Notations

Avant de commencer la mod´elisation math´ematique des syst`emes multicorps mobiles, nous pr´esentons d’abord quelques termes et expressions math´ematiques de base. Chaque corps Sj est muni d’un rep`ere orthonorm´ee Fj = (Oj, sj, nj, aj) de centre Oj, o`u aj est

l’axe de rotation du seul degr´e de libert´e. L’espace ambiant est muni d’un rep`ere spatial fixe not´e Fe = (Oe, se, ne, ae). La transformation du corps rigide (´el´ement de SE (3)),

qui tranforme un rep`ere othonorm´e Fl en n’importe quel autre rep`ere orthonorm´e Fk

est repr´esent´ee par une matrice homog`ene de dimension (4 × 4) not´ee l_g

k ∈ SE(3), par

exemple, la transformation de matrice i_g

j qui applique le rep`ere Fi du corps Si sur le

rep`ere Fj du corps Sj, est donn´ee comme suit: i gj = i<sub>R</sub> j iPj 0 1 ! , o`u, i_P

j = i(OiOj) et iRj est une matice (3 × 3) qui d’´ecrit l’orientation de rep`ere Fj

par rapport `a Fi. Par ailleurs, Mj d´esigne la matrice (6 × 6) d’inertie, contenant les

composantes d’inertie du corps Sj sur SE(3), exprim´e dans Fj, avec:

Mj =

mj13 −mjsˆj

mjsˆj Ij

!

, (8.3)

o`u, mj est la masse du corps Sj, alors que mjsj et Ij sont le vecteur des premiers moments

d’inertie et la matrice des seconds moments, respectivement, tous exprim´es dans Fj.

8.5 Dynamique inverse r´ecursive des manipulateurs 177 relatif, alors un exposant en position avant haute pr´ecise l’indice du rep`ere en question, e.g. o_M

j d´esigne le tenseur d’inertie du corps Sj exprim´ee dans Fo, alors que Mj d´esigne

le tenseur d’inertie du corps de Sj exprim´ee dans Fj. Par ailleurs, en adoptant l’espace

des twists R6 _{comme d´efinition de so(3), le ”twist” de S}

j est d´efini par un vecteur (6 × 1)

not´ee ηj qui contient les composantes de la vitesse du corps Sj exprim´ee dans Fj, tandis

que sa d´eriv´ee par rapport au temps ˙ηj d´esigne le vecteur (6 × 1) des acc´el´erations du

corps Sj, o`u: ηj = Vj Ωj ! , ˙ηj = ˙ Vj ˙Ωj ! .

Passant `a l’espace ”dual” Fj d´esigne la r´esultante des forces (6 × 1) appliqu´ees sur le corps

Sj par le corps ant´ec´edent Si, exprim´ees dans son propre rep`ere Fj, o`u:

Fj =

Nj

Cj

! .

En outre, un twist peut ˆetre pouss´e vers l’avant de Fi `a Fj par la relation: jηi = Adj_g iηi,

o`u Adj_g

i est appel´e ”operateur adjoint” et se d´etaille comme suit:

Adj_g i = j_R i jRiiPˆjT 0 j_R i ! . (8.4)

Du cˆot´e ”dual”, une force peut ˆetre tir´ee vers l’arri`ere de Fj `a Fi par: iFj = AdTj_g iFj.

Enfin, Fgyr,j et Fext,j d´enotent les forces gyroscopiques et externes appliqu´ees sur Sj,

respectivement.

8.5

Dynamique inverse r´ecursive des manipulateurs

Nous rappelons ici l’algorithme de calcul des couples de Luh et Walker [115] pour un manipulateur de type arborescent avec des liaisons roto¨ıdes o`u le mouvement de So est

pr´ed´efini comme indiqu´e dans la Fig. 8.1(a). Le but de l’algorithme consiste `a calculer, `a chaque pas t d’une boucle de temps globale, le vecteur des couples articulaires (sorties) τ (t), en connaissant les valeurs actuelles des entr´ees: (e_g

o, ηo, ˙ηo, r, ˙r, ¨r)(t). Ce calcul est

r´ealis´e en ex´ecutant d’abord les r´ecurrences cin´ematiques avant: pour j = 1, 2, ...p et avec conditions aux bords: (e_g

o, ηo, ˙ηo) = (ego, ηo, ˙ηo)(t):

Calcul des transformations du corps:

e_g

178 Chapter 8. Thesis Detailed R´esum´e in French Calcul de la vitesse du corps:

ηj = Adj_g

iηi+ ˙rjAj. (8.6)

Calcul des acc´el´erations du corps: ˙ηj = Adj_g i˙ηi+ ζj( ˙rj, ¨rj). (8.7) O`u, Aj est un vecteur (6 × 1): Aj = 0 aj ! , avec aj =    0 0 1    .

Nous noterons aussi par ζj( ˙rj, ¨rj), un vecteur (6 × 1) d´efini comme suit:

ζj = j_R i(Ωi× (Ωi×iPj)) j_Ω i× ˙rjaj ! + ¨rjAj. (8.8)

Une fois la cin´ematique r´esolue, l’algorithme connaissant les ´etats actuels de tous les corps individuels, il peut ex´ecuter la r´ecurrence arri`ere sur les torseurs de contact interne: pour j = p + 1, p, ..., 1, avec Fj = 0 si Si est un corps terminal:

(

if i = j − 1 : Fi = Mi˙ηi− Fext,i− Fgyr,i+ AdTj_g iFj;

else: Fgyr,i= Fgyr,i− AdTj_g iFj.

(8.9) O`u, Fgyr,i est le vecteur (6 × 1) des efforts gyroscopiques:

Fgyr,i = −

Ωi× (Ωi × misi) + Ωi × miVi

Ωi× (IiΩi) + misi× (Ωi× Vi)

!

. (8.10)

Enfin, les forces internes sont projet´ees sur les axes des articulations pour obtenir les couples comme suit:

for j = 1, 2, . . . , p : τj = ATjFj. (8.11)

8.6

Aper¸cu de l’algorithme

L’algorithme de Luh et Walker est limit´e aux cas o`u les mouvements du corps de r´ef´erence So sont impos´es `a priori. Maintenant, pour discuter de la g´en´eralisation de cet algorithme

au cas des syst`emes multicorps mobiles nous consid´erons un syst`eme mobile plan avec des roues, comme indiqu´e dans la Fig. 8.2, o`u les corps `a roues sont connect´es par des liaisons roto¨ıdes simples et actionn´ees. En imposant des mouvements sur les articulations

8.7 Les syst`emes multicorps mobiles non-contraints 179

So

(a)

So

(b)

Figure 8.2 – Syst`emes multicorps `a roues: (a) Syst`eme multicorps avec deux essieux; (b) Syst`eme multicorps avec three essieux

actionn´ees, les corps de ce syst`eme sont soumis non seulement `a des mouvements internes, comme ceux rencontr´es sur un manipulateur, mais aussi `a des mouvements rigides externes de l’ensemble de la structure d´efinis comme ´etant ceux d’un corps de r´ef´erence arbitraire So par rapport `a un rep`ere fix´e `a l’espace. En cons´equence, la g´en´eralisation attendue de

l’algorithme de Luh et Walker n´ecessite une connaissance des mouvements externes de So

qui ne sont g´en´eralement plus impos´es mais doivent ˆetre calcul´es `a partir d’un nouveau mod`ele, appel´e ici ”mod`ele de la locomotion”. Ce mod`ele est un mod`ele direct, car il relie les mouvements des articulations `a ceux du corps de r´ef´erence So. Comme ´evoqu´e

pr´ec´edement, cette relation peut ˆetre mod´elis´ee soit par un mod`ele cin´ematique simple (i.e. n’impliquant pas les forces), soit par un mod`ele dynamique.

Avant d’entrer dans la discussion d´etaill´ee de tels mod`eles de la locomotion, notons qu’`a l’exception de celles transmises pas les roues, les forces externes de toute nature telles celles imprim´ees par le contact avec un fluide, sont supos´ees connues comme des fonc- tions de l’etat via des lois physiques (de comportement). Au contraire, dans le cas des roues, supos´ees id´eales, le contact est mod´elis´e par des contraintes non-holonomes (voir hypoth`ese n◦<sub>6 de la section 8.4.1). Dans ces conditions, les syst`emes multicorps mobiles</sub>

peuvent ˆetre class´es en deux grandes cat´egories:

Syst`emes multicorps mobiles non-contraints: les syst`emes multicorps mobiles (`a roues ou sans roues) dont les contacts externes sont mod´elis´es par le mod`ele des forces ext´erieures en appliquant certaines lois physiques, par exemple, l’utilisation d’un mod`ele de frottement pour un contact avec le sol via des roues non-id´eales.

Syst`emes multicorps mobiles contraints: les syst`emes multicorps mobiles en contact avec le sol via les roues o`u le contact est mod´elis´e via les contraintes non-holonˆomes (de non-d´erapage et/ou de roulement sans glissement).

8.7

Les syst`emes multicorps mobiles non-contraints

Dans cette section, nous ´etendons l’algorithme standard de Luh et Walker de la section 8.5au cas d’un syst`eme multicorps mobile non-contraint. L’objet de la section8.7.1est de calculer l’acc´el´eration actuelle ˙ηo de So+ `a partir des entr´ees actuelles et l’´etat de r´ef´erence

180 Chapter 8. Thesis Detailed R´esum´e in French actuel. Ensuite, cette acc´el´eration de r´ef´erence est utilis´ee comme condition aux bord pour les calculs r´ecursifs des couples internes et l’int´egration par rapport au temps, dans la section 8.7.2. Enfin, dans la section 8.7.3nous introduirons un cas o`u la dynamique de la locomotion d´eg´en´ere en cin´ematique.