Eet sur le champ : création d'une superposition de champs cohérents 46

L'interprétation en termes d'indice de réfraction utilisée dans le régime dispersif se généralise au cas résonnant. A chaque état initial de l'atome |+i et |−i correspond un déphasage opposé du champ cohérent, exactement comme dans le cas dispersif. Dans le cas où l'atome est initialement préparé dans |ei, l'état atomique initial est une superposition des états |+i et |−i. Par conséquent, le résultat de l'interaction sur le champ correspondra à la superposition cohérente de deux eets d'indice de réfraction opposés (voir gure 1.14). En réécrivant l'évolution de la fonction d'onde en isolant les états |ei et |gi, on met en évidence la création d'un état superposition de deux états cohérents ou état chat de Schr¨odinger corrélé avec chaque état atomique.

|Ψ(t)i = ¹2|ei (e^{−iΦ(t)(¯n+1)}αe−iΦ(t)

+ e^{iΦ(t)(¯n+1)} αeiΦ(t) ) +1 2 |gi (e−iΦ(t)¯n αe−iΦ(t) − eiΦ(t)¯n αeiΦ(t) ) (1.118) avec Φ(t) = Ω0t/4√ ¯

n. Un point important est à noter pour la suite : la phase quantique de la superposition d'états cohérents est diérente suivant l'état atomique auquel elle est corrélée.

Imα

Reα

4

t

n

Ω

( )

t

ψ

( )

t

ψ

( )t

α

( )t

α

Fig. 1.14  Evolution lente du système à partir de |ei ⊗ |αi : création d'une superposition de champs cohérents

Sans tenir compte des termes d'ordre 2 de l'approximation (1.114), chacun des termes de la superposition est un état cohérent. En toute rigueur, cette approximation n'est valide que dans les premiers temps d'interaction. Ensuite, le terme d'ordre deux de (1.114) devient important. Les champs cohérents, en plus de subir une lente rotation, sont déformés par un eet de type Kerr [51]. Cet eet est matérialisé par une acquisition de

phase supplémentaire de chaque état de Fock |ni non linéaire dans le nombre de photons et égale à exp −(n − ¯n)2/8¯n3/2

.

1.4.3 Oscillation de Rabi : la complémentarité en action

L'évolution décrite précédemment va nous permettre de comprendre plus en profon-deur l'eondrement et la résurgence des oscillations de Rabi décrits dans le paragraphe (1.3.4). En particulier, nous allons mettre ainsi en évidence l'importance de l'intrication dans ces phénomènes.

L'expression de la fonction d'onde après un temps t d'interaction (1.118) sera le point de départ de notre analyse. A partir de cette relation, un calcul rapide mène à la probabilité Pg(t) de détecter l'atome dans l'état |gi après une interaction de durée t :

Pg(t) = ¹ 2

h

1 − Re

αe^iΦ(t)

 αe−iΦ(t)ie^−iΩ0√ ¯ n t/2i

(1.119) Le contraste des oscillations de Rabi est donc proportionnel au produit scalaire entre les deux champs produits lors de l'interaction résonnante. Une représentation de l'évolu-tion de la foncl'évolu-tion d'onde est donnée sur la gure (1.15). Dans le cadre de l'approximal'évolu-tion des champs mésoscopiques, les deux phénomènes d'eondrement et de résurgence des os-cillations de Rabi ont des explications simples et intuitives.

Le phénomène d'oscillation de Rabi est un battement quantique entre les deux états propres de l'atome initialementψa

+

 etψa

−

. Au cours de l'interaction, le champ cohérent se sépare en deux composantes, chacune corrélée à un état propre diérent de l'atome. Au fur et à mesure qu'elles se séparent, elles apportent une information de plus en plus grande sur l'état atomique : chaque chemin de "l'interféromètre" devient discernable et le contraste des oscillations de Rabi se réduit progressivement. Nous nous retrouvons exactement dans la situation présentée dans l'introduction et illustrant le principe de complémentarité. Chaque état atomique est corrélé à un état classique diérent du champ. Cette situation conduit à un eondrement du signal d'interférence.

Au début de l'interaction, les deux composantes de champ sont exactement super-posables. L'état atomique subit les oscillations de Rabi. Dès que le temps d'interaction est susant pour séparer les deux composantes du champ dans l'espace des phases, le contraste des oscillations de Rabi s'annule (voir gure 1.15b). Ces oscillations ressurgi-ront uniquement après une rotation de π des deux composantes cohérentes du champ. En eet, à cet instant, ces deux composantes se superposent à nouveau, leur produit scalaire est de nouveau non nul et les oscillations de Rabi revivent(voir gure 1.15d). En ce point, les deux chemins de l'interféromètre sont, de nouveau, indiscernables.

Une dernière remarque concerne le temps d'interaction égal à Ω0t/4√ ¯

n = π/2 ou

temps de demi-résurgence. A cet instant appelé temps de demi-résurgence, les deux états atomiquesψa

+(t) etψa

−(t)

sont confondus (voir gure 1.15c) et la fonction d'onde totale du système est un produit d'états du champ et de l'atome. La fonction d'onde du système est à cet instant séparable. La création de l'état chat n'est plus corrélée à l'état de l'atome.

Imα Reα Imα Reα Imα Reα Imα Reα état initial ¹ 4 t n n Ω = 2 4 t n Ω ₌π 4 t n Ω = π (a) _(b) (c) (d) + − α (e)

d

c

b

Fig. 1.15  (a) état initial du système. (b) les deux composantes du champs se séparent et induisent l'eondrement des oscillations de Rabi (c) les deux parties atomiques se superposent et induisent la production d'une superposition de champs cohérents incondi-tionnelle. (d) les deux composantes du champ ont réalisé une rotation dans l'espace des des phases proches de π. Les oscillations de Rabi revivent. (e) Oscillation de Rabi dans un champ cohérent de 30 photons. Chacun des instants de chaque événement présenté dans les gures (b), (c) et (d) sont représentés respectivement par b, c et d sur le graphe des oscillations.

Au premier ordre en 1/¯n, l'expression des deux composantes cohérentes produites à chaque instant est connu. Le calcul analytique du produit scalaire ne pose aucune diculté. Nous obtenons ainsi l'expression du transfert atomique en fonction du temps d'interaction :

hαe^iΦ(t)αe−iΦ(t)

= e^{−¯n(1−e−2iΦ(t))} (1.120) Pg(t) = ¹ 2  1 − e^{−¯n[1−cos(2Φ(t))]}cos  Ω0√ ¯ n 2 ^{t + ¯n sin (2Φ(t))}  (1.121) Le phénomène d'eondrement et de résurgence des oscillations de Rabi est lié au préfacteur e−¯n[1−cos(2Φ(t))]. Au temps faible devant 4^√n/Ω¯ 0, le facteur du terme oscillant devient :

e−¯n[1−cos(2Φ(t))] ∼ e−Ω2

0t2/8 (1.122)

Le temps d'eondrement tef f à 1/e est alors égal à tef f = 2√

2/Ω0, en accord avec la dérivation phénoménologique réalisée . L'expression (1.121) prédit l'existence de résur-gences du contraste des oscillations lorsque cos(2Φ(t)) = 1 soit un temps de première résurgence tR égal à 4π^√n/Ω¯ 0, en accord avec l'expression obtenue avec des arguments qualitatifs (1.108). Autour du temps de résurgence, ¯n sin(2Φ(t)) ∼t∼tR Ω0√

¯

n t/2. Les oscillations de Rabi ont une pulsation égale à Ω0

√ ¯ n.

D'après ce résultat, les oscillations devraient revivre totalement. Les résurgences obtenues à partir d'un calcul exact montrent une réduction de leur contraste (voir la gure 1.15e). Un calcul analytique incluant l'eet de la diusion de phase, discuté dans le chapitre précédent, fournit un résultat indiscernable du calcul numérique exact [50].

Dans la limite des champs classiques (¯n ≫1), le déplacement de la phase quantique des superpositions atomiques et de la phase classique des états cohérents devient négli-geable. On retrouve ainsi le résultat de l'oscillation de Rabi classique. Atome et champ ne s'intriquent plus et l'évolution de la population atomique est une pure fonction sinusoïdale de fréquence Ω0

√ ¯ n.

Pour obtenir la résurgence des oscillations de Rabi, il est nécessaire de recombiner les deux champs cohérents issus de l'interaction résonnante. Dans le prochain paragraphe, nous étudierons une transformation du système, apparentée à un echo de spin, menant à la reconstruction exacte de l'état initial et à l'observation de résurgences des oscillations de Rabi de contraste unité appelées résurgences induites.