configurations, moins avantageuses sans compression (Pi avec une fréquence maximale plus élevée), peuvent cependant être plus compressées.

Pour le tester, j’ai introduit le taux de compression maximum autorisé directement dans le calcul de l’optimisation du plan pupille par « force-brute ». La Figure 5.25 illustre le résultat de cette optimisation pour 6 et 8T. Les plans compressés et non-compressés ne sont pas reliés par une transformation évidente. D’une manière générale, les configurations compressées laissent plus de fréquences libres (Pinon-optimal) mais ces « trous » sont compensés par une plus forte superposition des pics. La fréquence maximale n’est pas réduite d’un facteur ρ_compmin = 1/d_pup = 0.5 comme dans le cas 3 ou 4T. Néanmoins, on atteint tout de même des taux de ∼ 0.58 à 6T et de ∼ 0.55 à 8T.