Mesure la fonction Q d'un champ thermique déplacé

Notre intérêt se porte maintenant sur l'état de champ thermique déplacé. Au contraire du cas précédent, la fonction Q n'est pas invariante par rotation dans l'espace des phases. L'état du champ sera sondé de deux manières diérents : à amplitude xe ou à phase xe. On rappelle ici l'expression de la fonction Q associée au champ thermique de nombre moyen de photon nth déplacé d'une amplitude β (1.2.3) :

πQ_{D(−β)ˆρthD(β)}(α) = ¹

nth+ 1exp(− ¹

nth+ 1|α − β|²) (3.7)

La gure 3.7 présente le diagramme spatio-temporel de la séquence expérimentale. Par rapport à l'expérience précédente, le protocole ajoute une phase de préparation de l'état thermique déplacé. Elle consiste en une injection I de champ. La n de cette in-jection est réalisée 103.3µs avant le début du déplacement dans la procédure de mesure

de la fonction Q. L'injection dure exactement 23.3µs. L'atome sonde passe au centre du mode 350µs après le passage en ce même point du dernier paquet absorbeur. A partir de l'évaluation du nombre moyen de photons présents dans la cavité présentée dans le paragraphe (2.5.1), après 350µs de relaxation, le nombre moyen de photons dans le mode HF est égal à 0.5. Le délai entre les deux injections est égal à 103.3µs. Pendant ce temps, le champ thermique déplacé relaxe en suivant la loi (1.177).

temps p o si tio n cavité détecteur I I_d at^om e ^so nd^e at^om es ^ab so^rb an^ts effacement du champ fréquence mode HF mode BF t=_-3 7µ_s t=_-3 50 µs t= 0µ_s ^t=8µ_s t=_-1 10 µs t=_-2 13_.3 µs temps δ

Fig. 3.7  Diagramme temps-position et évolution du désaccord δ de l'expérience de mesure de la fonction Q du champ thermique déplacé

Les deux impulsions micro-onde sont issues de la même source. La relation de phase entre la première impulsion I et la seconde Id de déplacement est dénie par le temps τ entre les instants initiaux des deux injections et la fréquence propre de la source. Comme dans le cas de l'interférométrie de Ramsey, ce temps d'attente entre les deux impulsions micro-onde est xe et la phase est donc modiée en changeant la fréquence de la source générant le champ nécessaire aux deux impulsions. Dans cette opération, la cavité se comporte comme un ltre. En raison de la durée nie des impulsions micro-onde, leur largeur spectrale, égale à l'inverse du temps d'allumage, est supérieure à la trentaine de kHz. Le balayage typique en fréquence opéré dans les expériences de mesure de la coupe de la fonction Q à amplitude xe est de quelques kHz. L'amplitude du champ injecté ne varie donc pratiquement pas pendant le balayage de la fréquence.

La correspondance précise entre la diérence de fréquence et la diérence de phase est connue à partir d'une exploration large en fréquence de la réponse de l'atome sonde à un champ sonde d'amplitude égale au champ injecté. Le signal attendu est la coupe Q_{D(−β)ˆρthD(β)}(φ) de la fonction du champ cohérent de paramètre β sur le cercle de rayon |β|. Elle a pour expression :

πQ_D(−β)ˆρthD(β)(φ) = ¹ nth+ 1^exp  −_n ¹ th+ 1|β|²(2 − 2 cos(φ − φ0))  (3.8)

51,098905 51,098910 51,098915 51,098920 0,0 0,5 P g Fréquence (en GHz) 9800 ± 35 Hz

Fig. 3.8  Calibration de la diérence de phase

où φ0 est la phase de l'amplitude du champ thermique déplacé. Cette projection de la fonction Q associée au champ thermique déplacé est périodique de période 2π.

La gure 3.8 présente les résultats de cette expérience préliminaire. La probabilité de détecter l'atome sonde dans l'état |gi présente des pics dont la séparation en fréquence correspond exactement à une phase φ égale à 2π. Cette expérience préliminaire est réalisée avant chaque mesure. Elle permet de repérer, en particulier, la phase du déplacement du champ thermique au point de mesure. Cette phase peut varier d'une expérience à l'autre en raison des évolutions lentes de la fréquence de la cavité.

Une fois la phase de l'amplitude du champ thermique déplacé repérée, nous allons mesurer la coupe de la fonction Q à phase xe et égale à la phase de l'amplitude de déplacement. Comme lors de la mesure du champ thermique, le module de l'amplitude du champ d'analyse est varié en changeant la durée de l'impulsion micro-onde.

La gure 3.9a représente les résultats de la mesure correspondant, à l'instant de la mesure, à un état thermique de 0.5 photons déplacé d'une amplitude égale à |β| = ^√51. Cette valeur correspond à la relaxation du champ thermique déplacé initialement d'une amplitude |β| =^√58(1.6). Le prol obtenu est à une bonne approximation gaussien. Le maximum de la courbe expérimentale est atteint pour |α|2 = 51 ± 1.

La seconde expérience mesure la coupe de la fonction Q sur le cercle de module |β| =^√51. La gure b reproduit la courbe expérimentale. Autour de la phase du champ de déplacement φ0, l'expression (3.10) se linéarise :

πQ_D(−β)ˆρthD(β)(φ) ≃ _(n ¹ th+ 1)^exp  −_n ¹ th+ 1|β|²(φ − φ0)²  (3.9) Sur chaque courbe nous avons reproduit en pointillés la coupe de la fonction Q attendue. Nous observons un élargissement expérimental de la coupe à amplitude xe. Un ajustement gaussien donne une demi-largeur w à 1/e égale à 12.5. La largeur de la fonction Q attendue théoriquement est 9.8. Nous attribuons l'élargissement en phase de ∆φ = 2.7à des variations de la fréquence de la cavité dues à la vibration des miroirs. Cet élargissement est indépendant du nombre de photons. Pendant la protocole de mesure de la fonction Q d'un champ thermique déplacé, le délai séparant l'impulsion de déplacement et l'impulsion de lecture est égal à 100 µs. Une amplitude de vibration de la distance entre les miroirs de 50 pm (variation de 100 Hz de la fréquence de la cavité) induit un déphasage de 3.6 sur le champ. Par conséquent, le champ sondé est élargi en phase mais pas en amplitude. Il est qualié d'état gaussien non dégénéré. Les expressions des coupes de la fonction Q attendue à phase xe, QD(−β)ˆρ_thD(β)(|α|), et à amplitude xe, QD(−β)ˆρ_thD(β)(φ), sont : πQ_D(−β)ˆρ_thD(β)(|α|) ≃ ¹ σ√ nth+ 1^exp  −_n ¹ th+ 1(|β| − |α|)²  (3.10) πQ_D(−β)ˆρ_thD(β)(φ) ≃ ¹ σ√ nth+ 1^exp  −_σ¹₂β²(φ − φ0)  (3.11) avec σ =^√nth+ 1 + β∆φ

La prise en compte de l'élargissement dans la dénition de l'état mesuré conduit à prédire des coupes de la fonction Q représentée sur la gure 3.9 en trait plein. L'accord entre théorie et expérience est très bon.

An de connaître plus précisément la dépendance des largeurs mesurées en fonction du nombre de photons moyen du champ sondé, nous changeons l'amplitude de déplace-ment de l'injection I et nous analysons la largeur des coupes expéridéplace-mentales de la fonction Q. Les coupes de la fonction Q à amplitude xe, associée à des déplacements I d'amplitude égal à^√13,^√26et^√38, sont représentées sur la gure 3.10a. Plus le nombre de photons injectés est grand, plus ne est la largeur du pic. On en déduit la largeur des la fonction Q en fonction de l'inverse de la racine carrée du nombre moyen de photons injectés. La variation mesurée de cette largeur est présentée sur la gure 3.10b. Elle est linéaire en 1/√

¯

n. Une mesure du champ thermique est alors possible. En eet, la pente de la courbe 3.10b doit être directement égale à ¯nth+ 1. L'ajustement linéaire nous permet de déduire un nombre de photons thermiques égal à 0.5 ± 0.2. Cette valeur est tout à fait en accord avec l'évaluation réalisée grâce à l'oscillation de Rabi ou à la mesure direct de la fonction Q du champ après refroidissement. L'élargissement, indépendant du nombre de photons, de 2.7est révélé et conrmé par l'ajustement linéaire de la courbe de la gure 3.10b.

Les états sondés jusqu'ici sont dits classiques ou quasi-classiques. Tous, en parti-culier, ont des prols gaussiens. Notre montage expérimental permet la création dans le mode de la cavité d'états quantiques tel que les états de Fock. Le prol des fonctions

0 2 4 6 8 10 12 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 -80 -40 0 40 80 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 (b) Q ( ) Q ( ) (a)

Fig. 3.9  Coupe de la fonction Q associée à un champ thermique de déplacé de |α| =^√51 (a) à phase xe, (b) à amplitude xe égale à ^√51. En pointillé est représenté la fonction Q d'un champ thermique de 0.5 photons en moyenne déplacé de ^√51. En trait plein, la fonction Q associée à l'état gaussien non dégénéré.

0,0 0,2 0,4 0,0 0,2 0,4 -80 -40 0 40 80 0,0 0,2 0,4 0,0 0,1 0,2 0,3 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 (d) w(rad) (°) Q( ) (c) (b) (a)

Fig. 3.10  Coupe de la fonctions Q dans l'espace des phase d'un champ thermique de 0.5 photons thermiques déplacé de l'amplitude β =^√38(a), β =^√26(b) et β =^√13 (c) respectivement sur le cercle de rayon ^√38, ^√26 et ^√13. En trait plein, la fonction Q de l'état gaussien non dégénéré. (d) Demi-largeur à 1/e mesurée en fonction de l'inverse de l'amplitude de déplacement

Q associés à ces états ne seront pas gaussiens. Nous allons maintenant leur appliquer le protocole de mesure de la fonction Q.