1.3 Le couplage entre un atome à deux niveaux et un mode du champ électro-
1.3.4 Le couplage résonnant
Le régime résonnant est dé ni par un désaccord δ nul. L'angle de mélange est alors égal à π/4. Par conséquent les états habillés ont pour expression :
|+, ni = √1
2(|e, ni + |g, n + 1i) |−, ni = √1
2(|e, ni − |g, n + 1i)
(1.93) En inversant cette relation, on obtient :
|e, ni = √1
2(|+, ni + |−, ni) |g, n + 1i = √1
2(|+, ni − |−, ni)
(1.94) A chacun de ces états habillés |+, ni et |−, ni est associé une énergie propre :
E±,n = ±~Ω20√n + 1 (1.95)
L'oscillation de Rabi dans un état de Fock
Considérons la situation physique où l'on prépare l'atome dans l'état |ei et le champ dans un état de Fock à n photons. Initialement, l'état du système dans la base des états habillés s'écrit :
|ψ(t = 0)i = √1
2(|+, ni + |−, ni) (1.96)
La fonction d'onde du système couplé après un temps d'interaction t devient : |ψ(t)i = √1 2(e−iΩ0√ n+1t/2|+, ni + eiΩ0√ n+1t/2|−, ni) |ψ(t)i = cos Ω0 2 √ n + 1t |e, ni − i sin Ω0 2 √ n + 1t |g, n + 1i (1.97)
Cette évolution est donc caractérisée par l'échange cohérent d'un quantum d'énergie entre l'atome et le champ. La valeur moyenne de l'observable atomique σz en fonction du temps d'interaction t a pour expression :
hσz(t)i = cosΩ0√
n + 1 t
(1.98) Elle oscille en fonction du temps d'interaction à une pulsation égale à Ω0√n + 1. Une analogie forte existe entre ce phénomène et les oscillations de Rabi classique. Le signal expérimental est la probabilité de détecter l'atome en |ei. Cette probabilité se déduit facilement de la valeur moyenne de σz.
Pe(t) = 1 2(1 + hσzi) = 12h1 + cos Ω0 √ n + 1 ti (1.99) Pour un temps d'interaction dé ni par Ω0
√
n + 1t = π (impulsion π) un quantum d'énergie a été complètement transféré de l'atome au champ de manière déterministe. Cette opération est utilisée expérimentalement a n de produire un champ de Fock à un photon dans la cavité [47, 43].
Lors de l'interaction, les deux systèmes s'intriquent. En particulier, à l'instant où Ω0√
n + 1t = π/2 (impulsion π/2), une paire "EPR" atome-champ est produite. Elle a été préparée et analysée en détail dans le cas où n = 0 [48].
Oscillation de Rabi dans un champ quelconque
La généralisation à des champs plus complexes est immédiate en raison de la linéarité de l'équation de Schrödinger. Nous considérons dans cette partie un champ quelconque dans un état pur. Sa décomposition dans la base des états de Fock est :
|Ψchampi =X
n≥0
Cn|ni (1.100)
avec l'ensemble des Cn véri ant la condition P|Cn|2 = P
Pn = 1 où Pn = |Cn|2 est la probabilité de trouver n photons dans l'état du champ |Ψchampi. Initialement, l'atome est dans l'état |ei et l'état du système est :
|Ψ(t = 0)i = |ei ⊗ |Ψchampi = √1 2
X
n≥0
Cn(|+, ni + |−, ni) (1.101)
Après une évolution de durée t, la fonction d'onde s'écrit : |Ψ(t)i = √1 2 X n≥0 Cn(e−iΩ02 √ n+1t |+, ni + eiΩ02 √ n+1t |−, ni) (1.102) |Ψ(t)i =X n≥0 Cn cos Ω0 2 √ n + 1t |e, ni − i sin Ω0 2 √ n + 1t |g, n + 1i (1.103)
Elle s'interprète comme la superposition des fonctions d'onde obtenues après l'évo-lution du système initialement dans l'état |e, ni. Leur contribution dans la fonction d'onde nale est pondérée par Cn.
La valeur moyenne de l'opérateur atomique σz et la probabilité de détecter l'atome dans l'état |ei ont pour expressions :
hˆσz(t)i = Pn≥0Pncos(Ω0√ n + 1t) Pe(t) = 12P n≥0Pn(1 + cos(Ω0√ n + 1t)) (1.104)
Ces valeurs moyennes s'interprètent, une nouvelle fois, comme la moyenne statistique de toutes les oscillations de Rabi associées à chacun des états de Fock |ni. Elles ne dépendent que des populations Pndes états de la base de Fock. Ce résultat se généralise au cas où le champ ne se trouve pas initialement dans un état pur et ne peut être décrit que par une matrice densité. Par conséquent, les oscillations de Rabi dans un état mélange statistique de |0i et |ni ou d'une superposition de ces deux états 1/√2(|0i + |ni) seront strictement superposables. Au contraire, les oscillations de Rabi d'une superposition de champs co-hérents et d'un mélange statistique de deux états coco-hérents seront elles diérentes. En eet, les populations des états de la base de Fock associées à chaque état présentent des diérences et ces dernières se répercutent sur la forme des oscillations de Rabi. Nous reviendrons sur ce cas dans le dernier paragraphe de ce chapitre.
A ce stade, il paraît di cile de caractériser simplement la forme des oscillations de Rabi. Cependant un phénomène physique intéressant et général apparaît dans le cas où seul un nombre ni de population d'état de Fock ont une contribution signi cative à l'état du champ considéré. Nous avons ici en tête l'exemple du champ cohérent ou du champ thermique.
La gure 1.12 montre la distribution de la population P (n) de l'état |ni dans le cas d'un champ cohérent de 13 photons et dans le cas d'un champ thermique déplacé de 13 photons ainsi que les oscillations de Rabi quantiques correspondantes. Deux étapes impor-tantes se manifestent lors de l'évolution : l'eondrement et la résurgence des oscillations de Rabi.
L'eondrement est dû à la dispersion de la distribution des photons P (n) du champ considéré. Comme nous l'avons vu, l'évolution de la valeur moyenne de l'opérateur ˆσz
est une somme de fonctions sinusoïdales qui oscillent toutes à des fréquences diérentes. Au bout d'un certain temps, toutes ces fonctions ont des phases diérentes. La somme pondérée par les populations P (n) de l'état du champ initial se moyenne à 0.
Dans le cas de l'interaction avec un champ thermique, de nombre moyen de pho-tons nth, déplacé d'un paramètre β = √n¯ (la dispersion du champ déplacé est ∆n ∼ p
¯
n(2nth+ 1) dans le cas où ¯n est grand devant 1), seules les oscillations de Rabi des états de Fock |ni pour n compris entre ¯n − ∆n/2 et ¯n + ∆n/2 contribuent signi ca-tivement à la valeur moyenne de σz. La diérence de phase de Rabi ∆φR accumulée, pendant un temps d'interaction t, entre les deux oscillations de fréquence Ω0
p ¯ n − ∆n/2 et Ω0 p ¯ n + ∆n/2 est :
(b) 0 10 20 30 40 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 Nombre de photons P(n) 0phth 0 10 20 30 40 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 P(n) Nombre de photons 1phth 0 10 20 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 t/t R P g 0 10 20 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 t/t R P g (a)
Fig. 1.12 Oscillation de Rabi (a) dans le vide déplacé d'un paramètre β =√13(b) dans un champ thermique avec nth= 1 déplacé d'un paramètre β =√13
∆φR ∼ Ω0 ∆n 2√ ¯ n t = Ω0 2 √ 2nth+ 1 t (1.105)
Le temps d'eondrement tef f sera intuitivement dé ni comme le temps d'interaction réalisant la condition ∆φR = π. Par conséquent, nous obtenons la condition :
Ω0 2 √ 2nth+ 1 tef f ∼ π ⇒ tef f ∼ 2π Ω0 p (2nth+ 1) (1.106)
Il est intéressant de remarquer que le temps d'eondrement est indépendant du nombre de photons moyen ¯n, c'est à dire de l'amplitude du déplacement. L'eondrement des oscillations de Rabi est d'autant plus rapide que la dispersion de la distribution des P (n)est grande. Sur la gure 1.12, le nombre d'oscillations observées avant eondrement est 3 dans le cas du vide déplacé, il décroît à 1 pour le champ thermique de 1 photon déplacé.
Le temps de résurgence tres est atteint lorsque deux fonctions sinusoïdales consécu-tives correspondant aux nombres de photons n et n + 1 sont de nouveau en phase. Par conséquent, tres véri e la condition :
Ω0(√
n + 1 −√n) tres ∼ 2π (1.107)
Pour rendre cette condition indépendante de n, nous nous servons de l'approximation des champs mésoscopiques pour écrire la diérence√n + 1−√nau premier ordre en 1/√n.¯
Ω0 2√ ¯ n tres∼ 2π ⇒ tres∼ 4π √ ¯ n Ω0 (1.108)
La contribution des ordres supérieurs réduit le contrastes des résurgences. Plus la distribution des P (n) est large en nombre de photons, plus la résurgence oscille long-temps et plus son contraste est réduit. Le phénomène de résurgence est le résultat de la quanti cation de l'énergie du champ.
Jusqu'ici, nous nous sommes concentrés sur l'évolution temporelle d'opérateurs ato-miques. A n de donner une description complète de la dynamique du système, nous allons développer maintenant, à l'aide d'approximations, une image donnant une idée précise des corrélations entre l'état de l'atome et du champ lors de leur interaction résonnante. En particulier, l'accent sera mis sur l'intrication atome-champ dans l'interprétation des phé-nomènes d'eondrement et de résurgence des oscillations de Rabi.