Observer les résurgences spontanées des oscillations de Rabi est un réel dé expéri-mental. Elles n'ont été étudiées que pour des champs de l'ordre du photon [31, 30, 32].
Une technique pour reconstruire exactement l'état initial après évolution et induire une résurgence consiste à réaliser une transformation de renversement du temps sur le système en interaction. Cette opération s'apparente aux echos de spins de la RMN [52]. Le principe en est le suivant : dans un premier temps le système complet en interaction évolue pendant une durée tR. Une brève impulsion électromagnétique est alors appliquée sur l'atome. La conséquence de cette impulsion est le renversement dans le temps de l'évolution du système global. Après un temps d'interaction total égal à 2tR, le système se retrouve donc dans l'état initial si on néglige la décohérence. Ainsi les erreurs de reconstruction de l'état initial seront dues uniquement au couplage du système à l'environnement. Cette procédure permet de distinguer les eets cohérents et incohérents sur la dynamique du système [33].
Nous établissons dans cette partie les bases théorique de l'opération de renversement du temps. Dans le cas d'une interaction résonnante, il conduit à de nouvelles résurgences des oscillations de Rabi autour de l'instant de refocalisation du système, appelées résur-gences induites. Dans le cadre de l'approximations des champs mésoscopiques, l'évolution du système total après cette transformation a une interprétation très intuitive. Chaque état propre subit après l'opération de renversement du temps une rotation de sens inverse à celle subie entre 0 et tR. Les résurgences induites sont alors le résultat du recouvrement entre les deux composantes cohérentes de la superposition produit entre 0 et tR.
1.5.1 Renversement du temps : echo de spin
Théoriquement, la transformation de renversement du temps revient à appliquer l'opérateur atomique ˆσz à la fonction d'onde du système. Si on note U l'opérateur d'évo-lution du système en interaction, cet opérateur, après un temps d'interaction t, est découpé en trois parties et a pour expression :
ˆ U = e−i ˆ HJC ~ (t−tR)σˆze−i ˆ HJC ~ tR (1.123) Chaque terme de cette expression correspond respectivement à l'évolution du sys-tème en interaction entre 0 et tR, l'impulsion atomique et l'interaction entre tR et t. En utilisant l'identité ˆσ2
z = 1 et ˆσzHJCσˆz = −HJC, on obtient nalement l'expression suivante :
ˆ
U = ˆσze−iHJC~ (2tR−t)~ (1.124)
Après l'opération σZ, le système subit une évolution exactement renversée dans le temps de celle entre 0 et tR. Après un temps d'interaction 2tR, le système se retrouve exactement dans l'état initial.
Nous appliquons cette transformation au cas où l'atome, initialement préparé dans l'état |ei, interagit de manière résonnante avec le champ dans un état cohérent de
para-0,0 0,5 1,0 0 10 20 30 40 50 0,0 0,5 0 /2 t n (a) P g (t) (b)
Fig. 1.16 Oscillation de Rabi dans le vide déplacé d'un paramètre β =√13.4 (a) sans transformation atomique (b) avec transformation atomique à tR=30µs
mètre α. Si l'impulsion atomique a lieu après le temps d'eondrement (tR ≥ tef f), on assiste au temps 2tRà une nouvelle résurgence des oscillations de Rabi, appelée résurgence induite. Au contraire des résurgences spontanées étudiées précédemment, le contraste des échos est unité sans dissipation. En eet, toutes les oscillations de Rabi associées aux dié-rents états de Fock |ni sont toutes exactement en phase à la n du processus refocalisation puisque l'on recrée l'état initial.
La gure (1.16) reproduit les oscillations obtenues par intégration numérique de l'évolution hamiltonienne lorsque atome et champ sont à résonance. Sur la gure (1.16a), l'oscillation de Rabi dans 13.4 photons est présenté. Le résultat de l'application de l'opé-ration σZ, à l'instant matérialisé par une èche, sur les oscillations de Rabi est reproduit sur la gure (1.16b).
Au temps 2tR l'état initial est recréé. Ensuite un nouveau cycle d'eondrement et de résurgence apparaît sur l'évolution de la population atomique Pg(t). Ces diérentes phases seront toutes translatées dans le temps de 2tR par rapport à l'origine. L'in uence des photons thermiques est diérente dans le cas des échos et celui des résurgences sponta-nées. En eet, plus il y a initialement de photons thermiques, moins la résurgence induite montre d'oscillations. Par contre le contraste reste lui égal à 1 à l'instant de recombinai-son. Pour les résurgences spontanées, l'état initial est seulement reconstruit au premier ordre en 1/√n. Dans le cas des résurgences induites, l'état initial est recréé exactement, ௠tous les ordres en 1/√n¯. Le nombre d'oscillations de la résurgence induite sera par consé-quent uniquement dépendant du temps d'eondrement des oscillations de Rabi discuté auparavant (1.106).
Ces deux types de résurgences sont intimement reliés avec le caractère unitaire de l'évolution hamiltonienne. Nous reviendrons plus tard sur l'in uence du couplage à l'en-vironnement sur ces diérents signaux.
1.5.2 Résurgences induites comme mesure de la cohérence
Le phénomène de résurgence induite trouve un nouvel éclairage dans l'image in-troduites grâce à l'approximation des champs mésoscopiques (1.4). La transformation de renversement du temps consiste donc à appliquer à chacun des "états propres" l'opéra-teur atomique ˆσz. Cette opération change le sens du dipôle atomique appartenant au plan équatorial de la sphère de Bloch. A l'instant tR, on échange donc la relation de phase entre le dipôle atomique et le champ de chaque "état propre". Le couple d'états propres avec dipôle et champ en phase devient en opposition de phase et vice et versa. Or le sens de rotation est lui directement relié à cette relation de phase. La gure (1.17) résume cette situation. Chaque couple subit une rotation de sens inverse à celle réalisée entre 0 et tR. Finalement à l'instant 2tR l'état initial sera reconstruit.
Imα
Reα
4 t n Ω( )
at
+ψ
( )t + α ( )t − αImα
Reα
Y X X YImpulsion
atomique
( )
a Z +t
σ ψ
( )
at
−ψ
( )
a Z −t
σ ψ
Fig. 1.17 Inversion du temps
Dans les deux cas de résurgences, spontanée et induite, une superposition d'états mésoscopiques est réalisées. Ces superpositions sont très sensibles au phénomène de déco-hérence. Toute l'étude menée jusqu'ici ne prend pas en compte les eets de décohérence ou de couplage à l'environnement. Or les phénomènes de résurgences sont conditionnés au maintien de la cohérence des superpositions durant tout le processus.
Nous allons maintenant modéliser le couplage de l'environnement au mode du champ électromagnétique. Nous en déduirons les eets de la décohérence sur l'évolution du sys-tème atome-champ et, en particulier, sur le signal de résurgence des oscillations de Rabi.