So
(a)
So
(b)
Figure 8.2 – Syst`emes multicorps `a roues: (a) Syst`eme multicorps avec deux essieux; (b) Syst`eme multicorps avec three essieux
actionn´ees, les corps de ce syst`eme sont soumis non seulement `a des mouvements internes, comme ceux rencontr´es sur un manipulateur, mais aussi `a des mouvements rigides externes de l’ensemble de la structure d´efinis comme ´etant ceux d’un corps de r´ef´erence arbitraire So par rapport `a un rep`ere fix´e `a l’espace. En cons´equence, la g´en´eralisation attendue de
l’algorithme de Luh et Walker n´ecessite une connaissance des mouvements externes de So
qui ne sont g´en´eralement plus impos´es mais doivent ˆetre calcul´es `a partir d’un nouveau mod`ele, appel´e ici ”mod`ele de la locomotion”. Ce mod`ele est un mod`ele direct, car il relie les mouvements des articulations `a ceux du corps de r´ef´erence So. Comme ´evoqu´e
pr´ec´edement, cette relation peut ˆetre mod´elis´ee soit par un mod`ele cin´ematique simple (i.e. n’impliquant pas les forces), soit par un mod`ele dynamique.
Avant d’entrer dans la discussion d´etaill´ee de tels mod`eles de la locomotion, notons qu’`a l’exception de celles transmises pas les roues, les forces externes de toute nature telles celles imprim´ees par le contact avec un fluide, sont supos´ees connues comme des fonc- tions de l’etat via des lois physiques (de comportement). Au contraire, dans le cas des roues, supos´ees id´eales, le contact est mod´elis´e par des contraintes non-holonomes (voir hypoth`ese n◦6 de la section 8.4.1). Dans ces conditions, les syst`emes multicorps mobiles
peuvent ˆetre class´es en deux grandes cat´egories:
Syst`emes multicorps mobiles non-contraints: les syst`emes multicorps mobiles (`a roues ou sans roues) dont les contacts externes sont mod´elis´es par le mod`ele des forces ext´erieures en appliquant certaines lois physiques, par exemple, l’utilisation d’un mod`ele de frottement pour un contact avec le sol via des roues non-id´eales.
Syst`emes multicorps mobiles contraints: les syst`emes multicorps mobiles en contact avec le sol via les roues o`u le contact est mod´elis´e via les contraintes non-holonˆomes (de non-d´erapage et/ou de roulement sans glissement).
8.7
Les syst`emes multicorps mobiles non-contraints
Dans cette section, nous ´etendons l’algorithme standard de Luh et Walker de la section 8.5au cas d’un syst`eme multicorps mobile non-contraint. L’objet de la section8.7.1est de calculer l’acc´el´eration actuelle ˙ηo de So+ `a partir des entr´ees actuelles et l’´etat de r´ef´erence
180 Chapter 8. Thesis Detailed R´esum´e in French actuel. Ensuite, cette acc´el´eration de r´ef´erence est utilis´ee comme condition aux bord pour les calculs r´ecursifs des couples internes et l’int´egration par rapport au temps, dans la section 8.7.2. Enfin, dans la section 8.7.3nous introduirons un cas o`u la dynamique de la locomotion d´eg´en´ere en cin´ematique.
8.7.1
Dynamique de la locomotion: le calcul de ˙η
oCe calcul est bas´e sur la dynamique du corps de r´ef´erence contrˆol´e par les mouvements internes impos´es du reste de la structure. Cette dynamique nomm´ee «dynamique de la locomotion» est simplement celle de S+
o et peut ˆetre d´efinie comme suit:
˙ηo e˙g o ! = (M + o)−1Fo+ eg oηˆo ! , (8.12)
o`u la deuxi`eme ligne est l’´equation de reconstruction cin´ematique de ηo `aego, tandis que
dans la premi`ere ligne M+
o(r(t)) =
Pl=p l=0Ad
T
lg
oMlAdlgo d´enote la matrice d’inertie du
corps composite S+
o , et Fo+(r(t), ˙r(t), ¨r(t),ego, ηo) est le torseur des forces (d’inertie et
externes) exerc´ees sur S+ o : Fo+ = Fgyr,o+ Fext,o+ j=p X j=1 AdTjg o Fgyr,j+ Fext,j− Mj l=j X l=1 Adjg lζl !! . (8.13) Notons que M+
o et Fo+ peuvent ˆetre calcul´es num´eriquement par les calculs suivants avec
les r´ecurrences arri`eres initialis´ees par les conditions aux bords: M+j = 0, Fj+ = 0 si Si
est un corps terminal: pour j = p + 1, p, ...1: • Calcul de M+ o: ( si i = j − 1 : M+i = Mi+ AdTjg iM + j Adjg i; sinon: Mi = Mi+ AdTjg iM + j Adjgi. (8.14) • Calcul de F+ o : ( si i = j − 1 : Fi+= Fgyr,i+ Fext,i− AdTjg iM + jζj − AdTjg iF + j ;
sinon: Fgyr,i = Fgyr,i− AdTjg iF + j − Ad T jg iM + j ζj. (8.15)
Techniquement, (8.12) peut ˆetre d´eduite du principe des travaux virtuels appliqu´e `a l’ensemble de tous les corps soumis `a tout champ virtuel compatible avec la rigidit´e du corps et la cin´ematique articulaire.
8.7 Les syst`emes multicorps mobiles non-contraints 181
8.7.2
Dynamique des couples: le calcul des couples internes
Une fois que ( ˙ηo, ηo) etego sont connus, ils initialisent les deux r´ecurrences de l’algorithme
standard de Luh et Walker (voir la section8.5) qui donne finalement le vecteur des couples moteurs τ .
En bref, l’extension de l’algorithme de Luh et Walker au cas d’un syst`eme multicorps mobile non-contraint ne n´ecessite que la dynamique de locomotion (3.29) et (3.27,3.28) en plus de la dynamique des couples (3.7-3.12). Enfin, afin de mettre `a jour l’´etat de r´ef´erence pour la prochaine ´etape de la boucle du temps, (3.29) est num´eriquement int´egr´ee, par exemple, avec un int´egrateur g´eom´etriques sur les groupes de Lie [91] ou plus simplement avec un int´egrateur bas´e sur les quaternions. Ces deux int´egrateurs ont l’avantage d’ˆetre libre de singularit´es et de non-lin´earit´es artificielles comme celles introduites par toute param´etrisation impliquant trois angles d’orientations de So.
8.7.3
Le cas non-contraint avec sym´etries
Lorsqu’un robot est soit: 1) immerg´e dans un fluide id´eal initialement au repos ou 2) flot- tant dans l’espace, tel que par exemple, un bras de navette spatiale ou un satellite ´equip´e d’un syst`eme de r´eorientation, alors les forces externes Fext,i sont ego− ind´ependantes et
lagrangienne [7]. Math´ematiquement, cela signifie qu’il existe une fonction de Lagrange lext= lext(ηo, r, ˙r) (´egale `a l’´energie cin´etique ajout´ee par le fluide dans le premier cas [67],
et tout simplement ´egale `a z´ero dans le second), tels que: F+ ext,o = d dt ∂lext ∂(ηo) − ad∗ (ηo) ∂lext ∂(ηo) , (8.16) o`u ad∗
(.)(.) : se(3) × se(3)∗ → se(3)∗ est l’operateur co-adjoint de SE(3). Une analyse
plus approfondie de ces cas montre que, avec lext + l = 12ηoT( fM+oηo +oMfr˙r), l ´etant
le lagrangien du syst`eme libre de forces externes, la partie acc´el´eration de (8.12) peut ˆetre explicitement int´egr´ee par rapport au temps pour se ramener au jeu de contraintes non-holonˆomes suivant:
f
M+oηo+oMfr˙r = 0, (8.17)
qui assurent la conservation de la quantit´e de mouvement cin´etique pour un syst`eme initialement au repos. Par ailleurs, dans (8.17), oMf
r est une matrice 6 × p couplant
les acc´el´erations externes aux internes. Enfin, la relation (8.17) permet de remplacer le mod`ele dynamique de la locomotion (8.12) par le mod`ele cin´ematique de la locomotion comme suit:
ˆ
ηo =ego−1 e˙g
182 Chapter 8. Thesis Detailed R´esum´e in French o`u Am = ( fM+o)−1oMfr est la forme locale de la connexion sur le fibr´e principal C2 appel´e
”connexion m´ecanique” [76, 89,59]. Dans ce cas, la dynamique de la locomotion d´eg´en`ere en un mod`ele cin´ematique en raison des propri´et´es de sym´etrie de la dynamique du syst`eme [76].