Modélisation de la surface stellaire

Le point de passage obligé de la résolution du problème direct est le calcul de la carte d’intensité observée. Cette intensité doit être décrite en fonction de la position sur le fond du ciel, de la longueur d’onde et de la polarisation. Comme la distribution spatiale d’abondance et la topologie magné-tique ne comportent pas de symétries globales, le problème est intrinsèquement à deux dimensions (latitude et longitude). Il faut nécessairement déterminer le flux émergeant de chaque point de la surface.

2.2.1 Géométrie du problème

La vitesse angulaire des étoiles Ap est particulièrement faible. Comme l’énergie de rotation est faible devant l’énergie gravitationnelle, dans la suite de ce travail, l’étoile sera assimilée à une sphère3. D’autre part, tous les points de la surface ont la même vitesse angulaire, c’est l’hypothèse de « rotation solide ». En conséquence, la surface ne se déforme pas au cours du temps et il est possible de la décrire de manière statique dans un repère approprié. La rotation stellaire est donc complètement définie par les grandeurs suivantes :

Z_o : direction de l’observateur. D’un point de vue géométrique, l’étoile est supposée à l’infini, et seulement un demi - hémisphère exactement est donc visible par l’observateur. D’un autre coté, l’objet n’est pas à l’infini puisqu’on le considère partiellement résolue par l’interféro-mètre ! Cette approximation de projection isométrique est en fait très bien vérifiée, elle est d’ailleurs communément faite dans la plupart des modélisations astrophysiques sans même être mentionnée.

Z_r : axe de rotation stellaire, défini de telle sorte que la vitesse de rotation soit positive. Deux angles permettent de le déterminer. L’inclinaison i est l’angle entre l’axe de rotation et la direction de l’observateur. Il est difficilement contraint en spectroscopie, mais appairait comme un sous produit des reconstructions Doppler. L’azimut ϑ est l’angle entre l’axe de rotation et le Nord céleste. Il ne peut pas être contraint par la spectroscopie, mais apparaît comme un sous-produit des reconstructions de type Zeeman Doppler Imaging.

Vrot : vitesse de rotation en [km/s]. Cette valeur se déduit de l’élargissement Doppler des raies photosphériques et correspond à la vitesse maximum du limbe projetée sur l’axe de visée Zo. φ_r : phase de la rotation stellaire, entre 0 et 2π. Cette phase est parfois donnée en jours (à rapporter à la période complète), ou en fraction de période (0 − 1). La phase d’origine φr(t = 0) est définie par les éphémérides universelles et est arbitraire.

Les différents repères stellaires

Dans le référentiel de l’observateur, noté Ro, le plan (Xo,Yo) forme le fond du ciel. Zo est la direction de l’observateur, aussi appelé ligne de visée. Xo est défini de telle façon que le plan

3Notons que cette approximation est communément faite dans la plupart des méthodes d’analyse classiques. En

fait, rien n’empêcherait de complexifier la forme de l’étoile si l’on disposait d’un modèle de la surface et si la précision requise l’exigeait.

Xo Yo = Yr Xr Zr = Zt Zo i Xt Yt φr Zr = Zt Zo Xt Yt β Yo γ

Fig. 2.1 – A gauche, relation entre le référentiel de l’observateur (Xo,Yo,Zo), le référentiel de rotation (Xr,Yr,Zr) et le référentiel tournant (Xt,Yt,Zt). A droite, représentation du repère tournant seul avec la définition des coordonnées d’un pôle magnétique : latitude β et longitude γ.

(Xo,Zo) contienne toujours l’axe de rotation de l’étoile et Yo tel que (Xo,Yo,Zo) soit orthonormé direct (Figure 2.1, à gauche). Le référentiel de rotation (Rr) est construit par rotation de Ro autour de Yo de l’angle d’inclinaison i. Zr est donc l’axe de rotation stellaire. Pour pouvoir travailler avec une expression statique de la surface, je définis le référentiel tournant (Rt) par rotation de Rrautour de Zr d’un angle égal à la phase stellaire φr(t), donc dépendant du temps. Ce référentiel est le seul à ne pas être galiléen (en supposant le centre de gravité stellaire non accéléré) mais cela n’a en fait aucune implication tant que la surface est considérée comme « gelée » (pas de mouvement de matière).

2.2.2 Description des paramètres physiques de la surface

Toutes les grandeurs physiques liées à la surface sont décrites de manière statique dans le réfé-rentiel tournant (Rt). La discrétisation de la surface est effectuée dans ce référentiel. Je choisis de la découper en environ 600 cellules de surface similaire, il est possible d’utiliser des cellules triangu-laires, quadrilatèrales ou une composition des deux. Il est judicieux de favoriser les triangles car trois points définissent toujours un plan dans l’espace, ce qui simplifie les calculs de projection. Les coor-données et les dimensions de chacune de ces mailles peuvent être exprimées dans les autres repères par les rotations décrites en Section 2.2.1. Le spectre émergeant n’est calculé que pour les mailles visibles par l’observateur, c’est-à-dire telles que le centre de la maille vérifie Zo > 0 (hypothèse de projection isométrique).

Modèle atmosphérique

Le modèle d’atmosphère choisi est le résultat de plusieurs hypothèses. La taille des mailles étant faible devant le rayon stellaire, nous ferons l’approximation d’une atmosphère localement plan parallèle (Figure 2.2). La hauteur de l’atmosphère (c’est-à-dire suivant la direction ~n) est décomposée en 64 couches. La structure verticale de l’atmosphère est supposée constante sur l’étoile4. J’utilise les modèles générés par ATLAS.9 (Kurucz 1996; Sbordone et al. 2004), sans prendre en compte la turbulence et en utilisant une métallicité dix fois supérieure à celle du soleil.

Abondance

L’abondance  est décrite par sa valeur moyennée dans chacune des mailles. Il est possible de construire n’importe quelle configuration jusqu’à la résolution du maillage, en deçà de laquelle toutes les grandeurs sont considérées comme homogènes. Bien que des travaux récents montrent que l’abondance n’est probablement pas homogène verticalement, cette dépendance n’est pas prise en compte (Figure 2.2).

Champ magnétique

Le champ magnétique ~B est supposé stationnaire et figé à l’échelle de résolution temporelle des observations. Il est donc décrit par un vecteur tridimensionnel en chaque point de surface (Figure 2.2). Le champ magnétique est supposé indépendant de l’altitude dans l’atmosphère. En considérant un maillage identique à celui de l’abondance, n’importe quelle configuration magnétique est donc pratiquement réalisable. J’ai ajouté la possibilité de paramétrer la topologie magnétique de manière analytique comme une superposition de multipôles d’ordre croissant (Bagnulo et al. 1996). La Figure 2.1 illustre les coordonnées d’un multipôle dans le repère tournant de notre modélisation. En pratique, la décomposition multipolaire est simplement convertie en valeur de champ au centre de chaque maille.

2.2.3 Le transfert de rayonnement

La résolution du transfert radiatif se fait dans un programme Fortran indépendant (TransPol ou TransNat) du logiciel de simulation SPIN. Dans chaque cellule, le flux émergeant est calculé pour les différentes longueurs d’onde composant la raie d’un élément inhomogène et/ou sensible à l’effet Zeeman. Les paramètres d’entrée du transfert radiatif sont la structure atmosphérique, le champ magnétique et l’abondance. Les paramètres atomiques nécessaires sont décrits en Annexe E. Il est possible de spécifier une liste de plusieurs transitions (de plusieurs éléments) dans le cas où plusieurs raies contribuent au profil total.

4La structure de l’atmosphère est supposées insensible à la distribution d’éléments métalliques et la température

Xr Yr Zr Xr Yr Zr invisible visible θ n Zo

Fig. 2.2 – Illustration de la discrétisation de la surface stellaire. A gauche et au centre, discrétisation ho-rizontale d’une distribution d’abondance () et de champ magnétique ( ~B). La valeur de  et ~B est donnée pour chaque maille et est considérée constante verticalement. A droite, discrétisation verticale avec l’hy-pothèse d’atmosphère localement plan - parallèle. Les propriétés atmosphériques (température, pression, densité électronique...) peuvent varier d’une couche à l’autre mais sont considérées constantes entre mailles. Hypothèses

Les hypothèses du transfert de rayonnement en lumière naturelle et polarisée proviennent des programmes initialement utilisés dans SynSpec. Ce sont donc les approximations classiquement faites en transfert de rayonnement dans les atmosphères des étoiles de type spectral A. Nous supposons l’Équilibre Thermodynamique Local. Les populations des niveaux haut et bas sont déterminées par la statistique de Boltzmann. La fonction source est égale à B(λ), c’est-à-dire à celle d’un corps noir ; elle est identique pour la raie et le continu. Le continu n’est pas polarisé (pas de diffusion). Les fonctions de partition sont codées « en dur », sans possibilité d’en changer facilement. Les opacités des différentes raies se somment (pas d’effet de couplage résonnant et autres non linéarités...). Multiplet Zeeman complet

Le multiplet Zeeman est pris en compte entièrement, il est donc possible de voir apparaître jusqu’à sept raies si les nombres quantiques J et les facteurs de Landé des niveaux haut et bas sont différents. Si ces derniers ne sont pas donnés, ils sont estimés dans le cas d’un couplage ~L.~S parfait et s’expriment donc en fonction des nombres quantiques (qui sont généralement connus). Enfin, l’écartement en énergie des niveaux sera considéré comme faible devant l’énergie de la transition. Cette hypothèse est toujours très bien vérifiée, même avec les champs magnétiques stellaires les plus intenses. Elle a pour implication immédiate que l’on peut supposer les différents sous - niveaux également peuplés.

Profil de raie de Faraday-Voigt

Le profil de raie est modélisé par les fonctions de Voigt et de Faraday-Voigt, issues de la convo-lution d’un profil intrinsèque Lorentzien généralisé avec un élargissement Gaussien. Cette hypothèse

Zo Yo Xo θ n Zo Yo Xo χ γ B

Fig. 2.3 – Géométrie utilisée pour le transfert de rayonnement (calculé dans le référentiel de l’observateur). θ est l’angle entre la normale à la cellule considérée et la ligne de visée. γ et χ décrivent l’inclinaison et l’azimut du champ magnétique local dans le repère de l’observateur.

exclut donc les raies présentant des élargissements plus complexes (hydrogène, hélium...). L’élar-gissement Gaussien tient compte des effets Doppler Thermique, Doppler micro-turbulence, radiatif, Stark et Van der Waals. Pour ce dernier, l’élargissement est proportionnel à la densité d’atomes d’hydrogène et est donc surtout important pour les parties hautes de l’atmosphère dans le cas d’étoiles de température inférieure à 10000K.

Intégrateur numérique utilisée : la méthode de Feautrier

La diffusion étant négligeable, il est possible de résoudre le transfert de manière indépendante entre les cellules. Le problème se résume à une intégration de l’équation de transfert sur la ligne de visée comme décrit dans la Section 1.2.1. Cette intégration est faite dans le repère de l’observateur car la lumière émise est ensuite analysée dans ce référentiel (Figure 2.3). Différentes solutions numériques pour intégrer l’équation du rayonnement ont été développées. La méthode de Feautrier est connue pour être rapide et stable dans le cas du transfert non polarisé. Elle a été étendue pour le transfert polarisé (Auer et al. 1977), les effets magnéto - optiques étant inclus dans la matrice d’opacité par les termes de couplage entre polarisations (profils ρ, Équation (1.9)). Une alternative est la méthode DELO, Diagonal Element Lambda Operator (Rees et al. 1989), qui utilise une pseudo matrice d’opacité dans laquelle les termes diagonaux sont toujours dominants. La résolution est formelle et se fait couche par couche en supposant une variation linéaire de la fonction source. L’intégration sur l’atmosphère se fait donc en un seul passage. Cette méthode est plus rapide en temps de calcul que celle de Feautrier mais converge moins vite5. Dans les raies métalliques, la résolution du transfert polarisé appliqué à l’effet Zeeman est aujourd’hui bien maîtrisée. Différents codes, développés indépendamment, donnent des résultats identiques avec une précision de 10−2 (Wade et al. 2001).

5La vitesse de convergence d’une méthode caractérise la précision atteinte en fonction du nombre de couches utilisé

−0.2 0.0 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 −0.2 0.0 0.2 −0.2 0.0 0.2 −0.2 0.0 0.2 ∆λ ∆λ ∆λ ∆λ Flux B=6kG I Q U V

Fig. 2.4 – Effet des différents éléments de la matrice d’opacité sur le spectre polarisé émergent. Cette simulation a été réalisée dans la raie FeIIλ4923 avec une abondance de −4.6 et une direction d’observation perpendiculaire à la surface θ = 0◦. Le champ magnétique est égal à 6 kG. Son orientation est telle que les éléments ρU et ηU soient nuls, c’est-à-dire γ = 40◦, χ = 0◦. En trait continu, j’utilise la matrice d’opacité complète (TransPol). En tiret, je force les éléments dispersifs η à zéro (TransPol modifié). En pointillé, je force la matrice à être diagonale (TransNat).

Choix de la méthode

Notre code d’intégration est extrait de SynSpec développé par Hubeny et Lanz6. Il utilise une méthode de Feautrier dans laquelle l’atmosphère est traversée à deux reprises (sens montant puis descendant). Par la suite, j’ai vectorialisé le code de transfert en introduisant les profils polarisés de l’effet Zeeman. La méthode d’intégration vectorielle de Feautrier utilisée est décrite par Rees & Murphy(1987). Il est possible de résoudre le transfert de manière complète (routine TransPol) ou en lumière naturelle uniquement (routine TransNat).

Importance d’une résolution complète du transfert polarisé

Sur la Figure 2.4, le vecteur de Stokes émergent est calculé avec différentes configurations de ma-trice d’opacité : transfert naturel (TransNat), transfert non-dispersif (TransPol modifié) et transfert polarisé complet (TransPol). L’introduction des éléments dispersifs génère une polarisation U alors même que ηU est nul du fait de l’orientation du champ. L’effet sur les autres profils est minime.

Sur cette même figure, les profils polarisés sont logiquement nuls (et donc faux) dans le cas d’une résolution naturelle. Le profil naturel (I) n’est pas calculé de manière correct car il est notablement différent du profil calculé avec la matrice complète. Cette différence est due à la rétro - influence des profils polarisés sur le profil naturel. En effet, dans les premières couches de l’atmosphère, la lumière tend à se polariser par effet Zeeman... et dans les couches suivantes les profils polarisés modifient le profil naturel, via la première ligne de la matrice d’opacité. Il est nécessaire de quantifier cette influence pour déterminer dans quel cas un calcul naturel peut donner une bonne approximation de I. La Figure 2.5 compare les spectres naturels émergents en fonction de l’intensité du champ magnétique. Pour des champs magnétiques stellaires classiques d’étoiles Ap (jusqu’à 5kG), l’erreur est importante et il est nécessaire de résoudre systématiquement le transfert de manière complète.

−0.2 0.0 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 −0.2 0.0 0.2 −0.2 0.0 0.2 −0.2 0.0 0.2 ∆λ ∆λ ∆λ ∆λ Flux en I B=0G 2kG 4kG 6kG

Fig. 2.5 – Spectre émergent en lumière naturelle (I) pour différentes valeurs du champ magnétique. Les paramètres de la simulation sont strictement identiques à ceux de la Figure 2.4.

2.2.4 Validation du transfert radiatif

Il est difficile de valider un code de transfert car peu de problèmes radiatifs possèdent une solution analytique à laquelle comparer les résultats de l’intégration numérique. J’ai donc décidé de mettre en regard les résultats de notre intégrateur avec ceux d’autres codes déjà testés dans la littérature. Le travail de Wade et al. (2001) va nous servir de référence. Il s’agit d’une comparaison quantitative de quatre codes de transfert dédiés à l’étude des atmosphères stellaires en présence de champ magnétique.

Données utilisées pour la validation

Pour que les résultats soient réellement comparables, nous avons utilisé les données d’entrée de l’article de Wade et al. (2001), en particulier le même modèle atmosphérique et les mêmes paramètres atomiques. Les paramètres utilisés sont donnés en Annexe E.3. Les fonctions de partition utilisées sont les tables originales de notre code (codées en dur et donc différentes de celles de Greg Wade). Les taux d’occupation des niveaux de la transition sont donc différents, induisant une possible différence de profondeur et de saturation de raie. Les coefficients d’élargissement sont donc eux aussi différents (car pondérés par les taux d’occupation).

Comparaisons TransPol et COSSAM

La Figure 2.6 donne le spectre émergent calculé avec TransPol et avec COSSAM (Wade et al. 2001). D’une manière générale, les écarts sont au maximum de quelques centièmes, c’est-à-dire deux fois supérieurs aux écarts entre les codes présentés dans l’article. Ces différences proviennent pro-bablement des fonctions de partition. Cette précision est suffisante pour notre problème. En effet, la résolution spectrale maximale envisagée (R=30000) ne permet pas de résoudre les erreurs consta-tées. De plus, les incertitudes sur les paramètres stellaires (diamètre, rotation...) sont supérieures aux écarts relevés ici.

10x∆ 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 −1 0 1 0.0 0.5 1.0 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 I 2xQ 5xU V ∆λ ∆λ ∆λ ∆λ 100G 5kG B=20kG

Fig. 2.6 – Spectres polarisés émergent d’un point de la surface stellaire calculés avec TransPol (pointillé) et avec COSSAM (tirets). Le trait continu représente 10× la différence entre les deux simulations. Les paramètres de la simulation sont strictement identiques à ceux de la Figure 2.4.

2.2.5 Cas particulier des raies de l’hydrogène

J’ai introduit la possibilité de calculer les spectres des raies d’hydrogène, à la fois dans le visible et dans l’infrarouge (série de Lyman, Balmer, Paschen et Bracket). Les profils de l’hydrogène étant très différents des raies métalliques (élargissement supplémentaire), j’utilise des profils tabulés non polarisés. L’effet du champ magnétique n’est donc pas pris en compte. Le calcul est fait en lumière naturelle uniquement. Les profils polarisés de Brillant et al. (1998) pourraient être une prochaine étape. Notons toutefois qu’elle serait très gourmande en temps de calcul car l’interpolation se ferait dans un espace à 5 paramètres (abondance, longueur d’onde et vecteur magnétique). Les raies de l’hydrogène sont supposées insensibles à la distribution d’éléments métalliques7. Le disque stellaire apparent présente donc nécessairement une symétrie centrale (influence de l’assombrissement centre-bord uniquement). Malgré cette nouvelle symétrie, nous utilisons tout de même la discrétisation complète de la surface.