Modelisation et simulation des signaux de courant
IV.5 Une nouvelle approche: variation de la polarisa- polarisa-tion dielectrique
Consid erons les deux particules, proton de 5 MeV et 12C de 80 MeV. Les densit es d' energie lin eaire moyenne des deux particules sont totalement di erentes (0.023 MeV/m
et 0.6106 MeV/m respectivement), comme indiqu e dans la colonne 3 du tableau IV.2. Ion E E=Parcours Concentration Concentration Distance e-h Fe;h Fmin
MeV/m] lin eaire cm;1] volumique cm;3] nm] V/cm] V/cm] p 5 0.023 64:6106 3:61015 65 291 2167
12C 80 0.6106 17:1108 9:61016 22 2579 2067
Tab. IV.2 { Valeurs moyennes de la densite lineaire d'energie, de concentration de por-teurs, de distance relative et de champ d'interaction entre un electron et un trou pour un
proton de 5 MeV et un ion 12C de 80 MeV
Ainsi les concentrations lin eaires moyennes de porteurs de charges (colonne 4) sont tres di erentes entre les deux particules. Par cons equent la concentration volumique moyenne de paires electron-trou pr esent ee dans la colonne 5 est au moins un ordre de grandeur plus grande dans le cas du carbone, mais moins elev ee cependant que la concentration d' electrons libres dans un conducteur, qui est de l'ordre du nombre d'Avogadro (6.02 1023). An de calculer la distance moyenne relative entre deux porteurs de charges, nous avons suppos e que le rayon de la trace etait r0 = 750 nm, Ce qui est une moyenne entre les valeurs 1150 nm et 400 nm relev ees dans 26] et 27]. La distance moyenne relative entre deux porteurs (colonne 6) est trois fois plus courte pour le 12C que le proton. Cela entra^ ne une augmentation d'un ordre de grandeur dans l'interaction coulombienne (inversement proportionnelle au carr e de cette distance) pour une paire electron-trou (colonne 7), dans le cas du 12C. Nous supposons que la distance moyenne relative entre un electron et un trou est du m^eme ordre de grandeur que la distance relative entre les di erentes paires. La valeur minimale du champ Fmin calcul ee ax= 0 de la face arriere du d etecteur est donn ee dans la derniere colonne. Le champ coulombien Fe;h, dans le cas du 12C de 80 MeV, est trop important par rapport au champ minimal Fmin pour lib erer les charges alors qu'il est presque 10 fois inf erieur dans le cas du proton de 5 MeV. Nous allons alors consid erer les porteurs de charges comme des "dip^oles" et nous allons relier leur densit e a un formalisme electrostatique qui est celui de la polarisation di electrique du milieu, initi e par Kanno 28]. Dans les deux modeles pr ec edents, on supposait que le champ electrique, dans la trace de l'ion, est nul ce qui est equivalent a dire que la constante di electrique = 1 dans la trace. Or ce cas n'est possible que si le mat eriau consid er e est un conducteur alors que le silicium est un di electrique. Kanno avait 29] d eja associ e le plasma cr e e par ionisation a un changement de la permittivit e du milieu. En essayant d'argumenter et de formaliser d'une maniere rigoureuse cette id ee, nous avons developp e un nouveau modele 30]. En
108 Mod elisation et simulation des signaux de courant e et les porteurs de charges, de signes oppos es, sont consid er es comme des dip^oles (paires electron-trou) l eg erement orient es par le champ electrique initial de telle maniere que les centres de gravit e des charges n egatives et positives a l'int erieur de la trace de l'ion ne co( ncident pas, c'est la polarisation di electrique volumique. Suite a cette polarisation, la permittivit e di electrique a l'int erieur de la trace d'ionisation 0(x) augmentera par rap-port a la permittivit e du silicium (x). Par cons equent le champ Fin(x) a l'int erieur de la trace de l'ion incident est diminu e par rapport a sa valeur initialeF(x). Quoique diminu e,
Fin(x) peut imm ediatement conduire les porteurs, ou au moins une partie d'entre eux, vers les deux electrodes collectrices. Concretement Kanno a d'abord consid er e 0 comme etant directement proportionnelle a la densit e de plasma 28, 31] puis simplement en tant que constante 0 = 10 29]. Pour lui, le champ electrique etait nul a l'int erieur de la trace, la di usion etant toujours le processus d' erosion du plasma. Il calculait le champ electrique n ecessaire a l' erosion en consid erant un cylindre di electrique homogene plac e dans un champ electrique externe uniforme mais perpendiculaire a son axe 32]. Il r esolvait l' equation de Poisson en imposant F(x) = 0 pour x = d. Or dans les conditions d'utilisation standard d'un d etecteur silicium, la trace est parallele au champ r egnant dans la jonction completement d epl et ee. N eanmoins, Kanno reste le premier a avoir eu l'id ee d'un changement de constante di electrique.
IV.5.1 Le formalisme
Le champ electrique induit par une densit e de charge libre libre dans le vide est donn e par la troisieme equation de Maxwell:r~F = libre=0. Dans un milieu di electrique il s' ecrit:
r 0 @~F + ~P 0 1 A= libre 0 ()r~F = libre+ pol 0 : (IV.6)
ou ~P est le vecteur de polarisation di electrique et, le terme suppl ementaire pol =;r~P, est la densit e de charge de polarisation donn ee par le produit de la charge electriqueeet de la concentration volumique nde dip^oles: j polj =ne. Le moment dipolaire moyen est: er,
r est la distance relative moyenne entre les charges et P =ern a la signication physique d'un moment dipolaire volumique. Dans une premiere approximation: ~P =0~F, etant la susceptibilit e di electrique l' equation ( IV.6) devient alors:
r h (1 +) ~Fi = libre 0 ()r r~F = libre 0
avec r = 1 + la permittivit e di electrique relative.
Pour un milieu homogene r est une constante et on a:
r~F = libre
r0
()r~F = libre
: (IV.7)
En introduisant le potentiel electrique ':
IV.5 Une nouvelle approche: variation de la polarisation di electrique 109 l' equation ( IV.7) devient l' equation de Poisson pour le potentiel:
r
2'=;
libre
: (IV.9)
Quand la concentration de dip^oles change den0 an0
0 =n0+n, la polarisation change de
P a P0=ern0 +er0n, ou nous avons suppos e egalement des distances relatives moyennes di erentes:r0
6
=r. Les deux distances sont proportionnelles au champ electrique pourn0 et
nrespectivement. Ce qui nous mene a la relation entre permittivit es di electriques relatives:
0
r =r+a1n (IV.10)
Ceci sera utilis e pour relier la nouvelle constante di electrique dans la trace ionisante a la concentration n de porteurs de charges par l'interm ediaire de la constante a1 qui est un premier parametre du modele. Juste apres l'ionisation, la concentration initiale dans une tranche dxdu cylindre est:n0 = 1
(r2
cw)jdE=dxj, avecw=3.62eV l' energie n ecessaire pour
cr eer une paire electron-trou.
IV.5.2 L'equation de Poisson
Nous allons r esoudre l' equation de Poisson dans le cas particulier d'une jonction PN (le d etecteur) de permittivit e di electrique relativer, dont une partie (la trace d'ionisation) a une constante di electrique 0
r di erente et variable. La densit e de charge d'espace (x) =
libre s' ecrit comme:
(x) =
eND 0< x xn ;eNA xn< x xp
avec NA la concentration des accepteurs dans la partie P de la jonction et ND la concentration des donneurs dans la partie N. La condition de conservation de la charge implique:
NDxn=NA(xp
;xn): (IV.11)
Divisons la longueur R de la trace ionisante en petites tranches k, plac ees aux distances
li (i = 1::k et lk = R) (gure IV.7) de la face arriere, dans lesquelles le milieu peut ^etre consid er e comme homogene et la permittivit e r(li) constante. En tenant compte de la g eom etrie cylindrique, l' equation de Poisson ( IV.9) devient dans un modele mono-dimensionnel: d2'(x) dx2 = 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > : ;eND=(l1) 0< x l1 ... ;eND=(li) li;1 < x li ... ;eND=(lk) lk;1 < x lk ;eND= R < x xn eNA= xn < x xp (IV.12)
110 Mod elisation et simulation des signaux de courant avec des conditions aux limites: '(0) =V et'(xn+xp) = 0. En utilisant la continuit e de la composante normale du vecteur d eplacementD =0F+P dans chacune des surfaces de s eparation entre deux zones homogenes , on arrive a la solution suivante:
F(x) = 8 > > > > > < > > > > > : eNDx=(x);C=(x) 0< x R eNDx=;C l < x xn ;eNAx=;C;eNA(xn+xp)=] xn < x xp: (IV.13) La constante C sera d etermin ee en int egrant l' equation ( IV.8):
; Z xn
+xp 0
F(x)dx='(xn+xp);'(0) =;V:
Fig. IV.7 { Detecteur silicium et trace de l'ion divisee en tranches
IV.5.3 Le resultat
En utilisant l' equation ( IV.13) et puisque nous avons NA ND et xp xn (couche P implant ee), alors xn d= xp. Ainsi les solutions de l' equation ( IV.13) a l'int erieur et a l'ext erieur de la trace de l'ion peuvent ^etre ecrites comme:
Fin= eND (x)x; (x)eND RR 0 x (x)dx+ eND 2 (d2 ;R2);V RR 0 dx (x) +d;R 0< x R (IV.14) Fout= eND x; eND RR 0 x (x)dx;eND 2 (d2 ;R2);V RR 0 dx (x) +d;R R < x d
IV.5 Une nouvelle approche: variation de la polarisation di electrique 111
IV.5.4 La polarisation dielectrique et la diusion
Nous allons consid erer, dans cette partie, la di usion comme moteur de dissociation des paires de porteurs de charges. Une fois dissoci es, ces porteurs vont ^etre collect es di-rectement, a l'int erieur du cylindre de rayon r0, par un champ electrique diminu e par la polarisation di electrique mais aussi de valeur variable dans le temps puisque la constante di electrique diminue la mise en mouvement des porteurs. Nous avons simul e la r eponse de l'ion 12C de 80 MeV et l'ion 36Cl de 317 MeV en utilisant le d etecteur AZ200b irradi e par la face arriere et en cherchant les parametres a1 ( equation ( IV.10)), p ( equation ( IV.3)) et Ns;lin. Le r esultat est donn e par la gure IV.8. Les parametres sont donn es dans le tableau IV.3.
Ion Energie (MeV) a1 (m) p(ns) Ns;lin (paires/m) r0 (m)
12C 80 14.3710;6 0.9792 33754 2.5
36Cl 317 34.8810;6 4.9232 28356 5.6
Tab. IV.3 { Valeurs des param etres pour le mod ele de la polarisation dielectrique couplee
a la diusion pour l'ion 12C de 80 MeV et l'ion 36Cl de 317 MeV
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 20 25 t (ns) U (mV) Données expérimentales Résultat de la simulation 0 50 100 150 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t (ns) U (mV) Données expérimentales Résultat de la simulation
Fig. IV.8 { Comparaison entre les donnees experimentales et le mod ele de la polarisation
112 Mod elisation et simulation des signaux de courant D'apres cette gure, nous remarquons que la di usion coupl ee a la polarisation di electrique n'arrive pas a d ecrire d'une maniere optimale les signaux exp erimentaux